登录
5.如图所示,在下列判断中:①∠1与∠2是对顶角;②∠6与∠4是同位角;③∠5与∠6是同旁内角;④∠4与∠3是同旁内角,其中错误的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.A
解析
【分析】
要解决本题，需先明确对顶角、同位角、同旁内角的定义，再结合图形逐一判断4个结论的正误，最后统计错误结论的个数即可选出答案。
【解析】
我们根据各类角的定义逐一判断：
1. 判断①：对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角。∠1和∠2由两条直线相交形成，符合对顶角的定义，故①正确。
2. 判断②：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在两条被截线同侧的角。三角形的左右两条边被底边所在直线所截，∠4和∠6都在截线上方，且分别在两条被截边的同侧，符合同位角定义，故②正确。
3. 判断③：同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在两条被截线之间的角。∠5和∠6有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角，不符合同旁内角的特征，故③错误。
4. 判断④：上方的斜线和三角形的底边被三角形左侧的边所截，∠3和∠4都在截线右侧，且在两条被截线的内部，符合同旁内角定义，故④正确。
综上，仅③1个结论错误。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的识别；同位角的识别；同旁内角的识别
【点评】
本题属于基础类几何概念题，解题的核心是准确掌握各类角的位置特征，注意不要混淆邻补角和同旁内角的区别。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确对顶角、同位角、同旁内角的定义，再结合图形逐一判断4个结论的正误，最后统计错误结论的个数即可选出答案。
【解析】
我们根据各类角的定义逐一判断：
1. 判断①：对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角。∠1和∠2由两条直线相交形成，符合对顶角的定义，故①正确。
2. 判断②：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在两条被截线同侧的角。三角形的左右两条边被底边所在直线所截，∠4和∠6都在截线上方，且分别在两条被截边的同侧，符合同位角定义，故②正确。
3. 判断③：同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在两条被截线之间的角。∠5和∠6有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角，不符合同旁内角的特征，故③错误。
4. 判断④：上方的斜线和三角形的底边被三角形左侧的边所截，∠3和∠4都在截线右侧，且在两条被截线的内部，符合同旁内角定义，故④正确。
综上，仅③1个结论错误。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的识别；同位角的识别；同旁内角的识别
【点评】
本题属于基础类几何概念题，解题的核心是准确掌握各类角的位置特征，注意不要混淆邻补角和同旁内角的区别。
【难度系数】
0.7
6.两条直线相交可将平面分成4个区域，
三条直线相交可将平面最多分成7个区
域，四条直线相交最多可将平面分成区
域的个数是 （
A.9
B.11
C.13
D.15
三条直线相交可将平面最多分成7个区
域，四条直线相交最多可将平面分成区
域的个数是 （
B
）A.9
B.11
C.13
D.15
答案
6.B
解析
【分析】
要解决多条直线最多分平面的问题，首先要明确“最多分区域”的前提：新增的每一条直线都要和之前所有的直线相交，且交点互不重合，这种情况下新增的区域数量刚好等于新增直线的条数。我们可以从已知的直线分区域数量找规律递推：2条直线比1条直线多2个区域，3条直线比2条直线多3个区域，按照这个规律就能算出4条直线的分区域数量。
【解析】
要使直线分平面的区域最多，需保证新增直线与之前所有直线都相交，且没有重合的交点，此时第n条直线最多新增n个区域。
根据已知条件：
1条直线最多将平面分成2个区域；
2条直线最多分平面：$2+2=4$个区域（和题目给出的条件一致）；
3条直线最多分平面：$4+3=7$个区域（和题目给出的条件一致）；
4条直线最多分平面：$7+4=11$个区域。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
直线分平面规律、归纳推理
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，解题关键是理解“最多分区域”的前提要求，掌握从简单情况逐步递推的思路，就能快速求解同类问题。
【难度系数】
0.7
要解决多条直线最多分平面的问题，首先要明确“最多分区域”的前提：新增的每一条直线都要和之前所有的直线相交，且交点互不重合，这种情况下新增的区域数量刚好等于新增直线的条数。我们可以从已知的直线分区域数量找规律递推：2条直线比1条直线多2个区域，3条直线比2条直线多3个区域，按照这个规律就能算出4条直线的分区域数量。
【解析】
要使直线分平面的区域最多，需保证新增直线与之前所有直线都相交，且没有重合的交点，此时第n条直线最多新增n个区域。
