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【例】(2025—2026新余期中)投壶,源于射礼,是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.投壶的规则:由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方,用手把箭投向壶中并计算得分.箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线.同学们受游戏启发,将箭抽象为一个动点,并建立了下图所示的平面直角坐标系(单位长度为1 m).某同学将箭从$A(0,1.5)$处抛出,箭的飞行轨迹为抛物线$L:y=ax^2+bx+c$的一部分,且当箭的最大高度为2 m时,距离投出点的水平距离为1 m.把壶近似看作矩形$DEFG$,已知壶口的宽度$GF=0.2$ m,壶的高度$EF=0.72$ m.
(1)求抛物线$L$的解析式.
(2)若箭刚好由点$G$处擦边投入壶中,求人离壶的距离$OE$.
【点拨】(1)由题可知抛物线的顶点为$(-1,2)$,则可列$y=a(x+1)^2+2$,将$A(0,1.5)$代入,即可求出函数的解析式;(2)令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$,求出$x=-2.6$,则$OE=2.6 - 0.2=2.4$(m).
【解】(1)∵箭的最大高度为2 m时,距离投出点的水平距离为1 m,
∴抛物线的顶点为$(-1,2)$,
∴$y=a(x+1)^2+2$.
∵抛物线经过点$A(0,1.5)$,
∴$a+2=1.5$,解得$a=-0.5$,
∴$y=-0.5(x+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$.
(2)令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$,
解得$x_1=-2.6,x_2=0.6$(不符合题意,舍去),
∴$OE=2.6 - 0.2=2.4$(m),
∴人离壶的距离$OE$为2.4 m.
(1)求抛物线$L$的解析式.
(2)若箭刚好由点$G$处擦边投入壶中,求人离壶的距离$OE$.
【点拨】(1)由题可知抛物线的顶点为$(-1,2)$,则可列$y=a(x+1)^2+2$,将$A(0,1.5)$代入,即可求出函数的解析式;(2)令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$,求出$x=-2.6$,则$OE=2.6 - 0.2=2.4$(m).
【解】(1)∵箭的最大高度为2 m时,距离投出点的水平距离为1 m,
∴抛物线的顶点为$(-1,2)$,
∴$y=a(x+1)^2+2$.
∵抛物线经过点$A(0,1.5)$,
∴$a+2=1.5$,解得$a=-0.5$,
∴$y=-0.5(x+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$.
(2)令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$,
解得$x_1=-2.6,x_2=0.6$(不符合题意,舍去),
∴$OE=2.6 - 0.2=2.4$(m),
∴人离壶的距离$OE$为2.4 m.
答案
解：
(1) ∵箭的最大高度为2 m时，距离投出点的水平距离为1 m，
∴抛物线的顶点为$(-1,2)$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2+2$。
∵抛物线经过点$A(0,1.5)$，
将$A(0,1.5)$代入解析式得：$a+2=1.5$，
解得$a=-0.5$，
∴$y=-0.5(x+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$。
(2) 令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$，
解得$x_1=-2.6$，$x_2=0.6$（不符合题意，舍去），
∴点G的横坐标为$-2.6$，即$OD=2.6\ \mathrm{m}$，
∵$DE=GF=0.2\ \mathrm{m}$，
∴$OE=2.6 - 0.2=2.4(\mathrm{m})$。
答：(1) 抛物线$L$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$；(2) 人离壶的距离$OE$为$2.4\ \mathrm{m}$。
(1) ∵箭的最大高度为2 m时，距离投出点的水平距离为1 m，
∴抛物线的顶点为$(-1,2)$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2+2$。
∵抛物线经过点$A(0,1.5)$，
将$A(0,1.5)$代入解析式得：$a+2=1.5$，
