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17.某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y(元)包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x(人)成正比例，当$x=10$时，$y=1200$.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)若该次比赛的费用为2 400元，则有多少名运动员参加了比赛？
(3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入$100x$元，设利润为$W$元(利润=收入－比赛的费用)，若$40≤ x≤60$，求$W$的最大值.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)若该次比赛的费用为2 400元，则有多少名运动员参加了比赛？
(3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入$100x$元，设利润为$W$元(利润=收入－比赛的费用)，若$40≤ x≤60$，求$W$的最大值.
答案
17.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+800(k≠0),将x=10,y=1200代入得:
10k+800=1200，
解得:k=40，
∴y与x之间的函数解析式为y=40x+800.
(2)
∵该次比赛的费用为2 400元，
且由(1)得y=40x+800，
把y=2 400代入得:
2 400=40x+800，
解得:x=40，
即若该次比赛的费用为2 400元,则有40名运动员参加了比赛.
(3)依题意得:
W=100x-y=100x-(40x+800)=60x-800.
∵60＞0，
∴W随x的增大而增大.
∵40≤x≤60,
∴当x=60时,W取得最大值.
把x=60代入W=60x-800，
得W=60×60-800=3 600-800=2 800，
∴W的最大值为2 800.
10k+800=1200，
解得:k=40，
∴y与x之间的函数解析式为y=40x+800.
(2)
∵该次比赛的费用为2 400元，
且由(1)得y=40x+800，
把y=2 400代入得:
2 400=40x+800，
解得:x=40，
即若该次比赛的费用为2 400元,则有40名运动员参加了比赛.
(3)依题意得:
W=100x-y=100x-(40x+800)=60x-800.
∵60＞0，
∴W随x的增大而增大.
∵40≤x≤60,
∴当x=60时,W取得最大值.
把x=60代入W=60x-800，
得W=60×60-800=3 600-800=2 800，
∴W的最大值为2 800.
解析
【分析】
(1) 题目明确总费用由固定费用和与参赛人数成正比的耗材费组成，符合一次函数y=kx+b的结构，其中固定费用800就是b的值，因此只需设解析式为y=kx+800(k≠0)，将已知的x=10、y=1200代入即可求出k，得到函数解析式。
(2) 第二问已知总费用y的值，直接将y=2400代入第一问求出的函数解析式，解一元一次方程即可得到参赛人数x。
(3) 第三问根据“利润=收入-费用”的关系，将收入100x和费用y的表达式代入，化简得到W关于x的一次函数，再根据一次函数的增减性，结合x的取值范围40≤x≤60，找到使W最大的x值，代入计算即可得到W的最大值。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为y=kx+800(k≠0)，
将x=10，y=1200代入得：$10k+800=1200$，
解得：$k=40$，
∴y与x之间的函数解析式为$y=40x+800$。
(2) 已知该次比赛的费用为2400元，将y=2400代入$y=40x+800$得：
$2400=40x+800$，
解得：$x=40$，
即有40名运动员参加了比赛。
(3) 依题意得，利润W=收入-比赛费用，即：
$W=100x-y=100x-(40x+800)=60x-800$，
∵$60＞0$，
∴W随x的增大而增大，
又
∵$40≤x≤60$，
∴当x=60时，W取得最大值，
将x=60代入得：$W=60×60-800=3600-800=2800$。
【答案】
(1) $y=40x+800$；(2) 40名；(3) 2800
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数的性质
【点评】
本题结合实际赛事场景考查一次函数的应用，解题核心是理清费用、收入、利润等数量间的关系，正确列出函数表达式，再结合一次函数增减性和自变量取值范围求解最值，侧重考察基础应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确总费用由固定费用和与参赛人数成正比的耗材费组成，符合一次函数y=kx+b的结构，其中固定费用800就是b的值，因此只需设解析式为y=kx+800(k≠0)，将已知的x=10、y=1200代入即可求出k，得到函数解析式。
(2) 第二问已知总费用y的值，直接将y=2400代入第一问求出的函数解析式，解一元一次方程即可得到参赛人数x。
(3) 第三问根据“利润=收入-费用”的关系，将收入100x和费用y的表达式代入，化简得到W关于x的一次函数，再根据一次函数的增减性，结合x的取值范围40≤x≤60，找到使W最大的x值，代入计算即可得到W的最大值。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为y=kx+800(k≠0)，
将x=10，y=1200代入得：$10k+800=1200$，
解得：$k=40$，
∴y与x之间的函数解析式为$y=40x+800$。
(2) 已知该次比赛的费用为2400元，将y=2400代入$y=40x+800$得：
$2400=40x+800$，
解得：$x=40$，
即有40名运动员参加了比赛。
(3) 依题意得，利润W=收入-比赛费用，即：
$W=100x-y=100x-(40x+800)=60x-800$，
∵$60＞0$，
∴W随x的增大而增大，
又
∵$40≤x≤60$，
∴当x=60时，W取得最大值，
将x=60代入得：$W=60×60-800=3600-800=2800$。
【答案】
(1) $y=40x+800$；(2) 40名；(3) 2800
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数的性质
【点评】
本题结合实际赛事场景考查一次函数的应用，解题核心是理清费用、收入、利润等数量间的关系，正确列出函数表达式，再结合一次函数增减性和自变量取值范围求解最值，侧重考察基础应用能力。
【难度系数】
0.8
18. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现. 机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处(A，B在同一直线上)巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍. 已知安安警官、麦克警官行走的路程$y_1$(米)，$y_2$(米)与安安警官行走的时间$x$(秒)之间的函数关系图象如图所示.
