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11. ★★ 关键能力 理解符号含义 对于 $ x,y $ 定义一种新运算 $ F $，规定 $ F(x,y)=ax+by $（其中 $ a,b $ 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：$ F(0,0)=a×0+b×0=0 $。若 $ F(1,2)=-3,F(2,-1)=4 $，则下列结论中正确的个数为 ()
① $ F(3,4)=-5 $；
②若 $ F(m,n)-2F(-m,n)=27 $，则 $ m,n $ 有且仅有4组正整数解；
③若 $ k=1 $，则 $ F(kx,y)=F(x,ky) $ 对任意有理数 $ x,y $ 均成立。
A.3
B.2
C.1
D.0
① $ F(3,4)=-5 $；
②若 $ F(m,n)-2F(-m,n)=27 $，则 $ m,n $ 有且仅有4组正整数解；
③若 $ k=1 $，则 $ F(kx,y)=F(x,ky) $ 对任意有理数 $ x,y $ 均成立。
A.3
B.2
C.1
D.0
答案
11. A
【点拨】由题意得, $\begin{cases}a+2b=-3, \\2a-b=4,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=1, \\b=-2,\end{cases}$ 所以 $F(x,y)=x-2y$. 所以 $F(3,4)=3-2×4=-5$,所以①正确. 由题意得, $m-2n-2(-m-2n)=27$,所以 $3m+2n=27$,其正整数解为 $\begin{cases}m=1, \\n=12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3, \\n=9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=5, \\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=7, \\n=3,\end{cases}$ 共4组,所以②正确. 显然当 $k=1$ 时,有 $F(x,y)=F(x,y)$ 总成立,所以③正确. 故选 A.
【点拨】由题意得, $\begin{cases}a+2b=-3, \\2a-b=4,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=1, \\b=-2,\end{cases}$ 所以 $F(x,y)=x-2y$. 所以 $F(3,4)=3-2×4=-5$,所以①正确. 由题意得, $m-2n-2(-m-2n)=27$,所以 $3m+2n=27$,其正整数解为 $\begin{cases}m=1, \\n=12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3, \\n=9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=5, \\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=7, \\n=3,\end{cases}$ 共4组,所以②正确. 显然当 $k=1$ 时,有 $F(x,y)=F(x,y)$ 总成立,所以③正确. 故选 A.
解析
【分析】
首先理解新运算$F$的规则：$F(x,y)=ax+by$，其中$a,b$为未知常数。解题第一步先利用题目给出的两个$F$的运算结果，列出关于$a,b$的二元一次方程组，解出$a,b$的值得到$F(x,y)$的具体表达式，再逐一验证三个结论：①直接代入数值计算；②按新运算规则化简等式，得到关于$m,n$的二元一次方程，再枚举正整数解判断组数；③代入$k=1$，分别计算左右两边的运算结果比较是否相等即可。
【解析】
根据新运算定义和已知条件列方程组：
$\begin{cases}a+2b=-3 \\2a-b=4 \end{cases}$
用加减消元法求解：将第二个方程两边乘2得$4a-2b=8$，与第一个方程相加得$5a=5$，解得$a=1$，把$a=1$代入$a+2b=-3$，得$1+2b=-3$，解得$b=-2$，因此$F(x,y)=x-2y$。
逐一验证结论：
① 计算$F(3,4)=3-2×4=-5$，故①正确；
② 化简$F(m,n)-2F(-m,n)$：
$F(m,n)=m-2n$，$F(-m,n)=-m-2n$，
代入得$(m-2n)-2(-m-2n)=m-2n+2m+4n=3m+2n$，
由题意得$3m+2n=27$，求正整数解：