解得$a=-0.5$，
∴$y=-0.5(x+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$。
(2) 令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$，
解得$x_1=-2.6$，$x_2=0.6$（不符合题意，舍去），
∴点G的横坐标为$-2.6$，即$OD=2.6\ \mathrm{m}$，
∵$DE=GF=0.2\ \mathrm{m}$，
∴$OE=2.6 - 0.2=2.4(\mathrm{m})$。
答：(1) 抛物线$L$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$；(2) 人离壶的距离$OE$为$2.4\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线的最大高度即顶点纵坐标，以及距离投出点的水平距离，投出点A在x=0处，水平向左1m即顶点横坐标为-1，因此顶点坐标为$(-1,2)$，选择顶点式设解析式更简便，再代入已知点A的坐标即可求出参数a，整理得到解析式。
(2) 箭从G点擦边投入，说明G点在抛物线上，且G点纵坐标等于壶的高度0.72m，将y=0.72代入第一问所得解析式求解x，结合壶在y轴左侧的实际情况舍去正根，得到G点横坐标即OD的长度，再用OD减去壶的宽度DE（与GF相等），即可得到OE的长度。
【解析】
(1)
∵箭的最大高度为2 m时，距离投出点的水平距离为1 m，
∴抛物线的顶点为$(-1,2)$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2+2$。
∵抛物线经过点$A(0,1.5)$，
将$A(0,1.5)$代入解析式得：$a+2=1.5$，
解得$a=-0.5$，
∴$y=-0.5(x+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$。
(2) 令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$，
解得$x_1=-2.6$，$x_2=0.6$（不符合题意，舍去），
∴点G的横坐标为$-2.6$，即$OD=2.6\ \mathrm{m}$，
∵$DE=GF=0.2\ \mathrm{m}$，
∴$OE=2.6 - 0.2=2.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 抛物线$L$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$；
(2) 人离壶的距离$OE$为$2.4\ \mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题以传统投壶游戏为背景，考查二次函数在实际问题中的应用，核心是将实际场景转化为二次函数数学模型，既需要熟练掌握二次函数顶点式的用法，也需要结合实际意义对方程的根进行取舍，题目设计新颖，能有效锻炼学生的建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线的最大高度即顶点纵坐标，以及距离投出点的水平距离，投出点A在x=0处，水平向左1m即顶点横坐标为-1，因此顶点坐标为$(-1,2)$，选择顶点式设解析式更简便，再代入已知点A的坐标即可求出参数a，整理得到解析式。
(2) 箭从G点擦边投入，说明G点在抛物线上，且G点纵坐标等于壶的高度0.72m，将y=0.72代入第一问所得解析式求解x，结合壶在y轴左侧的实际情况舍去正根，得到G点横坐标即OD的长度，再用OD减去壶的宽度DE（与GF相等），即可得到OE的长度。
【解析】
(1)
∵箭的最大高度为2 m时，距离投出点的水平距离为1 m，
∴抛物线的顶点为$(-1,2)$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2+2$。
∵抛物线经过点$A(0,1.5)$，
将$A(0,1.5)$代入解析式得：$a+2=1.5$，
解得$a=-0.5$，
∴$y=-0.5(x+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$。
(2) 令$-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}=0.72$，
解得$x_1=-2.6$，$x_2=0.6$（不符合题意，舍去），
∴点G的横坐标为$-2.6$，即$OD=2.6\ \mathrm{m}$，
∵$DE=GF=0.2\ \mathrm{m}$，
∴$OE=2.6 - 0.2=2.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 抛物线$L$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$；
