登录
1. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N和0.5 m，则动力F(N)关于动力臂l(m)的函数表达式正确的是（
A.$F=\dfrac{1200}{l}$
B.$F=\dfrac{600}{l}$
C.$F=\dfrac{500}{l}$
D.$F=\dfrac{0.5}{l}$
B
）A.$F=\dfrac{1200}{l}$
B.$F=\dfrac{600}{l}$
C.$F=\dfrac{500}{l}$
D.$F=\dfrac{0.5}{l}$
答案
1. B
解析
【分析】首先明确题目给出的杠杆原理公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，要求推导动力F关于动力臂l的函数表达式，只需将已知的阻力、阻力臂数值代入公式，再整理成F的形式，最后对比选项即可得出答案。
【解析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，已知阻力为1200 N，阻力臂为0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)，代入公式得：1200×0.5 = F×l，计算左边得600，即F·l = 600，变形可得F = 600/l，对应选项B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的应用、杠杆平衡原理
【点评】本题结合物理杠杆原理考查反比例函数表达式的推导，属于基础题型，解题关键是准确代入已知数值并整理函数式，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，已知阻力为1200 N，阻力臂为0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)，代入公式得：1200×0.5 = F×l，计算左边得600，即F·l = 600，变形可得F = 600/l，对应选项B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的应用、杠杆平衡原理
【点评】本题结合物理杠杆原理考查反比例函数表达式的推导，属于基础题型，解题关键是准确代入已知数值并整理函数式，难度较低。
【难度系数】0.8
2. 研究发现,近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例函数关系,小明佩戴的4000度近视镜片的焦距为0.25 m,经过一段时间的矫正治疗加上注意用眼健康,现在镜片焦距为0.4 m,则小明的近视镜度数可以调整为 （
A.300度
B.500度
C.250度
D.200度
C
）A.300度
B.500度
C.250度
D.200度
答案
2. C
解析
【分析】本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路为：①根据“度数y与焦距x成反比例”，设反比例函数解析式 $ y=\frac{k}{x} $（k为常数，k≠0）；②将已知的度数和对应焦距代入解析式，求出常数k的值；③再将调整后的焦距代入已求出的解析式，计算对应的度数，最后匹配选项得出答案。
【解析】因为近视镜度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，所以设反比例函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（k≠0，k为常数）。
将 $ y=4000 $，$ x=0.25 $ 代入解析式，得：
$ 4000 = \frac{k}{0.25} $
解得 $ k = 4000 × 0.25 = 1000 $
因此，反比例函数解析式为 $ y = \frac{1000}{x} $。
当镜片焦距 $ x=0.4 \, \mathrm{m} $ 时，代入解析式得：
$ y = \frac{1000}{0.4} = 250 $（度）
所以小明的近视镜度数调整为250度，对应选项C。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】因为近视镜度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，所以设反比例函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（k≠0，k为常数）。
将 $ y=4000 $，$ x=0.25 $ 代入解析式，得：
$ 4000 = \frac{k}{0.25} $
解得 $ k = 4000 × 0.25 = 1000 $
因此，反比例函数解析式为 $ y = \frac{1000}{x} $。
当镜片焦距 $ x=0.4 \, \mathrm{m} $ 时，代入解析式得：
$ y = \frac{1000}{0.4} = 250 $（度）
所以小明的近视镜度数调整为250度，对应选项C。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
3. 在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻阻值$ R(\Omega) $与光照度$ E(\mathrm{lx}) $之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示：
则光敏电阻阻值$ R $与光照度$ E $的函数表达式为
则光敏电阻阻值$ R $与光照度$ E $的函数表达式为
$R=\dfrac{30}{E}$
。答案
3. $R=\dfrac{30}{E}$
解析
【分析】
题目明确说明光敏电阻阻值$ R $与光照度$ E $成反比例函数关系，因此可先设反比例函数的一般形式，再选取表格中一组对应的$ E $、$ R $值，代入表达式求出常数$ k $，即可得到函数表达式。
【解析】
因为$ R $与$ E $成反比例函数关系，设函数表达式为$ R = \frac{k}{E} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
从表格中选取一组数据，如$ E=0.5\ \mathrm{lx} $时，$ R=60\ \Omega $，将其代入表达式得：
$ 60 = \frac{k}{0.5} $
解得$ k = 60×0.5 = 30 $。
验证其他数据（如$ E=1\ \mathrm{lx} $时，$ R=\frac{30}{1}=30\ \Omega $，与表格一致），因此函数表达式为$ R = \frac{30}{E} $。
【答案】
$ R=\dfrac{30}{E} $