(1)如图，折线①表示
(2)求麦克警官提速后的速度，并求$m$，$n$的值；
(3)求折线①中线段EF所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长.
(1)如图，折线①表示
麦克
警官行走的路程与时间的函数图象(填“安安”或“麦克”)；(2)求麦克警官提速后的速度，并求$m$，$n$的值；
(3)求折线①中线段EF所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长.
答案
18.解:(1)麦克
(2)麦克提速前速度为:30÷(17-15)=15(米/秒),提速后速度为:15×2=30(米/秒).
EF段经过的时间为:(450-30)÷30=14(秒)，
∴m=17+14=31.
安安警官的速度为:310÷31=10(米/秒)，
∴n=450÷10=45.
(3)设线段EF所在直线的函数解析式为y=kx+b,将点E(17,30),点F(31,450)的坐标分别代入,得:
$\begin{cases}17k+b=30,\\31k+b=450,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=30,\\b=-480.\end{cases}$
∴折线①中线段EF所在直线的函数解析式为y=30x-480.
(4)安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒.
由题意得线段OQ所在直线的函数解析式为y=10x.
当x=15时,y=150;当x=17时,y=170，
当安安警官出发,而麦克警官未出发,安安在麦克前方120米时，
依题意得:10x=120，
解得x=12；
麦克警官出发后,当安安警官在麦克警官前方120米时，
依题意得:10x-(30x-480)=120，
解得x=18；
当安安警官在麦克警官后方120米时，
依题意得:30x-480-10x=120，
解得x=30；
当麦克警官到达B处,安安警官距B处120米时,依题意得:10x=450-120，
解得x=33.
12+(30-18)+(45-33)=36(秒)，
故安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒.
(2)麦克提速前速度为:30÷(17-15)=15(米/秒),提速后速度为:15×2=30(米/秒).
EF段经过的时间为:(450-30)÷30=14(秒)，
∴m=17+14=31.
安安警官的速度为:310÷31=10(米/秒)，
∴n=450÷10=45.
(3)设线段EF所在直线的函数解析式为y=kx+b,将点E(17,30),点F(31,450)的坐标分别代入,得:
$\begin{cases}17k+b=30,\\31k+b=450,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=30,\\b=-480.\end{cases}$
∴折线①中线段EF所在直线的函数解析式为y=30x-480.
(4)安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒.
由题意得线段OQ所在直线的函数解析式为y=10x.
当x=15时,y=150;当x=17时,y=170，
当安安警官出发,而麦克警官未出发,安安在麦克前方120米时，
依题意得:10x=120，
解得x=12；
麦克警官出发后,当安安警官在麦克警官前方120米时，
依题意得:10x-(30x-480)=120，
解得x=18；
当安安警官在麦克警官后方120米时，
依题意得:30x-480-10x=120，
解得x=30；
当麦克警官到达B处,安安警官距B处120米时,依题意得:10x=450-120，
解得x=33.
12+(30-18)+(45-33)=36(秒)，
故安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒.