(2) 人离壶的距离$OE$为$2.4\ \mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题以传统投壶游戏为背景，考查二次函数在实际问题中的应用，核心是将实际场景转化为二次函数数学模型，既需要熟练掌握二次函数顶点式的用法，也需要结合实际意义对方程的根进行取舍，题目设计新颖，能有效锻炼学生的建模能力。
【难度系数】
0.7
1. (2025—2026 上饶弋阳期中)如图，
，以50 m/s的速度将小球沿与地面成$45°$角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度$h$(单位：m)与飞行时间$t$(单位：s)之间具有函数关系$h=20t -5t^2$。下列叙述错误的是 (
A.小球飞出3 s时的飞行高度为15 m
B.小球从飞出到落地要用时4 s
C.小球的飞行高度可以达到20 m
D.小球的飞行高度不能达到15 m
，以50 m/s的速度将小球沿与地面成$45°$角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度$h$(单位：m)与飞行时间$t$(单位：s)之间具有函数关系$h=20t -5t^2$。下列叙述错误的是 (D
)A.小球飞出3 s时的飞行高度为15 m
B.小球从飞出到落地要用时4 s
C.小球的飞行高度可以达到20 m
D.小球的飞行高度不能达到15 m
答案
1.D
解析
【分析】
本题是二次函数在抛球问题中的实际应用，解题思路为逐个验证选项：1. 验证高度相关选项时，可将对应时间代入函数解析式计算高度，或将目标高度代入解析式解一元二次方程，判断是否存在正实数解；2. 验证落地时间时，令高度h=0，解一元二次方程取正的非零解即可；3. 验证最大高度时，可通过配方求二次函数的最大值判断。
【解析】
已知小球飞行高度与时间的函数关系为$h=20t - 5t^2$，逐个分析选项：
1. 验证选项A：将$t=3$代入解析式，得$h=20×3 -5×3^2=60-45=15\ \mathrm{m}$，故A选项表述正确，不符合题意。
2. 验证选项B：小球落地时高度$h=0$，令$20t-5t^2=0$，因式分解得$5t(4-t)=0$，解得$t=0$（初始时刻，舍去）或$t=4$，即飞出到落地用时4s，故B选项表述正确，不符合题意。
3. 验证选项C：对函数配方求最大值，$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20$，可知当$t=2$时，$h$取最大值20m，即飞行高度可以达到20m，故C选项表述正确，不符合题意。
4. 验证选项D：令$h=15$，得方程$20t-5t^2=15$，整理得$t^2-4t+3=0$，解得$t=1$或$t=3$，说明小球在1s和3s时高度均为15m，故D选项表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、一元二次方程求解
【点评】
本题结合球类飞行的生活场景考查二次函数的基础应用，只要熟练掌握二次函数求值、配方求最值以及一元二次方程的解法，逐个排查选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在抛球问题中的实际应用，解题思路为逐个验证选项：1. 验证高度相关选项时，可将对应时间代入函数解析式计算高度，或将目标高度代入解析式解一元二次方程，判断是否存在正实数解；2. 验证落地时间时，令高度h=0，解一元二次方程取正的非零解即可；3. 验证最大高度时，可通过配方求二次函数的最大值判断。
【解析】
已知小球飞行高度与时间的函数关系为$h=20t - 5t^2$，逐个分析选项：
1. 验证选项A：将$t=3$代入解析式，得$h=20×3 -5×3^2=60-45=15\ \mathrm{m}$，故A选项表述正确，不符合题意。
2. 验证选项B：小球落地时高度$h=0$，令$20t-5t^2=0$，因式分解得$5t(4-t)=0$，解得$t=0$（初始时刻，舍去）或$t=4$，即飞出到落地用时4s，故B选项表述正确，不符合题意。
3. 验证选项C：对函数配方求最大值，$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20$，可知当$t=2$时，$h$取最大值20m，即飞行高度可以达到20m，故C选项表述正确，不符合题意。
4. 验证选项D：令$h=15$，得方程$20t-5t^2=15$，整理得$t^2-4t+3=0$，解得$t=1$或$t=3$，说明小球在1s和3s时高度均为15m，故D选项表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、一元二次方程求解
【点评】
本题结合球类飞行的生活场景考查二次函数的基础应用，只要熟练掌握二次函数求值、配方求最值以及一元二次方程的解法，逐个排查选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8
