8. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，根据图象可得（）

A.$ a＞0,b＞0,c＞0 $
B.$ a＞0,b＜0,c＞0 $
C.$ a＜0,b＜0,c＞0 $
D.$ a＜0,b＞0,c＞0 $

8.C

【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+bx+c$中$a$、$b$、$c$的符号，可分三步分析：首先根据抛物线开口方向确定$a$的符号；再根据对称轴的位置，结合$a$的符号判断$b$的符号；最后根据抛物线与$y$轴的交点位置确定$c$的符号，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 判断$b$的符号：抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，由图象可知对称轴在$y$轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$。已知$a＜0$，因此分母$2a＜0$，要让分式的值小于0，分子需大于0，即$-b＞0$，可得$b＜0$（也可根据“左同右异”规律：对称轴在$y$轴左侧时，$a$、$b$符号相同，已知$a＜0$，因此$b＜0$）；
3. 判断$c$的符号：抛物线与$y$轴交于正半轴，因此常数项$c＞0$。
综上可得$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数开口判断；二次函数与坐标轴交点意义
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规基础题，解题核心是掌握根据抛物线特征判断系数符号的规律：开口方向定$a$的符号，与$y$轴交点定$c$的符号，对称轴位置结合$a$的符号定$b$的符号，熟练运用规律可快速得出结论。
【难度系数】
0.8

9. [与T5互为孪生题]在抛物线$y=ax^2 -2ax -3a$上有$A(-0.5,y_1),B(2,y_2),C(3,y_3)$三个点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（）

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_2＞y_3＞y_1$

9.B

【分析】
解题时首先根据抛物线与y轴交点在正半轴的条件求出a的取值范围，确定抛物线的开口方向；再利用二次函数对称轴公式求出对称轴；最后根据开口向下的二次函数“点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大”的规律，分别计算三个点到对称轴的距离，即可比较三个函数值的大小。
【解析】
解：①求a的取值，确定开口方向：
当x=0时，抛物线与y轴交点的纵坐标为$y=-3a$，
∵交点在正半轴上，
∴$-3a＞0$，解得$a＜0$，抛物线开口向下。
②求抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，
本题中$b=-2a$，代入得对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
③计算各点到对称轴的距离：
点$A(-0.5,y_1)$到$x=1$的距离：$\left|-0.5-1\right|=1.5$
点$B(2,y_2)$到$x=1$的距离：$\left|2-1\right|=1$
点$C(3,y_3)$到$x=1$的距离：$\left|3-1\right|=2$
④比较函数值大小：
开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大，
∵$1＜1.5＜2$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是先确定开口方向和对称轴，再利用二次函数的增减性规律比较函数值，掌握二次函数的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7

10. 如图，已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 经过点(-1, 0)，且顶点在第一象限。下列结论：①$ a ＜ 0 $；②$ a + b + c ＞ 0 $；③$ -\frac{b}{2a} ＞ 0 $；④$ abc ＞ 0 $。其中正确的是。(填序号)

10. ①②③

【分析】
要判断这几个结论是否正确，我们可以按以下思路分析：1. 先由抛物线开口方向判断a的符号，验证①；2. 由顶点在第一象限得出对称轴位置，结合对称轴公式验证③；3. 利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，结合已知交点(-1,0)推出另一个交点的位置，判断x=1时的函数值符号，验证②；4. 结合抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再由a、对称轴的符号推导b的符号，最终判断abc的符号，验证④。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 判断①：观察图象，抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，故①正确；
2. 判断③：抛物线顶点在第一象限，说明对称轴在y轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得$-\frac{b}{2a}＞0$，故③正确；
3. 判断②：已知抛物线过点$(-1,0)$，设抛物线与x轴的另一个交点横坐标为$x_2$，根据抛物线的对称性，对称轴$x=\frac{-1+x_2}{2}＞0$，解得$x_2＞1$。因此当$x=1$时，对应点在x轴上方，即函数值$y=a·1^2+b·1+c=a+b+c＞0$，故②正确；
4. 判断④：抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。结合$a＜0$和$-\frac{b}{2a}＞0$，可得$-b＜0$，即$b＞0$。因此$abc=a（负）× b（正）× c（正）＜0$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型题，需要结合图象特征、对称性和特殊点的函数值综合推导，掌握二次函数各类性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7

11.如图,已知抛物线$y=-x^2+mx+3$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)已知P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.

11.(1)$m=2$,抛物线的顶点坐标为$(1,4)$.
(2)点$P$的坐标为$(1,2)$.

