1. (2025·黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为 （）

A.$8000(1+2x)=1200$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$

1. B

【分析】
这是一道平均增长率类的应用题，解题思路如下：①首先明确增长的基期是一月份的8000辆，平均每月增长率为x，每月的销量是在上一个月的基础上增长，属于复利增长；②先推导二月份销量：一月份销量×(1+增长率)，再推导三月份销量：二月份销量×(1+增长率)，也就是一月份销量×(1+增长率)²；③结合题干给出的三月份销量为12000辆，即可列出对应方程，同时注意区分单月销量和三个月总销量，避免误选求和类选项。
【解析】
已知一月份销售量为8000辆，平均每月增长率为x：
1. 二月份的销售量 = 一月份销售量×(1+x) = $8000(1+x)$ 辆；
2. 三月份的销售量 = 二月份销售量×(1+x) = $8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$ 辆；
3. 题干明确三月份销售量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础考法，解题核心是掌握连续增长的量的计算逻辑，注意区分指定时期的单量和多个时期的总量，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.85

2. (2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）

A.20%
B.22%
C.25%
D.28%

2. C

【分析】
本题属于平均降价率类应用题，解题核心是掌握“原价×(1-降价百分率)ⁿ=现价”的计算公式（n为降价次数）。首先设每次降价的百分率为未知数，结合题目给出的原价、现价和降价次数列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际情况舍去不符合题意的根，即可得到正确答案。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $。
第一次降价后每盒药品的价格为$ 48(1-x) $元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后每盒价格为$ 48(1-x)^2 $元。
根据题意列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
两边同时除以48得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 0.25 = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1.75 $，降价百分率不可能大于1，不符合实际，舍去。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平均下降率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题关键是牢记变化率的计算公式，求解方程后注意结合实际意义验根，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8

3. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为$ x $，根据题意，请列出方程________。

3. $301(1+x)^2=500$

【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用问题，解题思路清晰：首先回忆平均增长率的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数。本题中第一个月的充电桩数量是初始增长前的量，从第一个月到第三个月一共经过2次增长，已知第三个月的最终数量，将对应数值代入数量关系即可列出方程。
【解析】
已知第一个月新建充电桩301个，月平均增长率为$x$：
1. 第二个月新建的充电桩数量为第一个月数量乘$(1+x)$，即$301(1+x)$个；
2. 第三个月新建的充电桩数量为第二个月数量乘$(1+x)$，即$301(1+x)×(1+x)=301(1+x)^2$个；
3. 结合题干给出的第三个月新建500个充电桩的条件，可列等式：$301(1+x)^2=500$。
【答案】
$301(1+x)^2=500$
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题关键是熟练掌握平均增长率的计算公式，同时要准确判断增长次数，避免写错指数。
【难度系数】
0.85

4.（2025·南京秦淮区期末）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学。第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会名同学。
A

4. 6

【分析】
这是典型的两轮传播类实际应用题，解题思路如下：1. 先设未知数，设1人每次能手把手教会x名同学；2. 明确每一轮会做实验的总人数：初始只有课代表1人会做，第一节课后，会做的总人数为初始的1人加上新教会的x人，即$1+x$人；3. 第二节课时，每一个会做的同学都能教会x人，因此第二节课新教会的人数为$x(1+x)$人，两轮后全班总共有49人会做，据此可列一元二次方程；4. 解方程后结合实际意义舍去负数解，即可得到结果。
【解析】
设1人每次能手把手教会$ x $名同学。
根据题意，初始有1人会做实验，第一节课后会做的人数为$ 1+x $，第二节课后会做的总人数为$ (1+x) + x(1+x) = (1+x)^2 $，可列方程：
$(1+x)^2 = 49$
开平方得：$ 1+x = 7 $ 或 $ 1+x = -7 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-8 $
因为教会的人数不能为负数，所以舍去$ x_2=-8 $，即$ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程实际应用、传播类问题建模
【点评】
本题是传播类应用题的常规考法，解题核心是理清每一轮的传播主体数量，根据总人数的等量关系列方程求解，得出结果后要注意结合实际意义检验根的合理性。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=30°$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,点$E$从$A$点出发,沿射线$AB$运动,速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,点$F$从点$C$出发,沿线段$CA$运动,速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,连接$EF$.$E$,$F$两点同时出发,当点$F$到达点$A$时,点$E$也停止运动,请问经过$\mathrm{s}$后,$△ AEF$的面积恰为$12\ \mathrm{cm}^2$.

