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1. 解方程组：
$\begin{cases} 8359x + 1641y = 28359, \\ 1641x + 8359y = 21641. \end{cases}$
$\begin{cases} 8359x + 1641y = 28359, \\ 1641x + 8359y = 21641. \end{cases}$
答案
$\begin{cases} 8\ 359x+1\ 641y=28\ 359,① \\ 1\ 641x+8\ 359y=21\ 641,② \end{cases}$
①$-$②,得$6\ 718x-6\ 718y=6\ 718$,
即 $x-y=1$.
①$+$②,得$10\ 000x+10\ 000y=50\ 000$,
即 $x+y=5$.
将它们组成新方程组,得 $\begin{cases} x-y=1, \\ x+y=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=3, \\ y=2, \end{cases}$
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
点方法 解系数“轮转型”($x,y$ 的系数恰好“互换”)二元一次方程组时,常先将两方程相加、相减变换成形如 $\begin{cases} x+y=a, \\ x-y=b \end{cases}$ 这样的方程组,再求解.
①$-$②,得$6\ 718x-6\ 718y=6\ 718$,
即 $x-y=1$.
①$+$②,得$10\ 000x+10\ 000y=50\ 000$,
即 $x+y=5$.
将它们组成新方程组,得 $\begin{cases} x-y=1, \\ x+y=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=3, \\ y=2, \end{cases}$
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
点方法 解系数“轮转型”($x,y$ 的系数恰好“互换”)二元一次方程组时,常先将两方程相加、相减变换成形如 $\begin{cases} x+y=a, \\ x-y=b \end{cases}$ 这样的方程组,再求解.
解析
【分析】
观察方程组的系数特征，两个方程中x和y的系数恰好互换，若直接用常规代入消元或加减消元，数值过大计算繁琐。因此优先选择整体加减的方法：先将两式相减、相加，把大系数简化为1，得到仅含x-y和x+y的简单方程组，再求解新方程组即可得到原方程组的解。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases} 8359x + 1641y = 28359,① \\ 1641x + 8359y = 21641,② \end{cases}$
①$-$②，得$6718x - 6718y = 6718$，
两边同时除以6718，化简得$x-y=1$ ③，
①$+$②，得$10000x + 10000y = 50000$，
两边同时除以10000，化简得$x+y=5$ ④，
联立③④得新方程组$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=5 \end{cases}$，
③+④得$2x=6$，解得$x=3$，
将$x=3$代入④，得$3+y=5$，解得$y=2$。
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、加减消元法
【点评】
本题是系数轮换互换型的特殊二元一次方程组，解题时不要盲目硬算，要先观察方程结构特征，灵活运用加减消元法做整体简化，能大幅降低计算量、提升正确率，侧重考查对消元法的灵活运用能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.7
观察方程组的系数特征，两个方程中x和y的系数恰好互换，若直接用常规代入消元或加减消元，数值过大计算繁琐。因此优先选择整体加减的方法：先将两式相减、相加，把大系数简化为1，得到仅含x-y和x+y的简单方程组，再求解新方程组即可得到原方程组的解。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases} 8359x + 1641y = 28359,① \\ 1641x + 8359y = 21641,② \end{cases}$
①$-$②，得$6718x - 6718y = 6718$，
两边同时除以6718，化简得$x-y=1$ ③，
①$+$②，得$10000x + 10000y = 50000$，
两边同时除以10000，化简得$x+y=5$ ④，
联立③④得新方程组$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=5 \end{cases}$，
③+④得$2x=6$，解得$x=3$，
将$x=3$代入④，得$3+y=5$，解得$y=2$。
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、加减消元法
【点评】
本题是系数轮换互换型的特殊二元一次方程组，解题时不要盲目硬算，要先观察方程结构特征，灵活运用加减消元法做整体简化，能大幅降低计算量、提升正确率，侧重考查对消元法的灵活运用能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.7
2. ★★ 新考法 阅读类比法 先阅读，然后解方程组.