根据已知条件：
1条直线最多将平面分成2个区域；
2条直线最多分平面：$2+2=4$个区域（和题目给出的条件一致）；
3条直线最多分平面：$4+3=7$个区域（和题目给出的条件一致）；
4条直线最多分平面：$7+4=11$个区域。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
直线分平面规律、归纳推理
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，解题关键是理解“最多分区域”的前提要求，掌握从简单情况逐步递推的思路，就能快速求解同类问题。
【难度系数】
0.7
7.如图,当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就是光的折射现象.若$∠1=42°,∠2=28°$,则光的传播方向改变了
14
°.答案
7.14
解析
【分析】
解题时首先明确：如果光不发生折射，会沿直线传播，根据对顶角相等的性质，沿直线传播的光线与法线的夹角和∠1大小相等，为42°；实际发生折射后，折射光线与法线的夹角是∠2=28°，传播方向改变的角度就是上述两个角度的差，用减法计算即可得到答案。
【解析】
解：若光线没有发生折射，将沿直线传播，根据对顶角相等，此时直线传播的光线与法线的夹角等于∠1=42°。
已知实际折射后，折射光线与法线的夹角为∠2=28°，因此光的传播方向改变的角度为：
$42° - 28° = 14°$
【答案】
14
【知识点】
角的和差计算，对顶角的性质
【点评】
本题结合光的折射现象考查角的相关计算，解题关键是找到光线不折射时的传播角度，结合角度差求解，将数学知识和生活现象结合，考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：如果光不发生折射，会沿直线传播，根据对顶角相等的性质，沿直线传播的光线与法线的夹角和∠1大小相等，为42°；实际发生折射后，折射光线与法线的夹角是∠2=28°，传播方向改变的角度就是上述两个角度的差，用减法计算即可得到答案。
【解析】
解：若光线没有发生折射，将沿直线传播，根据对顶角相等，此时直线传播的光线与法线的夹角等于∠1=42°。
已知实际折射后，折射光线与法线的夹角为∠2=28°，因此光的传播方向改变的角度为：
$42° - 28° = 14°$
【答案】
14
【知识点】
角的和差计算，对顶角的性质
【点评】
本题结合光的折射现象考查角的相关计算，解题关键是找到光线不折射时的传播角度，结合角度差求解，将数学知识和生活现象结合，考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
8.如图，直线AB，CD相交于点O.若∠EOC：∠EOD=4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE=
140°
.答案
8.140°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到CD是直线，所以∠EOC与∠EOD是邻补角，和为180°，结合二者的比例4:5，可设未知数求出∠EOC的度数；2. 已知OA平分∠EOC，根据角平分线的定义可求出∠AOE的度数；3. 最后AB是直线，∠AOE与∠BOE是邻补角，和为180°，即可求出∠BOE的度数。
【解析】
解：
∵ CD为直线，根据平角的定义，得
∠EOC + ∠EOD = 180°
设∠EOC=4x，∠EOD=5x，代入得：
4x + 5x = 180°
解得 x=20°
∴ ∠EOC=4×20°=80°
∵ OA平分∠EOC，根据角平分线的定义，得
$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
∵ AB为直线，根据平角的定义，得
∠AOE + ∠BOE = 180°
∴ ∠BOE = 180° - 40° = 140°
【答案】
140°
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，核心是找到角度之间的和差关系与数量关系，解题时要注意结合图形识别角的位置关系，熟练运用相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先观察到CD是直线，所以∠EOC与∠EOD是邻补角，和为180°，结合二者的比例4:5，可设未知数求出∠EOC的度数；2. 已知OA平分∠EOC，根据角平分线的定义可求出∠AOE的度数；3. 最后AB是直线，∠AOE与∠BOE是邻补角，和为180°，即可求出∠BOE的度数。
【解析】
解：
∵ CD为直线，根据平角的定义，得
∠EOC + ∠EOD = 180°
设∠EOC=4x，∠EOD=5x，代入得：
4x + 5x = 180°
解得 x=20°
∴ ∠EOC=4×20°=80°
∵ OA平分∠EOC，根据角平分线的定义，得
$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
∵ AB为直线，根据平角的定义，得
∠AOE + ∠BOE = 180°
∴ ∠BOE = 180° - 40° = 140°
【答案】
140°
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，核心是找到角度之间的和差关系与数量关系，解题时要注意结合图形识别角的位置关系，熟练运用相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.8
