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1. (2025·新疆)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m，根据题意可列方程 (
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
A
)A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先要结合“利用一面墙”的条件明确围栏的构成：围栏仅需围矩形的三条边。已知矩形宽为x m，该宽是垂直于墙的边长，那么两条垂直于墙的边总长度为2x m，剩余围栏长度就是平行于墙的矩形的长，再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知面积即可列出方程。
【解析】
解：设矩形垂直于墙的宽为x m，
因为靠墙一侧不需要围栏，围栏总长为24 m，所以平行于墙的矩形边长为$(24-2x)$m。
根据矩形面积公式，结合场地面积为$40\ \mathrm{m}^2$，可得：
$x(24-2x)=40$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题建模
【点评】
本题是方程实际应用的基础题，解题核心是结合靠墙的限制条件，正确表示出矩形两条边的长度，避免多算靠墙一侧的围栏长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先要结合“利用一面墙”的条件明确围栏的构成：围栏仅需围矩形的三条边。已知矩形宽为x m，该宽是垂直于墙的边长，那么两条垂直于墙的边总长度为2x m，剩余围栏长度就是平行于墙的矩形的长，再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知面积即可列出方程。
【解析】
解：设矩形垂直于墙的宽为x m，
因为靠墙一侧不需要围栏，围栏总长为24 m，所以平行于墙的矩形边长为$(24-2x)$m。
根据矩形面积公式，结合场地面积为$40\ \mathrm{m}^2$，可得：
$x(24-2x)=40$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题建模
【点评】
本题是方程实际应用的基础题，解题核心是结合靠墙的限制条件，正确表示出矩形两条边的长度，避免多算靠墙一侧的围栏长度。
【难度系数】
0.8
2. 冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍共有（
A.8支
B.10支
C.7支
D.9支
B
）A.8支
B.10支
C.7支
D.9支
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间仅进行1场比赛，不会重复计数。我们可以通过设未知数表示总比赛场数，建立方程求解：第一步设参加比赛的队伍共有x支，每支队伍要和其余(x-1)支队伍各赛1场，此时计算的总场次x(x-1)里每场比赛被重复统计了2次，因此实际总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；第二步根据题目给出的总场数45列一元二次方程；第三步解方程后，根据队伍数量为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设参加比赛的队伍共有x支。
根据单循环比赛总场数的等量关系，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x - 10)(x + 9) = 0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为队伍数量不能为负数，故舍去$x_2=-9$，即参加比赛的队伍共有10支。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数问题
【点评】
本题考查方程在实际赛事问题中的应用，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，找准总场次的等量关系列方程，求解后要结合实际意义对根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间仅进行1场比赛，不会重复计数。我们可以通过设未知数表示总比赛场数，建立方程求解：第一步设参加比赛的队伍共有x支，每支队伍要和其余(x-1)支队伍各赛1场，此时计算的总场次x(x-1)里每场比赛被重复统计了2次，因此实际总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；第二步根据题目给出的总场数45列一元二次方程；第三步解方程后，根据队伍数量为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设参加比赛的队伍共有x支。
根据单循环比赛总场数的等量关系，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x - 10)(x + 9) = 0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为队伍数量不能为负数，故舍去$x_2=-9$，即参加比赛的队伍共有10支。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数问题
【点评】
本题考查方程在实际赛事问题中的应用，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，找准总场次的等量关系列方程，求解后要结合实际意义对根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
3. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文. 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株，则符合题意的方程是 （
A.$3(x-1)x=6210$
B.$3(x-1)=6210$
C.$(3x-1)x=6210$
D.$3x=6210$
B
）A.$3(x-1)x=6210$
B.$3(x-1)=6210$
C.$(3x-1)x=6210$
D.$3x=6210$
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道列方程解实际问题的题目，解题核心是找准题目中的等量关系。首先明确未知量为椽的总数量$x$株，已知总费用为6210文，每株运费3文。我们可以先根据“少拿一株椽的运费=单株椽的价格”这一关系表示出单株椽的价格，再结合“总费用=单株椽价格×椽的总数量”的等量关系，就能列出符合题意的方程。
【解析】
设这批椽的数量为$x$株。
1. 少拿1株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，已知每株运费3文，因此此时的总运费为$3(x-1)$文。