解方程组$\begin{cases} x - y - 1 = 0, ① \\ 4(x - y) - y = 5 ② \end{cases}$时，可由①得$x - y = 1$,③
再将③代入②，得$4×1 - y = 5$,解得$y = -1$,
从而进一步求得$\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$这种方法被称为“整体代入法”.
请用这样的方法解方程组$\begin{cases} 2x - 3y - 2 = 0, \\ \dfrac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9. \end{cases}$
解方程组$\begin{cases} x - y - 1 = 0, ① \\ 4(x - y) - y = 5 ② \end{cases}$时，可由①得$x - y = 1$,③
再将③代入②，得$4×1 - y = 5$,解得$y = -1$,
从而进一步求得$\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$这种方法被称为“整体代入法”.
请用这样的方法解方程组$\begin{cases} 2x - 3y - 2 = 0, \\ \dfrac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9. \end{cases}$
答案
$\begin{cases} 2x-3y-2=0,① \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9,② \end{cases}$
由①,得 $2x-3y=2$. ③
将③代入②,得$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$,解得 $y=4$.
把 $y=4$ 代入③,得 $2x-3×4=2$,解得 $x=7$.
故原方程组的解为 $\begin{cases} x=7, \\ y=4. \end{cases}$
点方法 当方程组某一项中含有相同的整式时,通常将此项看成一个整体,利用整体代入消元法解方程组.
由①,得 $2x-3y=2$. ③
将③代入②,得$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$,解得 $y=4$.
把 $y=4$ 代入③,得 $2x-3×4=2$,解得 $x=7$.
故原方程组的解为 $\begin{cases} x=7, \\ y=4. \end{cases}$
点方法 当方程组某一项中含有相同的整式时,通常将此项看成一个整体,利用整体代入消元法解方程组.
解析
【分析】
本题要求用整体代入法解二元一次方程组，解题时首先观察方程组的结构特征，发现两个方程中都含有相同的整式“2x-3y”，因此可以先从形式更简单的第一个方程中求出“2x-3y”的整体值，再将这个整体代入第二个方程，即可消去未知数x，先求出y的值，最后将y的值回代求出x的值，就能得到方程组的解。
【解析】
首先将方程组标注序号：
$\begin{cases} 2x-3y-2=0,① \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9,② \end{cases}$
由①移项可得：$2x-3y=2$，③
将③代入②，把“2x-3y”替换为2，得：$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$
化简得：$1+2y=9$，解得$y=4$
把$y=4$代入③，得：$2x-3×4=2$
化简得：$2x=14$，解得$x=7$
【答案】
$\begin{cases} x=7, \\ y=4. \end{cases}$
【知识点】
整体代入法；解二元一次方程组；代入消元法
【点评】
本题是整体代入消元法的典型应用，解题的核心是观察到方程组中重复出现的整式部分，将其视为整体代入，可大幅简化计算过程，避免了常规消元中去分母、整理方程的繁琐步骤，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
本题要求用整体代入法解二元一次方程组，解题时首先观察方程组的结构特征，发现两个方程中都含有相同的整式“2x-3y”，因此可以先从形式更简单的第一个方程中求出“2x-3y”的整体值，再将这个整体代入第二个方程，即可消去未知数x，先求出y的值，最后将y的值回代求出x的值，就能得到方程组的解。
【解析】
首先将方程组标注序号：
$\begin{cases} 2x-3y-2=0,① \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9,② \end{cases}$
由①移项可得：$2x-3y=2$，③
将③代入②，把“2x-3y”替换为2，得：$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$
化简得：$1+2y=9$，解得$y=4$
把$y=4$代入③，得：$2x-3×4=2$
化简得：$2x=14$，解得$x=7$
【答案】
$\begin{cases} x=7, \\ y=4. \end{cases}$
【知识点】
整体代入法；解二元一次方程组；代入消元法
【点评】
本题是整体代入消元法的典型应用，解题的核心是观察到方程组中重复出现的整式部分，将其视为整体代入，可大幅简化计算过程，避免了常规消元中去分母、整理方程的繁琐步骤，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ [四川自主招生]【阅读探索】
解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6, \\2(a-1)+(b+2)=6.\end{cases}$
解:设$a-1=x,b+2=y$,
则原方程组变为$\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2, \\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}a-1=2, \\b+2=2,\end{cases}$所以$\begin{cases}a=3, \\b=0.\end{cases}$
此种解方程组的方法叫换元法.