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法求函数表达式
【点评】
本题是基础的反比例函数应用题，利用题目给出的反比例关系，通过待定系数法即可求解，步骤简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
题目明确说明光敏电阻阻值$ R $与光照度$ E $成反比例函数关系，因此可先设反比例函数的一般形式，再选取表格中一组对应的$ E $、$ R $值，代入表达式求出常数$ k $，即可得到函数表达式。
【解析】
因为$ R $与$ E $成反比例函数关系，设函数表达式为$ R = \frac{k}{E} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
从表格中选取一组数据，如$ E=0.5\ \mathrm{lx} $时，$ R=60\ \Omega $，将其代入表达式得：
$ 60 = \frac{k}{0.5} $
解得$ k = 60×0.5 = 30 $。
验证其他数据（如$ E=1\ \mathrm{lx} $时，$ R=\frac{30}{1}=30\ \Omega $，与表格一致），因此函数表达式为$ R = \frac{30}{E} $。
【答案】
$ R=\dfrac{30}{E} $
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法求函数表达式
【点评】
本题是基础的反比例函数应用题，利用题目给出的反比例关系，通过待定系数法即可求解，步骤简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力$y(\mathrm{N})$与动力臂$x(\mathrm{cm})$的几组对应值，根据学习经验，下表中$a$的值为
2.4
。答案
4. 2.4
解析
【分析】本题结合杠杆平衡条件，当阻力和阻力臂固定时，动力与动力臂的乘积为定值，属于反比例关系的应用。解题思路是：先利用已知的动力和动力臂计算出定值，再用定值除以未知的动力臂，即可求出对应的动力$a$的值。
【解析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，当阻力和阻力臂固定时，动力与动力臂的乘积为定值。
计算已知组的乘积：$1.5×8=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，$4×3=12$，$6×2=12$，可知定值为$12$。
当动力臂$x=5\mathrm{cm}$时，$a=\frac{12}{5}=2.4$。
【答案】2.4
【知识点】杠杆平衡条件、反比例关系
【点评】本题将物理杠杆平衡条件与数学反比例关系结合，核心是理解“定值”的意义，通过计算已知量的乘积找到定值，进而求解未知量，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
【解析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，当阻力和阻力臂固定时，动力与动力臂的乘积为定值。
计算已知组的乘积：$1.5×8=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，$4×3=12$，$6×2=12$，可知定值为$12$。
当动力臂$x=5\mathrm{cm}$时，$a=\frac{12}{5}=2.4$。
【答案】2.4
【知识点】杠杆平衡条件、反比例关系
【点评】本题将物理杠杆平衡条件与数学反比例关系结合，核心是理解“定值”的意义，通过计算已知量的乘积找到定值，进而求解未知量，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
5. 科学课上,同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度$h$(cm)是液体的密度$\rho$(g/cm³)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm}^3$的水中时,$h=20\ \mathrm{cm}$.
（1）求$h$关于$\rho$的函数表达式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时,$h=25\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度$\rho$.
（1）求$h$关于$\rho$的函数表达式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时,$h=25\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度$\rho$.
答案
5. (1) 解:设$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\dfrac{k}{\rho}$,把$\rho=1,h=20$代入表达式,得$k=1×20=20$,$\therefore h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\dfrac{20}{\rho}$；
(2) 把$h=25$代入$h=\dfrac{20}{\rho}$,得$25=\dfrac{20}{\rho}$,解得$\rho=0.8$.答:该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
(2) 把$h=25$代入$h=\dfrac{20}{\rho}$,得$25=\dfrac{20}{\rho}$,解得$\rho=0.8$.答:该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
解析
【分析】
题目中明确浸在液体中的高度$ h $是液体密度$ \rho $的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式，利用已知的$ \rho $和$ h $的值求出比例系数，得到函数表达式；第二问将已知的$ h $代入已求的函数表达式，即可计算出对应的液体密度。
【解析】
（1）设$ h $关于$ \rho $的反比例函数表达式为$ h=\dfrac{k}{\rho} $（$ k≠0 $），将$ \rho=1\ \mathrm{g/cm}^3 $、$ h=20\ \mathrm{cm} $代入表达式，得$ 20=\dfrac{k}{1} $，解得$ k=20 $，因此$ h $关于$ \rho $的函数表达式为$ h=\dfrac{20}{\rho} $。