2. 根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得1株椽的价格为$3(x-1)$文。
3. 已知这批椽的总价钱为6210文，结合“总价钱=单株椽价格×椽的总数量”的关系，可列方程：$3(x-1)x=6210$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，考查从实际情境中抽象出方程的能力，解题的关键是准确理解题意，正确表示出单株椽的价格，再结合总费用的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
这是一道列方程解实际问题的题目，解题核心是找准题目中的等量关系。首先明确未知量为椽的总数量$x$株，已知总费用为6210文，每株运费3文。我们可以先根据“少拿一株椽的运费=单株椽的价格”这一关系表示出单株椽的价格，再结合“总费用=单株椽价格×椽的总数量”的等量关系，就能列出符合题意的方程。
【解析】
设这批椽的数量为$x$株。
1. 少拿1株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，已知每株运费3文，因此此时的总运费为$3(x-1)$文。
2. 根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得1株椽的价格为$3(x-1)$文。
3. 已知这批椽的总价钱为6210文，结合“总价钱=单株椽价格×椽的总数量”的关系，可列方程：$3(x-1)x=6210$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，考查从实际情境中抽象出方程的能力，解题的关键是准确理解题意，正确表示出单株椽的价格，再结合总费用的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
4. (2025·连云港期末)如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长.若设这个直角三角形的斜边长为x，则可列方程
$(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
.答案
4. $(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
解析
【分析】
首先，直角三角形中斜边是最长的边，已知三边为连续整数且斜边长设为x，那么另外两条直角边的长度应比斜边小，且为连续整数，因此分别为x-1和x-2；再根据直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可列出对应的方程。
【解析】
∵ 直角三角形的斜边为最长边，且三边长为连续整数，斜边长为x
∴ 另外两条直角边的长度分别为x-1、x-2
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
【答案】
$(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；连续整数的表示
【点评】
本题是直角三角形与方程结合的基础题型，解题的核心是抓住“斜边最长”的性质正确表示出三条边的长度，再结合勾股定理建立等量关系即可，需注意不要混淆三边的大小顺序导致列错方程。
【难度系数】
0.8
首先，直角三角形中斜边是最长的边，已知三边为连续整数且斜边长设为x，那么另外两条直角边的长度应比斜边小，且为连续整数，因此分别为x-1和x-2；再根据直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可列出对应的方程。
【解析】
∵ 直角三角形的斜边为最长边，且三边长为连续整数，斜边长为x
∴ 另外两条直角边的长度分别为x-1、x-2
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
【答案】
$(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；连续整数的表示
【点评】
本题是直角三角形与方程结合的基础题型，解题的核心是抓住“斜边最长”的性质正确表示出三条边的长度，再结合勾股定理建立等量关系即可，需注意不要混淆三边的大小顺序导致列错方程。
【难度系数】
0.8
5. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，共揖十五次.问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有
6
个人.答案
5. 6
解析
【分析】
本题属于单循环计数类的一元二次方程应用题，思考步骤如下：1. 设诸侯人数为x，每个诸侯要和除自己外的(x-1)人各行礼1次，若直接求和得x(x-1)次，此时每两人的1次行礼被重复计算了2次，因此实际总行礼次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；2. 结合总行礼次数为15次的已知条件，列一元二次方程；3. 求解方程后，根据人数为正整数的实际要求舍去负根，得到最终结果。
【解析】
解：设诸侯共有$x$人。
由题意得，每两人仅行一次礼，总行礼次数的表达式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
∵人数为正整数，不符合实际意义的$x=-5$需舍去
∴$x=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用、单循环计数、一元二次方程的解法
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查方程的实际应用能力，解题核心是准确理解单循环的计数规则，避免重复计数，同时要注意对方程的解进行实际意义的校验，剔除不合理解。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环计数类的一元二次方程应用题，思考步骤如下：1. 设诸侯人数为x，每个诸侯要和除自己外的(x-1)人各行礼1次，若直接求和得x(x-1)次，此时每两人的1次行礼被重复计算了2次，因此实际总行礼次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；2. 结合总行礼次数为15次的已知条件，列一元二次方程；3. 求解方程后，根据人数为正整数的实际要求舍去负根，得到最终结果。
【解析】
解：设诸侯共有$x$人。
由题意得，每两人仅行一次礼，总行礼次数的表达式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
∵人数为正整数，不符合实际意义的$x=-5$需舍去
∴$x=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用、单循环计数、一元二次方程的解法
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查方程的实际应用能力，解题核心是准确理解单循环的计数规则，避免重复计数，同时要注意对方程的解进行实际意义的校验，剔除不合理解。