(1)【拓展提高】
运用上述方法解下列方程组:
$\begin{cases}(\dfrac{a}{3}-1)+2(\dfrac{b}{5}+2)=4, \\2(\dfrac{a}{3}-1)+(\dfrac{b}{5}+2)=5;\end{cases}$
(2)【能力运用】
已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3,\end{cases}$求关于$m,n$的方程组
$\begin{cases}5a_1(m+3)+3b_1(n-2)=c_1, \\5a_2(m+3)+3b_2(n-2)=c_2\end{cases}$的解.
解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6, \\2(a-1)+(b+2)=6.\end{cases}$
解:设$a-1=x,b+2=y$,
则原方程组变为$\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2, \\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}a-1=2, \\b+2=2,\end{cases}$所以$\begin{cases}a=3, \\b=0.\end{cases}$
此种解方程组的方法叫换元法.
(1)【拓展提高】
运用上述方法解下列方程组:
$\begin{cases}(\dfrac{a}{3}-1)+2(\dfrac{b}{5}+2)=4, \\2(\dfrac{a}{3}-1)+(\dfrac{b}{5}+2)=5;\end{cases}$
(2)【能力运用】
已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3,\end{cases}$求关于$m,n$的方程组
$\begin{cases}5a_1(m+3)+3b_1(n-2)=c_1, \\5a_2(m+3)+3b_2(n-2)=c_2\end{cases}$的解.
答案
(1) 设 $\dfrac{a}{3}-1=x,\dfrac{b}{5}+2=y$, 则原方程组变为 $\begin{cases} x+2y=4, \\ 2x+y=5, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=2, \\ y=1, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} \dfrac{a}{3}-1=2, \\ \dfrac{b}{5}+2=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=9, \\ b=-5. \end{cases}$
(2) 根据题意可得 $\begin{cases} 5(m+3)=5, \\ 3(n-2)=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2, \\ n=3. \end{cases}$
点方法 解两个方程中都含有相同结构整式的二元一次方程组时,常通过换元法使问题化繁为简.[图1]
解得 $\begin{cases} x=2, \\ y=1, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} \dfrac{a}{3}-1=2, \\ \dfrac{b}{5}+2=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=9, \\ b=-5. \end{cases}$
(2) 根据题意可得 $\begin{cases} 5(m+3)=5, \\ 3(n-2)=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2, \\ n=3. \end{cases}$
点方法 解两个方程中都含有相同结构整式的二元一次方程组时,常通过换元法使问题化繁为简.[图1]
解析
【分析】
（1）观察方程组可发现，两个方程中重复出现$\dfrac{a}{3}-1$和$\dfrac{b}{5}+2$两个固定结构，可参考例题的换元法，将这两个式子分别设为新未知数$x$、$y$，先把原方程组转化为关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，解出$x$、$y$后再还原为关于$a$、$b$的一元一次方程，即可求出原方程组的解。
（2）已知关于$x$、$y$的方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$，对比待求的关于$m$、$n$的方程组的结构，可将$5(m+3)$看作原方程组中的$x$，$3(n-2)$看作原方程组中的$y$，根据方程组解的定义，两个整体分别对应$x$、$y$的取值，列方程求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 设$\dfrac{a}{3}-1=x$，$\dfrac{b}{5}+2=y$，则原方程组化为：
$\begin{cases}x+2y=4 \\2x+y=5 \end{cases}$