9. ∠2与∠3是直线
第9题图 第10题图
③
，④
被直线⑤
所截得的⑦
.(填序号)（①AB,②AC,③DE,④BC,⑤DF,⑥同位角,⑦内错角,⑧同旁内角）第9题图 第10题图
答案
9.③ ④ ⑤ ⑦
解析
【分析】
解决这类问题首先要明确判断方法：第一步找两个角的所有边，两个角公共的边所在直线是截线，剩下两条不重合的边所在直线是被截直线；第二步根据角的位置特征判断角的类型：内错角是在截线两侧，且夹在两条被截线之间的角。首先分析∠2和∠3的边：∠2的两条边分别在DE、DF上，∠3的两条边分别在BC、DF上，由此先确定截线和被截线，再判断角的类型即可。
【解析】
1. 确定截线和被截直线：观察∠2和∠3的边，两个角都有一条边在直线DF上，因此截线为⑤DF；∠2的另一条边在直线DE上，∠3的另一条边在直线BC上，因此被截直线为③DE和④BC。
2. 判断角的类型：∠2和∠3在截线DF的两侧，且位于两条被截直线DE、BC之间，符合内错角的定义，对应⑦。
【答案】
③ ④ ⑤ ⑦
【知识点】
三线八角识别，内错角定义
【点评】
本题是相交线中三线八角的基础题型，解题核心是先通过两角的公共边确定截线，再结合角的位置特征判断角的类别，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决这类问题首先要明确判断方法：第一步找两个角的所有边，两个角公共的边所在直线是截线，剩下两条不重合的边所在直线是被截直线；第二步根据角的位置特征判断角的类型：内错角是在截线两侧，且夹在两条被截线之间的角。首先分析∠2和∠3的边：∠2的两条边分别在DE、DF上，∠3的两条边分别在BC、DF上，由此先确定截线和被截线，再判断角的类型即可。
【解析】
1. 确定截线和被截直线：观察∠2和∠3的边，两个角都有一条边在直线DF上，因此截线为⑤DF；∠2的另一条边在直线DE上，∠3的另一条边在直线BC上，因此被截直线为③DE和④BC。
2. 判断角的类型：∠2和∠3在截线DF的两侧，且位于两条被截直线DE、BC之间，符合内错角的定义，对应⑦。
【答案】
③ ④ ⑤ ⑦
【知识点】
三线八角识别，内错角定义
【点评】
本题是相交线中三线八角的基础题型，解题核心是先通过两角的公共边确定截线，再结合角的位置特征判断角的类别，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
10.如图，与∠1构成同位角的有
3
个。答案
10.3
解析
【分析】
要找与∠1构成同位角的数量，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在两条被截直线同一侧的角为同位角，外形类似“F”型。解题时先明确∠1的两条边，分别将两条边作为截线，依次寻找和∠1位置特征一致的角，按顺序枚举避免漏数。
【解析】
首先明确同位角的判定特征：两个角在截线的同一边，且同时在两条被截直线的同一侧。
1. 确定∠1的两条边：一条是下方的水平直线，另一条是左侧的斜直线。
2. 把左侧斜直线作为截线，两条水平直线作为被截直线：上方水平直线与左侧斜直线相交，在截线右侧、被截线上方的角和∠1位置一致，是∠1的同位角，共1个。
3. 把下方水平直线作为截线，左侧斜直线和中间竖直直线作为被截直线：中间竖直直线与下方水平直线相交，在截线上方、被截直线右侧的角和∠1位置一致，是∠1的同位角，共1个。
4. 把下方水平直线作为截线，左侧斜直线和最右侧斜直线作为被截直线：最右侧斜直线与下方水平直线相交，在截线上方、被截直线右侧的角和∠1位置一致，是∠1的同位角，共1个。
综上，共有1+1+1=3个同位角。
【答案】
3
【知识点】
同位角的定义；三线八角的识别
【点评】
本题考查同位角的识别，属于基础题型，解题的关键是掌握同位角的位置特征，按固定顺序寻找，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
要找与∠1构成同位角的数量，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在两条被截直线同一侧的角为同位角，外形类似“F”型。解题时先明确∠1的两条边，分别将两条边作为截线，依次寻找和∠1位置特征一致的角，按顺序枚举避免漏数。
【解析】
首先明确同位角的判定特征：两个角在截线的同一边，且同时在两条被截直线的同一侧。
1. 确定∠1的两条边：一条是下方的水平直线，另一条是左侧的斜直线。
2. 把左侧斜直线作为截线，两条水平直线作为被截直线：上方水平直线与左侧斜直线相交，在截线右侧、被截线上方的角和∠1位置一致，是∠1的同位角，共1个。
3. 把下方水平直线作为截线，左侧斜直线和中间竖直直线作为被截直线：中间竖直直线与下方水平直线相交，在截线上方、被截直线右侧的角和∠1位置一致，是∠1的同位角，共1个。
4. 把下方水平直线作为截线，左侧斜直线和最右侧斜直线作为被截直线：最右侧斜直线与下方水平直线相交，在截线上方、被截直线右侧的角和∠1位置一致，是∠1的同位角，共1个。
综上，共有1+1+1=3个同位角。
【答案】
3
【知识点】
同位角的定义；三线八角的识别
【点评】
本题考查同位角的识别，属于基础题型，解题的关键是掌握同位角的位置特征，按固定顺序寻找，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，将一块直角三角尺 COD 的直角顶点 O 放在直线 AB 上.