整理得$n=\frac{27-3m}{2}＞0$，则$m＜9$，且$27-3m$为正偶数，即$m$为正奇数，$m$可取1、3、5、7，对应解为$\begin{cases}m=1 \\n=12 \end{cases}$、$\begin{cases}m=3 \\n=9 \end{cases}$、$\begin{cases}m=5 \\n=6 \end{cases}$、$\begin{cases}m=7 \\n=3 \end{cases}$，共4组，故②正确；
③ 当$k=1$时，左边$F(kx,y)=F(x,y)=x-2y$，右边$F(x,ky)=F(x,y)=x-2y$，左右两边相等，对任意有理数$x,y$均成立，故③正确。
综上三个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合新定义考查代数运算能力，解题核心是先求出新运算的未知系数，再根据要求逐步推导验证，求解正整数解时需注意未知数的取值限制。
【难度系数】
0.7
首先理解新运算$F$的规则：$F(x,y)=ax+by$，其中$a,b$为未知常数。解题第一步先利用题目给出的两个$F$的运算结果，列出关于$a,b$的二元一次方程组，解出$a,b$的值得到$F(x,y)$的具体表达式，再逐一验证三个结论：①直接代入数值计算；②按新运算规则化简等式，得到关于$m,n$的二元一次方程，再枚举正整数解判断组数；③代入$k=1$，分别计算左右两边的运算结果比较是否相等即可。
【解析】
根据新运算定义和已知条件列方程组：
$\begin{cases}a+2b=-3 \\2a-b=4 \end{cases}$
用加减消元法求解：将第二个方程两边乘2得$4a-2b=8$，与第一个方程相加得$5a=5$，解得$a=1$，把$a=1$代入$a+2b=-3$，得$1+2b=-3$，解得$b=-2$，因此$F(x,y)=x-2y$。
逐一验证结论：
① 计算$F(3,4)=3-2×4=-5$，故①正确；
② 化简$F(m,n)-2F(-m,n)$：
$F(m,n)=m-2n$，$F(-m,n)=-m-2n$，
代入得$(m-2n)-2(-m-2n)=m-2n+2m+4n=3m+2n$，
由题意得$3m+2n=27$，求正整数解：
整理得$n=\frac{27-3m}{2}＞0$，则$m＜9$，且$27-3m$为正偶数，即$m$为正奇数，$m$可取1、3、5、7，对应解为$\begin{cases}m=1 \\n=12 \end{cases}$、$\begin{cases}m=3 \\n=9 \end{cases}$、$\begin{cases}m=5 \\n=6 \end{cases}$、$\begin{cases}m=7 \\n=3 \end{cases}$，共4组，故②正确；
③ 当$k=1$时，左边$F(kx,y)=F(x,y)=x-2y$，右边$F(x,ky)=F(x,y)=x-2y$，左右两边相等，对任意有理数$x,y$均成立，故③正确。
综上三个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合新定义考查代数运算能力，解题核心是先求出新运算的未知系数，再根据要求逐步推导验证，求解正整数解时需注意未知数的取值限制。
【难度系数】
0.7
12. 若方程组$\begin{cases}y - 2kx + 3 = 0, \\ y = (3k - 1)x + 2\end{cases}$无解，则$y = kx - 2$的图象不经过第 ______ 象限。
答案
12. 二
【点拨】$\begin{cases}y-2kx+3=0①, \\y=(3k-1)x+2②,\end{cases}$ 由①得 $y=2kx-3③$. 将③代入②,得 $2kx-3=(3k-1)x+2$,所以 $(k-1)· x=-5$. 因为方程组 $\begin{cases}y-2kx+3=0, \\y=(3k-1)x+2\end{cases}$ 无解,所以 $k-1=0$,所以 $k=1$. 当 $k=1$ 时, $y=kx-2=x-2$,因为 $y=x-2$ 的图象经过第一、三、四象限,所以 $y=x-2$ 的图象不经过第二象限.
本题的关键点在于明确方程组无解,则消元后得到的一元一次方程中未知数的系数等于0.
【点拨】$\begin{cases}y-2kx+3=0①, \\y=(3k-1)x+2②,\end{cases}$ 由①得 $y=2kx-3③$. 将③代入②,得 $2kx-3=(3k-1)x+2$,所以 $(k-1)· x=-5$. 因为方程组 $\begin{cases}y-2kx+3=0, \\y=(3k-1)x+2\end{cases}$ 无解,所以 $k-1=0$,所以 $k=1$. 当 $k=1$ 时, $y=kx-2=x-2$,因为 $y=x-2$ 的图象经过第一、三、四象限,所以 $y=x-2$ 的图象不经过第二象限.