将第一个方程乘2得$2x+4y=8$，减去第二个方程得：
$2x+4y-(2x+y)=8-5$，即$3y=3$，解得$y=1$。
把$y=1$代入$x+2y=4$，得$x+2×1=4$，解得$x=2$。
因此可得$\begin{cases}\dfrac{a}{3}-1=2 \\\dfrac{b}{5}+2=1 \end{cases}$，
解$\dfrac{a}{3}-1=2$：$\dfrac{a}{3}=3$，得$a=9$；
解$\dfrac{b}{5}+2=1$：$\dfrac{b}{5}=-1$，得$b=-5$。
(2) 因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5 \\y=3 \end{cases}$，
对比待求方程组$\begin{cases}5a_1(m+3)+3b_1(n-2)=c_1 \\5a_2(m+3)+3b_2(n-2)=c_2 \end{cases}$，可得：
$\begin{cases}5(m+3)=5 \\3(n-2)=3 \end{cases}$
解$5(m+3)=5$：两边同时除以5得$m+3=1$，解得$m=-2$；
解$3(n-2)=3$：两边同时除以3得$n-2=1$，解得$n=3$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=9 \\b=-5 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}m=-2 \\n=3 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组的解，整体思想
【点评】
本题考查换元法和整体思想在二元一次方程组中的应用，当方程组中出现相同结构的代数式时，通过换元或整体对应可简化运算，化繁为简，是解特殊方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.7
（1）观察方程组可发现，两个方程中重复出现$\dfrac{a}{3}-1$和$\dfrac{b}{5}+2$两个固定结构，可参考例题的换元法，将这两个式子分别设为新未知数$x$、$y$，先把原方程组转化为关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，解出$x$、$y$后再还原为关于$a$、$b$的一元一次方程，即可求出原方程组的解。
（2）已知关于$x$、$y$的方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$，对比待求的关于$m$、$n$的方程组的结构，可将$5(m+3)$看作原方程组中的$x$，$3(n-2)$看作原方程组中的$y$，根据方程组解的定义，两个整体分别对应$x$、$y$的取值，列方程求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 设$\dfrac{a}{3}-1=x$，$\dfrac{b}{5}+2=y$，则原方程组化为：
$\begin{cases}x+2y=4 \\2x+y=5 \end{cases}$
将第一个方程乘2得$2x+4y=8$，减去第二个方程得：
$2x+4y-(2x+y)=8-5$，即$3y=3$，解得$y=1$。
把$y=1$代入$x+2y=4$，得$x+2×1=4$，解得$x=2$。
因此可得$\begin{cases}\dfrac{a}{3}-1=2 \\\dfrac{b}{5}+2=1 \end{cases}$，
解$\dfrac{a}{3}-1=2$：$\dfrac{a}{3}=3$，得$a=9$；
解$\dfrac{b}{5}+2=1$：$\dfrac{b}{5}=-1$，得$b=-5$。
(2) 因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5 \\y=3 \end{cases}$，
对比待求方程组$\begin{cases}5a_1(m+3)+3b_1(n-2)=c_1 \\5a_2(m+3)+3b_2(n-2)=c_2 \end{cases}$，可得：
$\begin{cases}5(m+3)=5 \\3(n-2)=3 \end{cases}$
解$5(m+3)=5$：两边同时除以5得$m+3=1$，解得$m=-2$；
解$3(n-2)=3$：两边同时除以3得$n-2=1$，解得$n=3$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=9 \\b=-5 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}m=-2 \\n=3 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组的解，整体思想
【点评】
本题考查换元法和整体思想在二元一次方程组中的应用，当方程组中出现相同结构的代数式时，通过换元或整体对应可简化运算，化繁为简，是解特殊方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.7
