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① 火箭发射是一项复杂的系统工程，在上升阶段，地面雷达站需要对火箭进行实时跟踪测量，以精确掌握其飞行轨迹和姿态变化，为飞行安全与任务成功提供关键保障。
如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是6 km，$∠ ADB = 30°$；当火箭到达C点时，测得$∠ ADC = 45°$. 请你根据以上测量数据算出火箭从B点上升到C点的高度BC（结果精确到0.01）.
（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{5} \approx 2.236$）
如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是6 km，$∠ ADB = 30°$；当火箭到达C点时，测得$∠ ADC = 45°$. 请你根据以上测量数据算出火箭从B点上升到C点的高度BC（结果精确到0.01）.
（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{5} \approx 2.236$）
答案
$BC\approx 2.20\ \mathrm{km}.$
解析
【分析】
首先根据火箭竖直上升的特点可得CA⊥DA，即△ABD和△ACD均为直角三角形。第一步先在Rt△ABD中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AB的长度，再通过勾股定理求出公共边AD的长度；第二步在Rt△ACD中，根据∠ADC=45°可知该三角形为等腰直角三角形，因此AC=AD；最后用AC的长度减去AB的长度即可得到BC的高度，代入近似值计算出最终结果。
【解析】
解：由题意得∠CAD=90°，即△ABD、△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，BD=6km，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $AB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×6 = 3\ \mathrm{km}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=45°，
∴ $∠ C = 90° - 45° = 45° = ∠ ADC$，
∴ $AC = AD = 3\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
∴ $BC = AC - AB = 3\sqrt{3} - 3 \approx 3×1.732 - 3 = 2.196 \approx 2.20\ \mathrm{km}$。
【答案】
$BC\approx 2.20\ \mathrm{km}$
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题结合火箭跟踪的实际场景考查直角三角形相关计算，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边AD作为中间量，将实际问题转化为几何计算问题，计算时注意按要求保留近似值。
【难度系数】
0.7
首先根据火箭竖直上升的特点可得CA⊥DA，即△ABD和△ACD均为直角三角形。第一步先在Rt△ABD中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AB的长度，再通过勾股定理求出公共边AD的长度；第二步在Rt△ACD中，根据∠ADC=45°可知该三角形为等腰直角三角形，因此AC=AD；最后用AC的长度减去AB的长度即可得到BC的高度，代入近似值计算出最终结果。
【解析】
解：由题意得∠CAD=90°，即△ABD、△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，BD=6km，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $AB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×6 = 3\ \mathrm{km}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=45°，
∴ $∠ C = 90° - 45° = 45° = ∠ ADC$，
∴ $AC = AD = 3\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
∴ $BC = AC - AB = 3\sqrt{3} - 3 \approx 3×1.732 - 3 = 2.196 \approx 2.20\ \mathrm{km}$。
【答案】
$BC\approx 2.20\ \mathrm{km}$
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题结合火箭跟踪的实际场景考查直角三角形相关计算，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边AD作为中间量，将实际问题转化为几何计算问题，计算时注意按要求保留近似值。
【难度系数】
0.7
② 某温室屋顶结构外框可抽象为$△ ABC$，立柱AD垂直平分横梁BC，$∠ B=30°$，斜梁$AC=4\ \mathrm{m}$。为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为$△ EBC$（点E在BA的延长线上），立柱$EF ⊥ BC$，测得$DF=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，则立柱EF的高为多少？
答案
$EF = 3\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，根据AD垂直平分BC，利用线段垂直平分线的性质可得AB=AC，同时得到△ABD是直角三角形；第二步，在Rt△ABD中结合∠B=30°的直角三角形性质和勾股定理，计算出BD的长度；第三步，结合已知DF的长度，算出BF的总长度；第四步，在Rt△BEF中，再次利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理，即可求出EF的高度。
【解析】
解：
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC=4m，BD=DC，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2m，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
已知$DF=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$BF=BD+DF=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°，
在Rt△BEF中，∠B=30°，
∴BE=2EF，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，则$BE=2x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BF^2+EF^2=BE^2$，
代入得：$(3\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
整理得：$27=3x^2$，解得$x=3$（边长为正，舍去负根），
即$EF=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
$EF = 3\ \mathrm{m}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查三角形性质的综合应用，解题核心是先利用垂直平分线性质求出BD的长度，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解未知量，能很好地检验学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，根据AD垂直平分BC，利用线段垂直平分线的性质可得AB=AC，同时得到△ABD是直角三角形；第二步，在Rt△ABD中结合∠B=30°的直角三角形性质和勾股定理，计算出BD的长度；第三步，结合已知DF的长度，算出BF的总长度；第四步，在Rt△BEF中，再次利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理，即可求出EF的高度。
【解析】
解：
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC=4m，BD=DC，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2m，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
已知$DF=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$BF=BD+DF=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°，
在Rt△BEF中，∠B=30°，
∴BE=2EF，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，则$BE=2x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BF^2+EF^2=BE^2$，
代入得：$(3\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
整理得：$27=3x^2$，解得$x=3$（边长为正，舍去负根），
即$EF=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
$EF = 3\ \mathrm{m}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查三角形性质的综合应用，解题核心是先利用垂直平分线性质求出BD的长度，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解未知量，能很好地检验学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