本题的关键点在于明确方程组无解,则消元后得到的一元一次方程中未知数的系数等于0.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程组无解的条件：用代入消元法消去一个未知数后，得到的关于另一个未知数的一元一次方程，若未知数系数为0且常数项不为0时，方程无解，对应原方程组无解。我们先通过代入消元法处理给定的方程组求出k的取值，再代入一次函数$y=kx-2$，根据一次函数的图象性质判断它不经过的象限即可。
【解析】
先将原方程组整理为：
$\begin{cases}y=2kx-3 ①\\ y=(3k-1)x+2 ②\end{cases}$
把①代入②，可得：
$2kx-3=(3k-1)x+2$
移项、合并同类项后得：
$(k-1)x=-5$
∵原方程组无解，
∴上述关于$x$的一元一次方程无解，即$x$的系数为0，常数项不为0，
∴$k-1=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$y=kx-2$，得到函数解析式$y=x-2$。
在一次函数$y=x-2$中，$k=1＞0$，图象过第一、三象限；$b=-2＜0$，图象与$y$轴交于负半轴，因此图象还经过第四象限，故该函数图象不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组无解的条件；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是二元一次方程组与一次函数的综合基础题，解题核心是理解方程组无解对应的代数条件，求出$k$值后再结合一次函数的斜率和截距判断图象经过的象限，考查基础知识点的融合应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确二元一次方程组无解的条件：用代入消元法消去一个未知数后，得到的关于另一个未知数的一元一次方程，若未知数系数为0且常数项不为0时，方程无解，对应原方程组无解。我们先通过代入消元法处理给定的方程组求出k的取值，再代入一次函数$y=kx-2$，根据一次函数的图象性质判断它不经过的象限即可。
【解析】
先将原方程组整理为：
$\begin{cases}y=2kx-3 ①\\ y=(3k-1)x+2 ②\end{cases}$
把①代入②，可得：
$2kx-3=(3k-1)x+2$
移项、合并同类项后得：
$(k-1)x=-5$
∵原方程组无解，
∴上述关于$x$的一元一次方程无解，即$x$的系数为0，常数项不为0，
∴$k-1=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$y=kx-2$，得到函数解析式$y=x-2$。
在一次函数$y=x-2$中，$k=1＞0$，图象过第一、三象限；$b=-2＜0$，图象与$y$轴交于负半轴，因此图象还经过第四象限，故该函数图象不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组无解的条件；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是二元一次方程组与一次函数的综合基础题，解题核心是理解方程组无解对应的代数条件，求出$k$值后再结合一次函数的斜率和截距判断图象经过的象限，考查基础知识点的融合应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 已知实数$a,b$满足$2027a + 2026b = 3$，$2a + b = 1$，则$\frac{a}{b}$的值为。
答案
13. $-\dfrac{2023}{2021}$
【点拨】联立得 $\begin{cases}2027a+2026b=3①, \\2a+b=1②,\end{cases}$ 由②得 $b=1-2a③$,把③代入①,得 $2027a+2026(1-2a)=3$,去括号,得 $2027a+2026-4052a=3$,移项、合并同类项,得 $-2025a=-2023$,解得 $a=\dfrac{2023}{2025}$,把 $a=\dfrac{2023}{2025}$ 代入③,得 $b=1-\dfrac{4046}{2025}=-\dfrac{2021}{2025}$,则 $\dfrac{a}{b}=-\dfrac{2023}{2021}$.
【点拨】联立得 $\begin{cases}2027a+2026b=3①, \\2a+b=1②,\end{cases}$ 由②得 $b=1-2a③$,把③代入①,得 $2027a+2026(1-2a)=3$,去括号,得 $2027a+2026-4052a=3$,移项、合并同类项,得 $-2025a=-2023$,解得 $a=\dfrac{2023}{2025}$,把 $a=\dfrac{2023}{2025}$ 代入③,得 $b=1-\dfrac{4046}{2025}=-\dfrac{2021}{2025}$,则 $\dfrac{a}{b}=-\dfrac{2023}{2021}$.
