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8. 为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m²，那么小道进出口的宽度应为多少？(注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
答案
8. 设小道进出口的宽度应为x m,根据题意,得$(30-2x)(20-x)=532$. 整理,得$x^2-35x+34=0$. 解得$x_1=34$(舍去),$x_2=1$.所以进出口宽度为1 m.
解析
【分析】
解决这类含道路的面积问题，可通过平移法将分散的种植花草区域拼接成规则矩形，简化面积计算。首先设小道宽度为x m，两条纵向小道各宽x，因此拼接后矩形的长为原长减去2个x，即(30-2x)m；横向小道宽x，拼接后矩形的宽为原宽减去x，即(20-x)m。再结合种植花草的面积为532 m²列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际场景，舍去不合理的解即可。
【解析】
解：设小道进出口的宽度应为x m。
根据题意，平移后种植区域的面积为532 m²，列方程得：
$(30-2x)(20-x)=532$
展开整理方程：
$600-30x-40x+2x^2=532$
$2x^2-70x+68=0$
化简得：$x^2-35x+34=0$
因式分解得：$(x-1)(x-34)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=34$
由于原矩形空地的宽为20 m，$34＞20$不符合实际，故舍去$x=34$。
【答案】
1 m
【知识点】
一元二次方程应用；平移法求面积；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题核心是利用平移将不规则的种植区域转化为规则矩形，降低计算难度，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解决这类含道路的面积问题，可通过平移法将分散的种植花草区域拼接成规则矩形，简化面积计算。首先设小道宽度为x m，两条纵向小道各宽x，因此拼接后矩形的长为原长减去2个x，即(30-2x)m；横向小道宽x，拼接后矩形的宽为原宽减去x，即(20-x)m。再结合种植花草的面积为532 m²列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际场景，舍去不合理的解即可。
【解析】
解：设小道进出口的宽度应为x m。
根据题意，平移后种植区域的面积为532 m²，列方程得：
$(30-2x)(20-x)=532$
展开整理方程：
$600-30x-40x+2x^2=532$
$2x^2-70x+68=0$
化简得：$x^2-35x+34=0$
因式分解得：$(x-1)(x-34)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=34$
由于原矩形空地的宽为20 m，$34＞20$不符合实际，故舍去$x=34$。
【答案】
1 m
【知识点】
一元二次方程应用；平移法求面积；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题核心是利用平移将不规则的种植区域转化为规则矩形，降低计算难度，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,有一块矩形硬纸板,长是 30 cm,宽是 20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为 200 cm²?
答案
9. 设剪去正方形的边长为x cm,则做成无盖长方体盒子的底面长为$(30-2x)$cm,宽为$(20-2x)$cm,高为x cm,依题意,得:$2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200$,整理,得:$2x^2-25x+50=0$,解得:$x_1=\frac{5}{2},x_2=10$.当$x=10$时,$20-2x=0$,不合题意,舍去.答:当剪去正方形的边长为$\frac{5}{2}$ cm时,所得长方体盒子的侧面积为 200 cm².
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决几何实际问题的题目，解题思路如下：第一步，设剪去的正方形边长为x cm，先分析折成的无盖长方体的各部分尺寸：原矩形长30cm，两端各剪去一个边长x的正方形，因此长方体底面长为(30-2x)cm；原矩形宽20cm，同理底面宽为(20-2x)cm，长方体的高就是剪去的正方形的边长x cm。第二步，明确长方体侧面积的计算方法：侧面积是前后左右4个面的面积之和，等于底面周长乘高，即2×(长+宽)×高。第三步，根据侧面积为200cm²列方程，求解方程后结合实际情况检验解是否合理：长方体的底面边长不能小于等于0，因此要舍去不符合要求的解，最终得到正确答案。
【解析】
解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成的无盖长方体盒子的底面长为$(30-2x)$cm，底面宽为$(20-2x)$cm，高为x cm。
根据长方体侧面积为200 cm²，列方程得：
$2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200$
整理得：
$2x^2-25x+50=0$
因式分解得$(2x-5)(x-10)=0$，解得：
$x_1=\frac{5}{2},x_2=10$
检验：当$x=10$时，$20-2x=0$，无法构成长方体，不合题意，舍去。
因此符合题意的解为$x=\frac{5}{2}$。
【答案】当剪去正方形的边长为$\frac{5}{2}$ cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm²。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 长方体侧面积计算
3. 实际解的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的常见题型，解题的核心是结合图形正确用未知数表示出长方体的相关边长，再根据面积等量关系列方程，需要注意解出方程后一定要结合实际场景判断解是否合理，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决几何实际问题的题目，解题思路如下：第一步，设剪去的正方形边长为x cm，先分析折成的无盖长方体的各部分尺寸：原矩形长30cm，两端各剪去一个边长x的正方形，因此长方体底面长为(30-2x)cm；原矩形宽20cm，同理底面宽为(20-2x)cm，长方体的高就是剪去的正方形的边长x cm。第二步，明确长方体侧面积的计算方法：侧面积是前后左右4个面的面积之和，等于底面周长乘高，即2×(长+宽)×高。第三步，根据侧面积为200cm²列方程，求解方程后结合实际情况检验解是否合理：长方体的底面边长不能小于等于0，因此要舍去不符合要求的解，最终得到正确答案。