5. 4或6

【分析】
解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长度，再设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出线段AE、AF的长度；接下来作△AEF中AE边上的高，结合∠A=30°的性质用t表示出高的长度，最后根据三角形面积公式列一元二次方程求解，注意验证解是否符合运动的实际范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ BAC=30°$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AC=2BC=10\ \mathrm{cm}$。
设经过$t$秒后，$△ AEF$的面积恰为$12\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：点E的运动路程$AE=2t\ \mathrm{cm}$，点F的运动路程$CF=t\ \mathrm{cm}$，因此$AF=AC-CF=(10-t)\ \mathrm{cm}$。
过点F作$FD⊥ AB$于点D，在$Rt△ AFD$中，$∠ A=30°$，所以FD是30°角对的直角边，因此$FD=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}(10-t)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入$S_{△ AEF}=12$，底$AE=2t$，高$FD=\frac{1}{2}(10-t)$，得：
$\frac{1}{2}× 2t × \frac{1}{2}(10-t)=12$
化简得：$t(10-t)=24$，整理为标准一元二次方程形式：$t^2-10t+24=0$，
因式分解得：$(t-4)(t-6)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=6$。
又因为点F运动到A点时停止，因此$0≤ t≤10$，4和6均在取值范围内，符合题意。
【答案】
4或6
【知识点】
直角三角形性质，一元二次方程应用，动点面积问题
【点评】
本题属于典型的动点结合面积的应用题，解题核心是将动态的线段长度用时间的代数式表示，再结合几何性质列方程求解，求解后要注意验证根是否符合实际运动的限制条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.65

6.（2024秋·盐都区期末）在矩形ABCD中，AB=10 cm，BC=12 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4 cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动。设运动时间为t秒(t＞0)。
（1）当t为何值时，PQ的长度等于10 cm？
（2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104 cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由。

6. (1) 由题意得:AP=2t cm,BQ=4t cm,则PB=AB-AP=(10-2t)cm,在Rt△PBQ中,由勾股定理得:PB²+BQ²=PQ²,即(10-2t)²+(4t)²=10²,整理得:t²-2t=0,解得:t₁=2,t₂=0(不合题意,舍去),
∴ 当t=2时,PQ的长度等于10 cm；
(2) 存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于104 cm²,理由如下:由题意得:$S_{长方形ABCD}=10×12=120(\mathrm{cm}^2)$,$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} PB · BQ=\frac{1}{2}×(10-2t)×4t=-4t^2+20t$,
∴ $S_{五边形APQCD}=S_{长方形ABCD}-S_{△ PBQ}=120-(-4t^2+20t)=104$,整理得:$t^2-5t+4=0$,解得:$t_1=4,t_2=1$,当t=4时,BQ=16 cm＞12 cm,不合题意,舍去;当t=1时,BQ=4 cm＜12 cm,符合题意;
∴ 存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于104 cm²,此时t的值为1.

【分析】
（1）解决第一问时，先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出线段AP、BQ的长度，进而得到PB的长度；由于△PBQ是直角三角形，已知PQ的长度，因此可利用勾股定理建立关于t的一元二次方程，解方程后结合t的实际意义舍去不符合的解即可。
（2）解决第二问时，五边形APQCD的面积可转化为矩形ABCD的面积减去△PBQ的面积，先计算出矩形的面积，再用含t的代数式表示出△PBQ的面积，根据五边形面积为104cm²列方程求解，最后检验所得的t是否符合运动的取值范围，判断解是否有效。
【解析】
（1）由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB = AB - AP = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$，
∵ $PQ=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $(10-2t)^2 + (4t)^2 = 10^2$，
整理得：$t^2 - 2t = 0$，
解得$t_1=2$，$t_2=0$，
∵ $t＞0$，
∴ $t_2=0$不合题意，舍去，
∴ 当$t=2$时，PQ的长度等于10 cm。
（2）存在$t$的值，使得五边形APQCD的面积等于$104\ \mathrm{cm}^2$，理由如下：
矩形ABCD的面积$S_{\mathrm{长方形}ABCD} = AB× BC = 10×12 = 120(\mathrm{cm}^2)$，
$△ PBQ$的面积$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (10-2t) × 4t = -4t^2 + 20t$，
∵ $S_{\mathrm{五边形}APQCD} = S_{\mathrm{长方形}ABCD} - S_{△ PBQ} = 104$，
∴ $120 - (-4t^2 + 20t) = 104$，
整理得：$t^2 - 5t + 4 = 0$，
解得$t_1=1$，$t_2=4$，
∵ 点Q运动到C时停止运动，运动总时长为$12÷4=3(\mathrm{s})$，即$t≤3$，
∴ $t=4＞3$，不合题意，舍去，$t=1$符合要求，
∴ 存在$t=1$，使得五边形APQCD的面积等于$104\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）$t=2$；（2）存在，此时$t$的值为1
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的应用，图形面积计算
【点评】
本题属于动点与一元二次方程结合的应用题，解题的关键是用含时间$t$的代数式表示出相关线段的长度，结合几何性质建立方程求解，同时要注意结合运动的实际限制对所得的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7