解析
【分析】
本题要求$\frac{a}{b}$的值，已知两个关于$a$、$b$的二元一次方程，解题思路为：先将两个方程联立成二元一次方程组，观察方程系数，第二个方程$2a+b=1$中$b$的系数为1，变形更简便，因此采用代入消元法，先把第二个方程变形为用含$a$的代数式表示$b$，再代入第一个方程求出$a$的值，随后求出$b$的值，最后计算$a$与$b$的比值即可。
【解析】
联立两个方程得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2027a+2026b=3&① \\2a+b=1&② \end{cases}$
由②变形得：$b=1-2a$ ③
将③代入①，得：
$2027a + 2026(1-2a) = 3$
去括号得：$2027a + 2026 - 4052a = 3$
移项、合并同类项得：$-2025a = -2023$
解得：$a = \frac{2023}{2025}$
把$a = \frac{2023}{2025}$代入③，得：
$b = 1 - 2×\frac{2023}{2025} = 1 - \frac{4046}{2025} = -\frac{2021}{2025}$
因此$\frac{a}{b} = \frac{\frac{2023}{2025}}{-\frac{2021}{2025}} = -\frac{2023}{2021}$
【答案】
$-\dfrac{2023}{2021}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，解题的关键是合理选择系数简单的方程进行变形，计算时注意大数运算的准确性，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题要求$\frac{a}{b}$的值，已知两个关于$a$、$b$的二元一次方程，解题思路为：先将两个方程联立成二元一次方程组，观察方程系数，第二个方程$2a+b=1$中$b$的系数为1，变形更简便，因此采用代入消元法，先把第二个方程变形为用含$a$的代数式表示$b$，再代入第一个方程求出$a$的值，随后求出$b$的值，最后计算$a$与$b$的比值即可。
【解析】
联立两个方程得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2027a+2026b=3&① \\2a+b=1&② \end{cases}$
由②变形得：$b=1-2a$ ③
将③代入①，得：
$2027a + 2026(1-2a) = 3$
去括号得：$2027a + 2026 - 4052a = 3$
移项、合并同类项得：$-2025a = -2023$
解得：$a = \frac{2023}{2025}$
把$a = \frac{2023}{2025}$代入③，得：
$b = 1 - 2×\frac{2023}{2025} = 1 - \frac{4046}{2025} = -\frac{2021}{2025}$
因此$\frac{a}{b} = \frac{\frac{2023}{2025}}{-\frac{2021}{2025}} = -\frac{2023}{2021}$
【答案】
$-\dfrac{2023}{2021}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，解题的关键是合理选择系数简单的方程进行变形，计算时注意大数运算的准确性，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
14. 已知二元一次方程组$\begin{cases}|x| + x + y = 10, \\x + |y| - y = 12,\end{cases}$则$x + y$的值等于 ______ .
答案
14. $\dfrac{18}{5}$
【点拨】当 $x≥0,y≥0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}2x+y=10, \\x=12,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=12, \\y=-14,\end{cases}$ 不符合题意,故舍去; 当 $x≥0,y＜0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}2x+y=10, \\x-2y=12,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac{32}{5}, \\y=-\dfrac{14}{5},\end{cases}$ 此时 $x+y=\dfrac{32}{5}-\dfrac{14}{5}=\dfrac{18}{5}$; 当 $x＜0,y≥0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}y=10, \\x=12,\end{cases}$ 不符合题意,故舍去; 当 $x＜0,y＜0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}y=10, \\x-2y=12.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=32, \\y=10,\end{cases}$ 不符合题意,故舍去. 综上, $x+y=\dfrac{18}{5}$.
【点拨】当 $x≥0,y≥0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}2x+y=10, \\x=12,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=12, \\y=-14,\end{cases}$ 不符合题意,故舍去; 当 $x≥0,y＜0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}2x+y=10, \\x-2y=12,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac{32}{5}, \\y=-\dfrac{14}{5},\end{cases}$ 此时 $x+y=\dfrac{32}{5}-\dfrac{14}{5}=\dfrac{18}{5}$; 当 $x＜0,y≥0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}y=10, \\x=12,\end{cases}$ 不符合题意,故舍去; 当 $x＜0,y＜0$ 时,原方程组可转化为 $\begin{cases}y=10, \\x-2y=12.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=32, \\y=10,\end{cases}$ 不符合题意,故舍去. 综上, $x+y=\dfrac{18}{5}$.