【解析】
解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成的无盖长方体盒子的底面长为$(30-2x)$cm，底面宽为$(20-2x)$cm，高为x cm。
根据长方体侧面积为200 cm²，列方程得：
$2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200$
整理得：
$2x^2-25x+50=0$
因式分解得$(2x-5)(x-10)=0$，解得：
$x_1=\frac{5}{2},x_2=10$
检验：当$x=10$时，$20-2x=0$，无法构成长方体，不合题意，舍去。
因此符合题意的解为$x=\frac{5}{2}$。
【答案】当剪去正方形的边长为$\frac{5}{2}$ cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm²。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 长方体侧面积计算
3. 实际解的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的常见题型，解题的核心是结合图形正确用未知数表示出长方体的相关边长，再根据面积等量关系列方程，需要注意解出方程后一定要结合实际场景判断解是否合理，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
10. 在一面高度为2.8 m的墙上，准备开凿一个矩形窗户，现用9.5 m长的铝合金制成如图所示的窗框，则窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3 m²(铝合金的宽度忽略不计)？
答案
10. 设窗户的高为$(x+0.5)$m,则窗户的宽为$\frac{9.5-2x-1.5}{3}$ m,即为$\frac{8-2x}{3}$ m. 根据题意得$(x+0.5)×\frac{8-2x}{3}=3$.整理得$2x^2-7x+5=0$.解得$x_1=1,x_2=2.5$.检验:当$x_2=2.5$时,$x+0.5=3＞2.8$,舍去.所以$x=1,x+0.5=1.5(m),\frac{8-2x}{3}=2(m). ∴$ 窗户的高为 1.5 m,宽为 2 m 时,其透光面积为 3 m².
解析
【分析】
首先观察窗框结构，明确铝合金边的组成：共3段长度等于窗户宽度的水平边，竖直边包含3段长0.5m的上边和2段长度等于下方大矩形高度的下边。解题时先设未知数表示窗户的高度，再结合铝合金总长用含未知数的式子表示窗户的宽度，接着根据透光面积为3㎡列一元二次方程求解，最后结合墙高2.8m的限制条件检验根的合理性，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设窗户下方大矩形的高度为$x$ m，则窗户的总高度为$(x+0.5)$ m。
根据铝合金总长为9.5m，可得窗户的宽度为$\frac{9.5 - 3×0.5 - 2x}{3} = \frac{8 - 2x}{3}$ m。
根据透光面积为3$\mathrm{m}^2$，列方程：
$(x+0.5) × \frac{8 - 2x}{3} = 3$
整理得：$2x^2 -7x +5 = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2.5$
检验：当$x=2.5$时，窗户总高$x+0.5=3$ m，$3＞2.8$，超过墙高，不符合实际，舍去；
当$x=1$时，窗户总高为$1+0.5=1.5$ m，符合墙高要求，此时窗户宽度为$\frac{8-2×1}{3}=2$ m。
【答案】
窗户的宽为2 m，高为1.5 m时，其透光面积为3 $\mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际根的检验
【点评】
本题属于一元二次方程的几何实际应用问题，解题核心是准确分析窗框的边长构成找到等量关系列方程，同时要注意结合实际场景的限制条件对求解得到的根进行验证，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
首先观察窗框结构，明确铝合金边的组成：共3段长度等于窗户宽度的水平边，竖直边包含3段长0.5m的上边和2段长度等于下方大矩形高度的下边。解题时先设未知数表示窗户的高度，再结合铝合金总长用含未知数的式子表示窗户的宽度，接着根据透光面积为3㎡列一元二次方程求解，最后结合墙高2.8m的限制条件检验根的合理性，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设窗户下方大矩形的高度为$x$ m，则窗户的总高度为$(x+0.5)$ m。
根据铝合金总长为9.5m，可得窗户的宽度为$\frac{9.5 - 3×0.5 - 2x}{3} = \frac{8 - 2x}{3}$ m。
根据透光面积为3$\mathrm{m}^2$，列方程：
$(x+0.5) × \frac{8 - 2x}{3} = 3$
整理得：$2x^2 -7x +5 = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2.5$
检验：当$x=2.5$时，窗户总高$x+0.5=3$ m，$3＞2.8$，超过墙高，不符合实际，舍去；
当$x=1$时，窗户总高为$1+0.5=1.5$ m，符合墙高要求，此时窗户宽度为$\frac{8-2×1}{3}=2$ m。
【答案】
窗户的宽为2 m，高为1.5 m时，其透光面积为3 $\mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际根的检验
【点评】
本题属于一元二次方程的几何实际应用问题，解题核心是准确分析窗框的边长构成找到等量关系列方程，同时要注意结合实际场景的限制条件对求解得到的根进行验证，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
11. 为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过$a$千瓦·时，则一个月的电费为20元；若超过$a$千瓦·时，则除了交20元外，超过部分每千瓦·时要交$\frac{a}{100}$元.某宿舍3月份用电80千瓦·时，交电费35元；4月份用电45千瓦·时，交电费20元.