(1)若线段 OC 的长是点 C 到直线 AB 的距离，则点 D 在直线 AB
(2)比较 DC 与 DO 的大小，并说明理由.
11. 如图，将一块直角三角尺 COD 的直角顶点 O 放在直线 AB 上.
(1)若线段 OC 的长是点 C 到直线 AB 的距离，则点 D 在直线 AB
上
（填“上”或“外”）；(2)比较 DC 与 DO 的大小，并说明理由.
答案
11.(1)上
(2)解:DC＞DO.理由如下：
因为OD⊥OC，
所以D与OC上各点的连线中，垂线段OD最短，
所以DC＞DO.
(2)解:DC＞DO.理由如下：
因为OD⊥OC，
所以D与OC上各点的连线中，垂线段OD最短，
所以DC＞DO.
解析
【分析】
(1) 先回忆点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。已知OC的长是点C到直线AB的距离，可推出OC⊥AB；又因为三角尺COD是直角三角尺，直角顶点为O，即∠COD=90°，由此可判断OD与直线AB重合，即可得到点D的位置。
(2) 比较两条线段长度可结合垂线段最短的性质分析：已知∠COD=90°，即OD⊥OC，那么点D到直线OC的所有连线中，垂线段OD是最短的，DC是点D到OC上点C的斜线段，即可判断两条线段的大小关系。
【解析】
(1)
∵ 线段OC的长是点C到直线AB的距离，
∴ OC⊥AB，即∠COA=90°，
又
∵ 三角尺COD是直角三角尺，直角顶点为O，
∴ ∠COD=90°，
∴ OD与射线OB重合，因此点D在直线AB上。
(2) DC＞DO，理由如下：
∵ △COD是直角三角尺，∠COD=90°，
∴ OD⊥OC，
根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得点D到直线OC的所有线段中，垂线段OD最短，
∵ DC是点D到OC上点C的斜线段，
∴ DC＞DO。
【答案】
(1) 上
(2) DC＞DO，理由：因为OD⊥OC，所以D与OC上各点的连线中，垂线段OD最短，所以DC＞DO。
【知识点】
点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题侧重考查基础几何概念和性质的应用，解题的关键是准确理解点到直线的距离的定义，熟练掌握垂线段最短的性质。
【难度系数】
0.85
(1) 先回忆点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。已知OC的长是点C到直线AB的距离，可推出OC⊥AB；又因为三角尺COD是直角三角尺，直角顶点为O，即∠COD=90°，由此可判断OD与直线AB重合，即可得到点D的位置。
(2) 比较两条线段长度可结合垂线段最短的性质分析：已知∠COD=90°，即OD⊥OC，那么点D到直线OC的所有连线中，垂线段OD是最短的，DC是点D到OC上点C的斜线段，即可判断两条线段的大小关系。
【解析】
(1)
∵ 线段OC的长是点C到直线AB的距离，
∴ OC⊥AB，即∠COA=90°，
又
∵ 三角尺COD是直角三角尺，直角顶点为O，
∴ ∠COD=90°，
∴ OD与射线OB重合，因此点D在直线AB上。
(2) DC＞DO，理由如下：
∵ △COD是直角三角尺，∠COD=90°，
∴ OD⊥OC，
根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得点D到直线OC的所有线段中，垂线段OD最短，
∵ DC是点D到OC上点C的斜线段，
∴ DC＞DO。
【答案】
(1) 上
(2) DC＞DO，理由：因为OD⊥OC，所以D与OC上各点的连线中，垂线段OD最短，所以DC＞DO。
【知识点】
点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题侧重考查基础几何概念和性质的应用，解题的关键是准确理解点到直线的距离的定义，熟练掌握垂线段最短的性质。
【难度系数】
0.85