解析
【分析】
本题是含绝对值的二元一次方程组求解问题，解题核心是利用绝对值的化简规则：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。由于x、y的正负未知，因此需要分x≥0且y≥0、x≥0且y＜0、x＜0且y≥0、x＜0且y＜0四种情况讨论，每种情况去掉绝对值符号后转化为普通的二元一次方程组求解，得到解后需验证是否符合该分类的正负前提，不符合的解要舍去，最终用符合条件的解计算x+y的值。
【解析】
我们分四种情况讨论：
1. 当$x≥0$，$y≥0$时，$|x|=x$，$|y|=y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}2x+y=10 \\x=12\end{cases}$
把$x=12$代入$2x+y=10$，解得$y=-14$，与$y≥0$矛盾，舍去该组解；
2. 当$x≥0$，$y＜0$时，$|x|=x$，$|y|=-y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}2x+y=10 ①\\x-2y=12 ②\end{cases}$
由①得$y=10-2x$，代入②得：$x-2(10-2x)=12$，整理得$5x=32$，解得$x=\frac{32}{5}$
把$x=\frac{32}{5}$代入$y=10-2x$，得$y=-\frac{14}{5}$，符合$x≥0$、$y＜0$的前提，保留该组解；
3. 当$x＜0$，$y≥0$时，$|x|=-x$，$|y|=y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}y=10 \\x=12\end{cases}$，与$x＜0$矛盾，舍去该组解；
4. 当$x＜0$，$y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}y=10 \\x-2y=12\end{cases}$，解得$x=32$，与$x＜0$、$y＜0$矛盾，舍去该组解。
综上，符合条件的解为$\begin{cases}x=\frac{32}{5} \\y=-\frac{14}{5}\end{cases}$，因此$x+y=\frac{32}{5}-\frac{14}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
$\dfrac{18}{5}$
【知识点】
绝对值的性质，二元一次方程组的解法，分类讨论思想
【点评】
本题重点考察含绝对值的方程组的求解能力，解题关键是根据绝对值的性质对未知数的正负合理分类，求解后要注意验证解是否符合分类的前提条件，避免产生增解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
本题是含绝对值的二元一次方程组求解问题，解题核心是利用绝对值的化简规则：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。由于x、y的正负未知，因此需要分x≥0且y≥0、x≥0且y＜0、x＜0且y≥0、x＜0且y＜0四种情况讨论，每种情况去掉绝对值符号后转化为普通的二元一次方程组求解，得到解后需验证是否符合该分类的正负前提，不符合的解要舍去，最终用符合条件的解计算x+y的值。
【解析】
我们分四种情况讨论：
1. 当$x≥0$，$y≥0$时，$|x|=x$，$|y|=y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}2x+y=10 \\x=12\end{cases}$
把$x=12$代入$2x+y=10$，解得$y=-14$，与$y≥0$矛盾，舍去该组解；
2. 当$x≥0$，$y＜0$时，$|x|=x$，$|y|=-y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}2x+y=10 ①\\x-2y=12 ②\end{cases}$
由①得$y=10-2x$，代入②得：$x-2(10-2x)=12$，整理得$5x=32$，解得$x=\frac{32}{5}$
把$x=\frac{32}{5}$代入$y=10-2x$，得$y=-\frac{14}{5}$，符合$x≥0$、$y＜0$的前提，保留该组解；
3. 当$x＜0$，$y≥0$时，$|x|=-x$，$|y|=y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}y=10 \\x=12\end{cases}$，与$x＜0$矛盾，舍去该组解；
4. 当$x＜0$，$y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}y=10 \\x-2y=12\end{cases}$，解得$x=32$，与$x＜0$、$y＜0$矛盾，舍去该组解。
综上，符合条件的解为$\begin{cases}x=\frac{32}{5} \\y=-\frac{14}{5}\end{cases}$，因此$x+y=\frac{32}{5}-\frac{14}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
$\dfrac{18}{5}$
【知识点】
绝对值的性质，二元一次方程组的解法，分类讨论思想
【点评】
本题重点考察含绝对值的方程组的求解能力，解题关键是根据绝对值的性质对未知数的正负合理分类，求解后要注意验证解是否符合分类的前提条件，避免产生增解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
15. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x -7y=16, \\2ax -by=4\end{cases}$和$\begin{cases}2x +5y=1, \\ax +2by=7\end{cases}$有相同的解.
(1)求出它们的相同解；
(2)求$(a+b)^{2026}$的值.
(1)求出它们的相同解；
(2)求$(a+b)^{2026}$的值.
答案
15. 【解】(1)由题意得 $\begin{cases}3x-7y=16,① \\2x+5y=1,②\end{cases}$
由②得 $x=\dfrac{1}{2}(1-5y)$. ③
将③代入①,得 $\dfrac{3}{2}(1-5y)-7y=16$,解得 $y=-1$.
把 $y=-1$ 代入③,得 $x=3$.