【难度系数】
0.7
6. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列。
答案
6. 设增加了x行，则增加的列数为x,根据题意,得:(6+x)(8+x)-6×8=51,整理,得:$x^2+14x-51=0$,解得$x_1=3,x_2=-17$(舍),答:增加了3行3列
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：先算出原来团体操队伍的总人数，题目明确增加的行数和列数相同，我们可以设增加的行/列数为x，那么增加后的行数为(6+x)、列数为(8+x)，增加后的总人数减去原来的总人数等于新增的51人，依据这个等量关系即可列出一元二次方程；解方程后注意行、列数不能为负数，需舍去不符合实际意义的负根，就能得到正确结果。
【解析】
设增加了x行，由增加的行、列数相同可知增加的列数也为x。
原来队伍的总人数为：$6×8=48$人
增加人员后队伍的总人数为：$(6+x)(8+x)$人
根据新增人数为51人，列方程得：
$(6+x)(8+x)-6×8=51$
展开整理方程：
$x^2+14x+48-48=51$
即$x^2+14x-51=0$
解方程得$x_1=3$，$x_2=-17$
由于增加的行/列数不能为负数，因此舍去$x_2=-17$。
【答案】
增加了3行或3列
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解；方程解的合理性检验
【点评】
本题是一元二次方程结合生活场景的基础应用题，解题核心是找准人数变化的等量关系建立方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目中的数量关系：先算出原来团体操队伍的总人数，题目明确增加的行数和列数相同，我们可以设增加的行/列数为x，那么增加后的行数为(6+x)、列数为(8+x)，增加后的总人数减去原来的总人数等于新增的51人，依据这个等量关系即可列出一元二次方程；解方程后注意行、列数不能为负数，需舍去不符合实际意义的负根，就能得到正确结果。
【解析】
设增加了x行，由增加的行、列数相同可知增加的列数也为x。
原来队伍的总人数为：$6×8=48$人
增加人员后队伍的总人数为：$(6+x)(8+x)$人
根据新增人数为51人，列方程得：
$(6+x)(8+x)-6×8=51$
展开整理方程：
$x^2+14x+48-48=51$
即$x^2+14x-51=0$
解方程得$x_1=3$，$x_2=-17$
由于增加的行/列数不能为负数，因此舍去$x_2=-17$。
【答案】
增加了3行或3列
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解；方程解的合理性检验
【点评】
本题是一元二次方程结合生活场景的基础应用题，解题核心是找准人数变化的等量关系建立方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
7. (2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
答案
7. 设小路的宽度为x m,则9块矩形地块可合成长为(20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形,根据题意得:(20-4x)(14-4x)=24×9,整理得:$2x^2-17x+8=0$,解得:$x_1=\frac{1}{2},x_2=8$(不符合题意,舍去).答:小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决的面积类实际应用题，解题思路如下：首先设小路宽度为未知数x，观察图形可知9个小矩形地块可以拼接成一个大矩形，先确定拼接后大矩形的长和宽：原种植园长20m，水平方向共有4条等宽的小路（左右边缘各1条、内部竖向间隔2条），因此拼接后大矩形的长为(20-4x)m；原种植园宽14m，竖直方向共有4条等宽的小路（上下边缘各1条、内部横向间隔2条），因此拼接后大矩形的宽为(14-4x)m。再根据“9个小地块总面积=拼接后大矩形的面积”列方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可得到答案。
【解析】
解：设小路的宽度为x m。
由题意得，9个矩形地块拼接后形成的大矩形长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m。
根据9个地块的总面积为$24×9\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开并整理方程：
$280-136x+16x^2=216$
两边同时除以8化简得：$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：$(2x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
检验：当$x=8$时，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际背景下的一元二次方程应用题，解题核心是通过图形平移将分散的种植地块拼接为整体，准确表示出拼接后矩形的长和宽，同时求解方程后要注意验证根是否符合实际场景，筛选出合理的解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决的面积类实际应用题，解题思路如下：首先设小路宽度为未知数x，观察图形可知9个小矩形地块可以拼接成一个大矩形，先确定拼接后大矩形的长和宽：原种植园长20m，水平方向共有4条等宽的小路（左右边缘各1条、内部竖向间隔2条），因此拼接后大矩形的长为(20-4x)m；原种植园宽14m，竖直方向共有4条等宽的小路（上下边缘各1条、内部横向间隔2条），因此拼接后大矩形的宽为(14-4x)m。再根据“9个小地块总面积=拼接后大矩形的面积”列方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可得到答案。
【解析】
解：设小路的宽度为x m。
由题意得，9个矩形地块拼接后形成的大矩形长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m。
根据9个地块的总面积为$24×9\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开并整理方程：
$280-136x+16x^2=216$
两边同时除以8化简得：$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：$(2x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
检验：当$x=8$时，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际背景下的一元二次方程应用题，解题核心是通过图形平移将分散的种植地块拼接为整体，准确表示出拼接后矩形的长和宽，同时求解方程后要注意验证根是否符合实际场景，筛选出合理的解。
【难度系数】
0.7