（2）将$ h=25\ \mathrm{cm} $代入$ h=\dfrac{20}{\rho} $，得$ 25=\dfrac{20}{\rho} $，解得$ \rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
(1) $ h=\dfrac{20}{\rho} $；(2) $ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $
【知识点】
反比例函数应用，密度测量
【点评】
本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的应用，属于基础题型，解题关键是正确设出反比例函数形式并代入已知条件计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
题目中明确浸在液体中的高度$ h $是液体密度$ \rho $的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式，利用已知的$ \rho $和$ h $的值求出比例系数，得到函数表达式；第二问将已知的$ h $代入已求的函数表达式，即可计算出对应的液体密度。
【解析】
（1）设$ h $关于$ \rho $的反比例函数表达式为$ h=\dfrac{k}{\rho} $（$ k≠0 $），将$ \rho=1\ \mathrm{g/cm}^3 $、$ h=20\ \mathrm{cm} $代入表达式，得$ 20=\dfrac{k}{1} $，解得$ k=20 $，因此$ h $关于$ \rho $的函数表达式为$ h=\dfrac{20}{\rho} $。
（2）将$ h=25\ \mathrm{cm} $代入$ h=\dfrac{20}{\rho} $，得$ 25=\dfrac{20}{\rho} $，解得$ \rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
(1) $ h=\dfrac{20}{\rho} $；(2) $ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $
【知识点】
反比例函数应用，密度测量
【点评】
本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的应用，属于基础题型，解题关键是正确设出反比例函数形式并代入已知条件计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流$I(\mathrm{A})$与电阻$R(\Omega)$之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（
A.$I$与$R$的函数表达式是$I=\frac{500}{R}(R＞0)$
B.当$I=0.2$时，$R=200$
C.$I$随$R$的增大而增大
D.当$200＜R＜1000$时，$I$的取值范围是$0.05＜I＜0.25$
D
）A.$I$与$R$的函数表达式是$I=\frac{500}{R}(R＞0)$
B.当$I=0.2$时，$R=200$
C.$I$随$R$的增大而增大
D.当$200＜R＜1000$时，$I$的取值范围是$0.05＜I＜0.25$
答案
6. D
解析
【分析】
本题结合台灯电路考查反比例函数的应用，思路为：电压一定时，电流I与电阻R成反比例关系，先设反比例函数表达式，利用图像上的已知点求出定值电压，得到函数表达式；再根据反比例函数的性质逐一分析各选项，判断正误。
【解析】
1. 求I与R的函数表达式：
电压U一定时，由欧姆定律得I与R成反比例，设表达式为$ I=\frac{U}{R} $（U为定值）。将图像上的点$(500\Omega,0.1A)$代入，得$0.1=\frac{U}{500}$，解得$U=50$，因此函数表达式为$ I=\frac{50}{R}(R＞0) $。
2. 分析选项：
选项A：表达式为$I=\frac{500}{R}$，与推导的$I=\frac{50}{R}$不符，错误；
选项B：当$I=0.2$时，代入$I=\frac{50}{R}$，得$0.2=\frac{50}{R}$，解得$R=250\Omega≠200\Omega$，错误；
选项C：函数$I=\frac{50}{R}$中，$k=50＞0$，在$R＞0$时，I随R增大而减小，错误；
选项D：当$R=200\Omega$时，$I=\frac{50}{200}=0.25A$；当$R=1000\Omega$时，$I=\frac{50}{1000}=0.05A$，因I随R增大而减小，故$200＜R＜1000$时，$0.05＜I＜0.25$，正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数应用、欧姆定律
【点评】
本题将物理电路知识与数学反比例函数结合，考查函数表达式的求解及性质应用，需准确推导关系并逐一验证选项，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题结合台灯电路考查反比例函数的应用，思路为：电压一定时，电流I与电阻R成反比例关系，先设反比例函数表达式，利用图像上的已知点求出定值电压，得到函数表达式；再根据反比例函数的性质逐一分析各选项，判断正误。
【解析】
1. 求I与R的函数表达式：
电压U一定时，由欧姆定律得I与R成反比例，设表达式为$ I=\frac{U}{R} $（U为定值）。将图像上的点$(500\Omega,0.1A)$代入，得$0.1=\frac{U}{500}$，解得$U=50$，因此函数表达式为$ I=\frac{50}{R}(R＞0) $。
2. 分析选项：
选项A：表达式为$I=\frac{500}{R}$，与推导的$I=\frac{50}{R}$不符，错误；
选项B：当$I=0.2$时，代入$I=\frac{50}{R}$，得$0.2=\frac{50}{R}$，解得$R=250\Omega≠200\Omega$，错误；
选项C：函数$I=\frac{50}{R}$中，$k=50＞0$，在$R＞0$时，I随R增大而减小，错误；
选项D：当$R=200\Omega$时，$I=\frac{50}{200}=0.25A$；当$R=1000\Omega$时，$I=\frac{50}{1000}=0.05A$，因I随R增大而减小，故$200＜R＜1000$时，$0.05＜I＜0.25$，正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数应用、欧姆定律
【点评】
本题将物理电路知识与数学反比例函数结合，考查函数表达式的求解及性质应用，需准确推导关系并逐一验证选项，难度适中。
【难度系数】
0.6