所以方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\y=-1.\end{cases}$
(2)把 $\begin{cases}x=3, \\y=-1\end{cases}$ 分别代入 $2ax-by=4$ 和 $ax+2by=7$,得 $\begin{cases}6a+b=4,① \\3a-2b=7,②\end{cases}$
由①得 $b=4-6a$. ③
把③代入②,得 $3a-2(4-6a)=7$,解得 $a=1$.
把 $a=1$ 代入③,得 $b=-2$.
所以 $(a+b)^{2026}=[1+(-2)]^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
由②得 $x=\dfrac{1}{2}(1-5y)$. ③
将③代入①,得 $\dfrac{3}{2}(1-5y)-7y=16$,解得 $y=-1$.
把 $y=-1$ 代入③,得 $x=3$.
所以方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\y=-1.\end{cases}$
(2)把 $\begin{cases}x=3, \\y=-1\end{cases}$ 分别代入 $2ax-by=4$ 和 $ax+2by=7$,得 $\begin{cases}6a+b=4,① \\3a-2b=7,②\end{cases}$
由①得 $b=4-6a$. ③
把③代入②,得 $3a-2(4-6a)=7$,解得 $a=1$.
把 $a=1$ 代入③,得 $b=-2$.
所以 $(a+b)^{2026}=[1+(-2)]^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的同解问题，解题思路清晰可分为两步：①两个方程组有相同解，说明该解同时满足四个方程，因此先把不含参数a、b的两个方程联立组成新的二元一次方程组，用本节课学习的代入消元法求解，即可得到它们的相同解；②将求出的相同解代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，代入$(a+b)^{2026}$计算即可，计算时注意负数的偶次幂为正数的规律。
【解析】
(1) 由两个方程组有相同解，可联立不含参数的方程：
$\begin{cases}3x-7y=16,① \\2x+5y=1,②\end{cases}$
由②变形得 $x=\dfrac{1}{2}(1-5y)$ ③
将③代入①，得 $\dfrac{3}{2}(1-5y)-7y=16$
去分母、整理得 $-29y=29$，解得 $y=-1$
把 $y=-1$ 代入③，得 $x=\dfrac{1}{2}×[1-5×(-1)]=3$
即两个方程组的相同解为$\begin{cases}x=3, \\y=-1.\end{cases}$
(2) 把$\begin{cases}x=3, \\y=-1\end{cases}$分别代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}6a+b=4,① \\3a-2b=7,②\end{cases}$
由①变形得 $b=4-6a$ ③
把③代入②，得 $3a-2(4-6a)=7$
整理得 $15a=15$，解得 $a=1$
把$a=1$代入③，得 $b=4-6×1=-2$
因此$(a+b)^{2026}=(1-2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=3 \\y=-1\end{cases}$
(2) $1$
【知识点】
二元一次方程组同解问题，代入消元法解二元一次方程组，有理数乘方运算
【点评】
本题的解题突破口是正确理解同解方程组的含义，先通过无参数的方程求出公共解，再逐步求解参数和代数式的值。解题过程中要熟练掌握代入消元法的步骤，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的同解问题，解题思路清晰可分为两步：①两个方程组有相同解，说明该解同时满足四个方程，因此先把不含参数a、b的两个方程联立组成新的二元一次方程组，用本节课学习的代入消元法求解，即可得到它们的相同解；②将求出的相同解代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，代入$(a+b)^{2026}$计算即可，计算时注意负数的偶次幂为正数的规律。
【解析】
(1) 由两个方程组有相同解，可联立不含参数的方程：
$\begin{cases}3x-7y=16,① \\2x+5y=1,②\end{cases}$
由②变形得 $x=\dfrac{1}{2}(1-5y)$ ③
将③代入①，得 $\dfrac{3}{2}(1-5y)-7y=16$
去分母、整理得 $-29y=29$，解得 $y=-1$
把 $y=-1$ 代入③，得 $x=\dfrac{1}{2}×[1-5×(-1)]=3$
即两个方程组的相同解为$\begin{cases}x=3, \\y=-1.\end{cases}$
(2) 把$\begin{cases}x=3, \\y=-1\end{cases}$分别代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}6a+b=4,① \\3a-2b=7,②\end{cases}$
由①变形得 $b=4-6a$ ③
把③代入②，得 $3a-2(4-6a)=7$
整理得 $15a=15$，解得 $a=1$
把$a=1$代入③，得 $b=4-6×1=-2$
因此$(a+b)^{2026}=(1-2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=3 \\y=-1\end{cases}$
(2) $1$
【知识点】
二元一次方程组同解问题，代入消元法解二元一次方程组，有理数乘方运算
【点评】
本题的解题突破口是正确理解同解方程组的含义，先通过无参数的方程求出公共解，再逐步求解参数和代数式的值。解题过程中要熟练掌握代入消元法的步骤，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
16. 小明为了方便探究关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=9(a≠0,b≠0)$的解的规律，把$x$和$y$的部分值填入下表.