解析
【分析】
(1) 由题意可知安安比麦克先出发，观察函数图象：折线②从x=0开始记录路程，折线①在x＞15后才开始产生路程，说明折线①对应晚出发的麦克警官的路程-时间函数图象。
(2) 先根据麦克前2秒（15秒到17秒）走了30米，计算出提速前的速度，再乘2得到提速后的速度；用麦克剩余路程除以提速后速度得到EF段行驶时间，加17即可得到m的值；再根据x=m时安安的路程为310米，算出安安的速度，总路程除以安安的速度即可得到n的值。
(3) 求一次函数解析式使用待定系数法，设线段EF的解析式为y=kx+b，将E、F两点的坐标代入求解二元一次方程组，即可得到函数解析式。
(4) 分三个阶段讨论两人距离≤120米的情况：①麦克未出发时，安安的路程不超过120米；②麦克提速后到麦克到达终点前，两人路程差的绝对值不超过120米；③麦克到达终点后，安安距离终点的路程不超过120米，分别计算各段符合条件的时长，求和即可得到总时长。
【解析】
(1) 因为安安先出发，折线①起步时间晚于折线②，所以折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象。
(2) 麦克提速前的行驶时间为$17-15=2$秒，行驶路程为30米，
提速前速度：$30÷(17-15)=15$（米/秒），
提速后速度：$15×2=30$（米/秒）。
麦克提速后需要行驶的路程为$450-30=420$米，
EF段行驶时间：$420÷30=14$（秒），
$\therefore m=17+14=31$。
当x=31时，安安行驶的路程为310米，
安安的速度：$310÷31=10$（米/秒），
安安走完全程的时间：$450÷10=45$（秒），
$\therefore n=45$。
(3) 设线段EF所在直线的函数解析式为$y=kx+b$，
将E(17,30)、F(31,450)代入解析式得：
$\begin{cases}17k+b=30\\31k+b=450\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$14k=420$，解得$k=30$，
将$k=30$代入$17k+b=30$得：$17×30+b=30$，解得$b=-480$，
$\therefore$线段EF的函数解析式为$y=30x-480$（$17≤ x≤31$）。
(4) 安安的路程函数为$y=10x$，分情况讨论：
① 麦克未出发（$0≤ x≤15$）时，两人距离为$10x≤120$，解得$x≤12$，此段符合条件的时长为$12-0=12$秒；
② 麦克行驶中（$17≤ x≤31$）时，两人距离为$\left|10x-(30x-480)\right|≤120$，即$\left|480-20x\right|≤120$，
解得$18≤ x≤30$，此段符合条件的时长为$30-18=12$秒；
③ 麦克到达终点后（$31≤ x≤45$）时，两人距离为$450-10x≤120$，解得$x≥33$，此段符合条件的时长为$45-33=12$秒；
总时长为$12+12+12=36$秒。
【答案】
(1) 麦克
(2) 麦克提速后速度为30米/秒，$m=31$，$n=45$
(3) $y=30x-480$（$17≤ x≤31$）
(4) 36秒
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分段行程问题
【点评】
本题结合实际生活场景，考查一次函数在行程问题中的综合应用，需要学生能从函数图象中提取关键信息，同时运用分类讨论思想分析不同运动阶段的距离关系，对读图能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 由题意可知安安比麦克先出发，观察函数图象：折线②从x=0开始记录路程，折线①在x＞15后才开始产生路程，说明折线①对应晚出发的麦克警官的路程-时间函数图象。
(2) 先根据麦克前2秒（15秒到17秒）走了30米，计算出提速前的速度，再乘2得到提速后的速度；用麦克剩余路程除以提速后速度得到EF段行驶时间，加17即可得到m的值；再根据x=m时安安的路程为310米，算出安安的速度，总路程除以安安的速度即可得到n的值。
(3) 求一次函数解析式使用待定系数法，设线段EF的解析式为y=kx+b，将E、F两点的坐标代入求解二元一次方程组，即可得到函数解析式。
(4) 分三个阶段讨论两人距离≤120米的情况：①麦克未出发时，安安的路程不超过120米；②麦克提速后到麦克到达终点前，两人路程差的绝对值不超过120米；③麦克到达终点后，安安距离终点的路程不超过120米，分别计算各段符合条件的时长，求和即可得到总时长。
【解析】
(1) 因为安安先出发，折线①起步时间晚于折线②，所以折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象。
(2) 麦克提速前的行驶时间为$17-15=2$秒，行驶路程为30米，
提速前速度：$30÷(17-15)=15$（米/秒），
提速后速度：$15×2=30$（米/秒）。
麦克提速后需要行驶的路程为$450-30=420$米，
EF段行驶时间：$420÷30=14$（秒），
$\therefore m=17+14=31$。
当x=31时，安安行驶的路程为310米，
安安的速度：$310÷31=10$（米/秒），
安安走完全程的时间：$450÷10=45$（秒），
$\therefore n=45$。
(3) 设线段EF所在直线的函数解析式为$y=kx+b$，
将E(17,30)、F(31,450)代入解析式得：
$\begin{cases}17k+b=30\\31k+b=450\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$14k=420$，解得$k=30$，
将$k=30$代入$17k+b=30$得：$17×30+b=30$，解得$b=-480$，
$\therefore$线段EF的函数解析式为$y=30x-480$（$17≤ x≤31$）。
(4) 安安的路程函数为$y=10x$，分情况讨论：
① 麦克未出发（$0≤ x≤15$）时，两人距离为$10x≤120$，解得$x≤12$，此段符合条件的时长为$12-0=12$秒；
② 麦克行驶中（$17≤ x≤31$）时，两人距离为$\left|10x-(30x-480)\right|≤120$，即$\left|480-20x\right|≤120$，
解得$18≤ x≤30$，此段符合条件的时长为$30-18=12$秒；
③ 麦克到达终点后（$31≤ x≤45$）时，两人距离为$450-10x≤120$，解得$x≥33$，此段符合条件的时长为$45-33=12$秒；
总时长为$12+12+12=36$秒。
【答案】
(1) 麦克
(2) 麦克提速后速度为30米/秒，$m=31$，$n=45$
(3) $y=30x-480$（$17≤ x≤31$）
(4) 36秒
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分段行程问题
【点评】
本题结合实际生活场景，考查一次函数在行程问题中的综合应用，需要学生能从函数图象中提取关键信息，同时运用分类讨论思想分析不同运动阶段的距离关系，对读图能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