(1) 求$a$的值；
(2) 若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦·时？
(1) 求$a$的值；
(2) 若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦·时？
答案
11. (1) 根据3月份用电80千瓦·时,交电费35元,得,$20+\frac{a}{100}(80-a)=35$,即$a^2-80a+1500=0$.解得$a=30$或$a=50$.由4月份用电45千瓦·时,交电费20元,得,$a≥45. ∴ a=50.$ (2) 设月用电量为x千瓦·时,交电费y元.则 $y=\begin{cases}20(0≤ x≤ 50),\\20+0.5(x-50)(x＞50),\end{cases}$
∵ 5月份交电费45元,
∴ 5月份用电量超过 50 千瓦·时.
∴ 45=20+0.5(x-50),解得$x=100$.答:若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为100千瓦·时.
∵ 5月份交电费45元,
∴ 5月份用电量超过 50 千瓦·时.
∴ 45=20+0.5(x-50),解得$x=100$.答:若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为100千瓦·时.
解析
【分析】
(1) 求a的值时，首先根据3月份电费35元大于基础电费20元，可知3月份用电量80千瓦·时超过了a，因此按照超过部分的收费规则列一元二次方程求解；得到方程的两个根后，再结合4月份用电45千瓦·时仅交20元，说明45千瓦·时未超过a，即a≥45，据此筛选出符合条件的a的值。
(2) 求5月份用电量时，首先对比电费45元与基础电费20元，判断出5月份用电量超过a=50千瓦·时，再按照超过部分的收费规则列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 由3月份用电80千瓦·时，交电费35元（35＞20），可知用电量超过a千瓦·时，列方程得：
$20+\frac{a}{100}(80-a)=35$
整理得：$a^2-80a+1500=0$
因式分解得：$(a-30)(a-50)=0$
解得$a=30$或$a=50$
再由4月份用电45千瓦·时，交电费20元，可知45≤a，即a≥45，因此舍去$a=30$，得$a=50$。
(2) 设5月份用电量为x千瓦·时，已知5月份交电费45元，45＞20，说明用电量超过50千瓦·时，按照收费规则列方程：
$20+\frac{50}{100}(x-50)=45$
化简得：$20+0.5(x-50)=45$
解方程：
$0.5(x-50)=25$
$x-50=50$
$x=100$
【答案】
(1) $a=50$；
(2) 该宿舍5月份当月用电量为100千瓦·时。
【知识点】
一元二次方程的应用，分段计费问题，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的阶梯收费场景命题，解题关键是准确理解不同用电量对应的收费规则，列方程求解后要注意结合题目给出的限定条件验证根的合理性，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值时，首先根据3月份电费35元大于基础电费20元，可知3月份用电量80千瓦·时超过了a，因此按照超过部分的收费规则列一元二次方程求解；得到方程的两个根后，再结合4月份用电45千瓦·时仅交20元，说明45千瓦·时未超过a，即a≥45，据此筛选出符合条件的a的值。
(2) 求5月份用电量时，首先对比电费45元与基础电费20元，判断出5月份用电量超过a=50千瓦·时，再按照超过部分的收费规则列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 由3月份用电80千瓦·时，交电费35元（35＞20），可知用电量超过a千瓦·时，列方程得：
$20+\frac{a}{100}(80-a)=35$
整理得：$a^2-80a+1500=0$
因式分解得：$(a-30)(a-50)=0$
解得$a=30$或$a=50$
再由4月份用电45千瓦·时，交电费20元，可知45≤a，即a≥45，因此舍去$a=30$，得$a=50$。
(2) 设5月份用电量为x千瓦·时，已知5月份交电费45元，45＞20，说明用电量超过50千瓦·时，按照收费规则列方程：
$20+\frac{50}{100}(x-50)=45$
化简得：$20+0.5(x-50)=45$
解方程：
$0.5(x-50)=25$
$x-50=50$
$x=100$
【答案】
(1) $a=50$；
(2) 该宿舍5月份当月用电量为100千瓦·时。
【知识点】
一元二次方程的应用，分段计费问题，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的阶梯收费场景命题，解题关键是准确理解不同用电量对应的收费规则，列方程求解后要注意结合题目给出的限定条件验证根的合理性，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
