7. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现.

7. (1) 设亩产量的平均增长率为x,依题意得:$700(1+x)^2=1008$,解得:$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).答:亩产量的平均增长率为20%.
(2) $1008×(1+20\%)=1209.6$(公斤).
∵ 1209.6＞1200,
∴ 他们的目标能实现.

【分析】
（1）本题为平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的核心等量关系：初始量×(1+增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题中初始亩产量为第一阶段的700公斤，经过2次增长后达到第三阶段的1008公斤，因此设平均增长率为x，即可列出一元二次方程求解，注意增长率不能为负，需要舍去不符合实际意义的根。
（2）要判断第四阶段目标能否实现，只需用第三阶段的亩产量乘(1+增长率)计算出第四阶段的预计亩产量，再和1200公斤比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设亩产量的平均增长率为x，依题意得：
$700(1+x)^2=1008$
方程两边同时除以700得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
答：亩产量的平均增长率为20%。
(2) 按照20%的增长率计算第四阶段亩产量：
$1008×(1+20\%)=1209.6$（公斤）
∵ $1209.6＞1200$，
∴ 他们的目标能实现。
【答案】
(1) 亩产量的平均增长率为20%；(2) 他们的目标能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是贴近生活实际的基础应用题，核心考查增长率问题的等量关系应用，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行合理取舍，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

8. (2025·凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是 （）

A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$

8. C

【分析】
解题时首先抓住核心等量关系：第一季度总产量等于一、二、三月的产量之和。已知月平均增长率为x，平均增长率问题的基本规律是：后一个月的产量=前一个月产量×(1+增长率)，我们可以依次用含x的式子表示出二月、三月的产量，再将三个月产量相加等于1860吨，即可列出对应方程，匹配正确选项。
【解析】
第一季度包含1月、2月、3月，已知1月产量为560吨，月平均增长率为x：
1. 1月产量：560吨
2. 2月产量：在1月基础上增长x，为$560(1+x)$吨
3. 3月产量：在2月基础上再增长x，为$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$吨
根据第一季度总产量为1860吨，可列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题关键是牢记平均增长率的数量关系，易错点是容易误将3月产量当成第一季度总产量，或错误表示3月的产量，解题时需明确第一季度是三个月产量的总和。
【难度系数】
0.8

9. 盐城一农场去年种植水稻10亩，总产量为5 000 kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引进新品种“超级水稻”，使总产量增加到15 000 kg. 已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍，求平均亩产量的增长率.

9. 解:设平均亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率为2x,根据题意得:$10(1+2x)×\frac{5000}{10}(1+x)=15000$,整理得:$2x^2+3x-2=0$,解得:$x=\frac{1}{2}=50\%$或$x=-2$(不合题意,舍去).答:平均亩产量的增长率为50%.

【分析】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是抓住“总产量=种植面积×平均亩产量”的等量关系。首先根据题目给出的两个增长率的倍数关系，设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x；再分别用含x的式子表示出今年的种植面积、今年的平均亩产量，结合今年总产量为15000kg的条件列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
解：设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，根据题意得：
$10(1+2x)×\frac{5000}{10}(1+x)=15000$
整理得：$2x^2+3x-2=0$
解得：$x=\frac{1}{2}=50\%$或$x=-2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）
答：平均亩产量的增长率为50%。
【答案】
50%
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 增长率问题
【点评】
本题是实际应用类的常考题型，解题关键是找准数量间的等量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行筛选，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7

10. 如图，矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm²？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？

10. (1) 设P,Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm²,则PB=(16-3x)cm,QC=2x cm,根据梯形的面积公式得$\frac{1}{2}(16-3x+2x)×6=33$,解之得x=5.
(2) 设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10 cm,过点Q作QE⊥AB,垂足为E,,则QE=AD=6,PQ=10,
∵ PA=3t,CQ=BE=2t,
∴ PE=AB-AP-BE=|16-5t|,由勾股定理,得$(16-5t)^2+6^2=10^2$,解得$t_1=4.8$,$t_2=1.6$.答:(1) P,Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm²；(2) 从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10 cm.

【分析】
（1）四边形PBCQ是直角梯形，上底为QC、下底为PB，高等于矩形的宽AD=6cm。设运动时间为x秒，用含x的代数式分别表示出PB和QC的长度，代入梯形面积公式列方程求解即可。
（2）求PQ的长度可通过作辅助线构造直角三角形求解：过Q作QE⊥AB于E，得到Rt△PEQ，其中QE=AD=6cm，用含t的代数式表示PE的长度（P和E的位置关系不确定，PE长度需加绝对值），再利用勾股定理列一元二次方程求解，最后验证解是否符合运动的时间范围。
【解析】
（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm²。
由题意得：$PB = AB - AP = (16 - 3x)\ \mathrm{cm}$，$QC = 2x\ \mathrm{cm}$，
四边形PBCQ为直角梯形，高$BC=AD=6\ \mathrm{cm}$，根据梯形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(16-3x+2x)×6=33$
化简得$3(16-x)=33$，解得$x=5$，经检验符合运动要求。
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10 cm。
过点Q作$QE⊥AB$，垂足为E，，则$QE=AD=6\ \mathrm{cm}$，$∠ PEQ=90°$。
由题意得：$PA=3t\ \mathrm{cm}$，$CQ=BE=2t\ \mathrm{cm}$，
因此$PE=|AB - AP - BE|=|16 - 5t|\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ PEQ$中，由勾股定理得：
$(16-5t)^2+6^2=10^2$
化简得$(16-5t)^2=64$，开方得$16-5t=\pm8$，
解得$t_1=1.6$，$t_2=4.8$，经检验两个解均符合运动要求。
【答案】
(1) P，Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm²；
(2) 从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10 cm。
【知识点】
梯形面积计算、勾股定理、一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何结合方程的典型基础题，解题核心是用含时间的代数式准确表示动点对应的线段长度，结合几何性质列方程求解，第二问需注意两点相对位置有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7