(1)$p$的值为
(2)下列方程中，与$ax+by=9$组成方程组，在$-7＜x＜8$范围内有解的是
①$2x+y=-5$；②$x+2y=-4$；③$3x-y=1$.
(3)已知关于$x$的二元一次方程$cx+dy=1(c≠0,d≠0)$的部分解如下表所示.
求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=9,\\cx+dy=1\end{cases}$的解.
(1)$p$的值为
3
.(2)下列方程中，与$ax+by=9$组成方程组，在$-7＜x＜8$范围内有解的是
③
.(填序号)①$2x+y=-5$；②$x+2y=-4$；③$3x-y=1$.
(3)已知关于$x$的二元一次方程$cx+dy=1(c≠0,d≠0)$的部分解如下表所示.
求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=9,\\cx+dy=1\end{cases}$的解.
答案
16. 【解】(1)3
(2)③
【点拨】由(1)得 $x+y=3$. 方程组 $\begin{cases}x+y=3, \\2x+y=-5\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=-8, \\y=11,\end{cases}$ 故 ① 不符合题意. 方程组 $\begin{cases}x+y=3, \\x+2y=-4\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=10, \\y=-7,\end{cases}$ 故②不符合题意. 方程组 $\begin{cases}x+y=3, \\3x-y=1\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$ 故③符合题意. 故答案为③.
(3)把 $x=-7,y=-2$ 和 $x=8,y=13$ 代入 $cx+dy=1$,得 $\begin{cases}-7c-2d=1, \\8c+13d=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\dfrac{1}{5}, \\d=\dfrac{1}{5},\end{cases}$
所以 $cx+dy=1$ 即为 $-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}y=1$,
所以 $y-x=5$,
所以原方程组即为 $\begin{cases}x+y=3, \\y-x=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-1, \\y=4.\end{cases}$
故方程组 $\begin{cases}ax+by=9, \\cx+dy=1\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=-1, \\y=4.\end{cases}$
(2)③
【点拨】由(1)得 $x+y=3$. 方程组 $\begin{cases}x+y=3, \\2x+y=-5\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=-8, \\y=11,\end{cases}$ 故 ① 不符合题意. 方程组 $\begin{cases}x+y=3, \\x+2y=-4\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=10, \\y=-7,\end{cases}$ 故②不符合题意. 方程组 $\begin{cases}x+y=3, \\3x-y=1\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$ 故③符合题意. 故答案为③.
(3)把 $x=-7,y=-2$ 和 $x=8,y=13$ 代入 $cx+dy=1$,得 $\begin{cases}-7c-2d=1, \\8c+13d=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\dfrac{1}{5}, \\d=\dfrac{1}{5},\end{cases}$
所以 $cx+dy=1$ 即为 $-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}y=1$,
所以 $y-x=5$,
所以原方程组即为 $\begin{cases}x+y=3, \\y-x=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-1, \\y=4.\end{cases}$
故方程组 $\begin{cases}ax+by=9, \\cx+dy=1\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=-1, \\y=4.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 要求p的值，首先需确定二元一次方程$ax+by=9$中系数$a$、$b$的值：先将表格中给出的两组已知$x、y$的解代入方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，求解得到$a、b$后，再将含$p$的一组解代入化简后的方程，即可求出$p$。
(2) 先将$ax+by=9$化为最简形式，再分别与三个序号对应的方程联立组成方程组，求解每个方程组的$x$值，判断$x$是否在$-7＜x＜8$的范围内，符合条件的即为答案。
(3) 先将$cx+dy=1$给出的两组解代入方程，得到关于$c、d$的二元一次方程组，求解得到$c、d$后化简$cx+dy=1$，再与化简后的$ax+by=9$联立，用消元法求解即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 由题中$ax+by=9$的已知解代入计算可得$a=3$，$b=3$，因此原方程可化简为$3x+3y=9$，即$x+y=3$。将含$p$的解代入$x+y=3$，解得$p=3$。
(2) 分别联立方程求解：
① 联立$\begin{cases}x+y=3 \\2x+y=-5\end{cases}$，两式相减得$x=-8$，$-8＜-7$，不符合$-7＜x＜8$的要求；
② 联立$\begin{cases}x+y=3 \\x+2y=-4\end{cases}$，两式相减得$y=-7$，代入得$x=10$，$10＞8$，不符合要求；
③ 联立$\begin{cases}x+y=3 \\3x-y=1\end{cases}$，两式相加得$4x=4$，解得$x=1$，代入得$y=2$，$x=1$在$-7＜x＜8$范围内，符合要求。
因此选③。
(3) 将$x=-7,y=-2$和$x=8,y=13$代入$cx+dy=1$，得：
$\begin{cases}-7c-2d=1 \\8c+13d=1\end{cases}$
用消元法求解：给第一个方程乘13，第二个方程乘2，得$\begin{cases}-91c-26d=13 \\16c+26d=2\end{cases}$，两式相加得$-75c=15$，解得$c=-\dfrac{1}{5}$，代入第一个方程解得$d=\dfrac{1}{5}$。
因此$cx+dy=1$化简为$-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}y=1$，整理得$y-x=5$。
联立方程组$\begin{cases}x+y=3 \\y-x=5\end{cases}$，两式相加得$2y=8$，解得$y=4$，代入得$x=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{③}$
(3) $\boxed{\begin{cases}x=-1 \\y=4\end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，二元一次方程组的解
【点评】
本题综合考查了二元一次方程（组）解的含义以及消元法解二元一次方程组的应用，解题关键是先利用已知解求出方程的未知系数，再结合要求判断或求解方程组，注重对基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.6
(1) 要求p的值，首先需确定二元一次方程$ax+by=9$中系数$a$、$b$的值：先将表格中给出的两组已知$x、y$的解代入方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，求解得到$a、b$后，再将含$p$的一组解代入化简后的方程，即可求出$p$。
(2) 先将$ax+by=9$化为最简形式，再分别与三个序号对应的方程联立组成方程组，求解每个方程组的$x$值，判断$x$是否在$-7＜x＜8$的范围内，符合条件的即为答案。
(3) 先将$cx+dy=1$给出的两组解代入方程，得到关于$c、d$的二元一次方程组，求解得到$c、d$后化简$cx+dy=1$，再与化简后的$ax+by=9$联立，用消元法求解即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 由题中$ax+by=9$的已知解代入计算可得$a=3$，$b=3$，因此原方程可化简为$3x+3y=9$，即$x+y=3$。将含$p$的解代入$x+y=3$，解得$p=3$。
(2) 分别联立方程求解：
① 联立$\begin{cases}x+y=3 \\2x+y=-5\end{cases}$，两式相减得$x=-8$，$-8＜-7$，不符合$-7＜x＜8$的要求；
② 联立$\begin{cases}x+y=3 \\x+2y=-4\end{cases}$，两式相减得$y=-7$，代入得$x=10$，$10＞8$，不符合要求；
③ 联立$\begin{cases}x+y=3 \\3x-y=1\end{cases}$，两式相加得$4x=4$，解得$x=1$，代入得$y=2$，$x=1$在$-7＜x＜8$范围内，符合要求。
因此选③。
(3) 将$x=-7,y=-2$和$x=8,y=13$代入$cx+dy=1$，得：
$\begin{cases}-7c-2d=1 \\8c+13d=1\end{cases}$
用消元法求解：给第一个方程乘13，第二个方程乘2，得$\begin{cases}-91c-26d=13 \\16c+26d=2\end{cases}$，两式相加得$-75c=15$，解得$c=-\dfrac{1}{5}$，代入第一个方程解得$d=\dfrac{1}{5}$。
因此$cx+dy=1$化简为$-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}y=1$，整理得$y-x=5$。
联立方程组$\begin{cases}x+y=3 \\y-x=5\end{cases}$，两式相加得$2y=8$，解得$y=4$，代入得$x=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{③}$
(3) $\boxed{\begin{cases}x=-1 \\y=4\end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，二元一次方程组的解
【点评】
本题综合考查了二元一次方程（组）解的含义以及消元法解二元一次方程组的应用，解题关键是先利用已知解求出方程的未知系数，再结合要求判断或求解方程组，注重对基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.6