【分析】
(1) 已知点B在抛物线上，将点B的坐标代入抛物线解析式即可求出参数m的值；得到完整的抛物线解析式后，通过配方法或者顶点坐标公式即可求出顶点坐标。
(2) 本题属于“将军饮马”类最短路径问题，抛物线的对称轴是线段AB的垂直平分线，因此对称轴上任意一点P都满足PA=PB，可将PA+PC的最小值转化为PB+PC的最小值。根据两点之间线段最短，当点P是直线BC与对称轴的交点时，PB+PC取得最小值，接下来求出直线BC的解析式，再计算它与对称轴的交点坐标即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点B(3,0)代入抛物线解析式$y=-x^2+mx+3$，得：
$0=-3^2+3m+3$
整理得$0=-9+3m+3$，解得$m=2$
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$
对解析式配方：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+4$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$
(2) 由抛物线解析式可知对称轴$l$为直线$x=1$
首先求点C坐标：当$x=0$时，$y=3$，即$C(0,3)$
∵ 点A、B关于对称轴$x=1$对称，
∴ 对称轴上任意点P都满足$PA=PB$
∴ $PA+PC=PB+PC$，当B、P、C三点共线时，$PB+PC$取得最小值，即$PA+PC$最小
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ 3k+b=0 \end{cases}$
将$b=3$代入第二个方程，得$3k+3=0$，解得$k=-1$
∴ 直线BC的解析式为$y=-x+3$
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$
∴ 点P的坐标为$(1,2)$
【答案】
(1) $m=2$，抛物线的顶点坐标为$(1,4)$；
(2) 点$P$的坐标为$(1,2)$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，轴对称最短路径，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，既考查了二次函数基本参数求解、顶点坐标计算的核心知识点，也结合了经典的最短路径模型，解题的关键是利用轴对称的性质将线段和的最值问题转化为三点共线问题，解题方法较为常规，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

12.选做题:请在A,B两题中任选一题作答,并写出完整的答题过程.
A:如图,已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$P(3,1),Q(2,4)$.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)点$C(a,t)$在该抛物线上.
(ⅰ)若$a=-1$,求$t$的值;
(ⅱ)若$t$的取值范围为$1≤t≤4$,请直接写出$a$的取值范围.
B:已知抛物线$y=x^2+mx+n$($m,n$为常数)经过点$(1,0),(0,3)$.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)已知点$A(t-1,y_1),B(t,y_2),C(t+1,y_3)$在该抛物线上.
(ⅰ)当$t＜0$时,比较$y_1,y_2,y_3$的大小;
(ⅱ)若$P(x,y)$是抛物线上一点,且当$t≤x≤t+1$时,$y$有最小值$2t$,求$t$的值.
我选做题.(填"A"或"B")

12. A:(1)$y=-x^2+2x+4$.
(2)(ⅰ)当$a=-1$时,点$C$的坐标为$(-1,t)$,
将点$C(-1,t)$代入$y=-x^2+2x+4$,得$t=1$.
(ⅱ)$-1≤ a≤ 0$或$2≤ a≤ 3$.
B:(1)$y=x^2-4x+3$.
(2)(ⅰ)$\because$该抛物线的对称轴为直线$x=2$,且$t＜0$,
$\therefore t+1＜2$,
$\therefore$点$A(t-1,y_1),B(t,y_2),C(t+1,y_3)$均在对称轴左侧的抛物线上,且$y$随$x$的增大而减小.
$\because t-1＜t＜t+1$,$\therefore y_1＞y_2＞y_3$.
(ⅱ)分三种情况:①,当$t+1＜2$,即$t＜1$时,
$y_{\mathrm{min}}=(t+1)^2-4(t+1)+3=2t$,
解得$t_1=0$,$t_2=4$(舍去);
②,当$t＞2$时,$y_{\mathrm{min}}=t^2-4t+3=2t$,
解得$t_1=3+\sqrt{6}$,$t_2=3-\sqrt{6}$(舍去);
③,当$t≤ 2≤ t+1$,即$1≤ t≤ 2$时,
$y_{\mathrm{min}}=-1=2t$,解得$t=-\frac{1}{2}$(舍去).
综上所述,$t$的值为$0$或$3+\sqrt{6}$.

【分析】
本题为二次函数基础应用题，解题思路如下：1. 求函数表达式：已知抛物线上两个点的坐标，使用待定系数法，将两点坐标代入一般式，得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到b、c的值，确定函数表达式。2. 求点的纵坐标：已知点的横坐标，直接代入函数表达式计算即可得到对应纵坐标t的值。3. 求自变量的取值范围：先求出t=1和t=4时对应的x值，再结合抛物线开口向下、对称轴为x=1的性质，分析函数增减性，即可得到a的取值范围。
【解析】
我选做A题。
(1) 将点$P(3,1)$、$Q(2,4)$代入抛物线解析式$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases} -3^2 + 3b + c =1 \\ -2^2 + 2b + c =4 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 3b + c =10 \\ 2b + c =8 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$b=2$，将$b=2$代入$2b+c=8$，解得$c=4$，因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+4$。
(2)(ⅰ) 当$a=-1$时，点$C$坐标为$(-1,t)$，将$x=-1$代入$y=-x^2+2x+4$，得：
$t=-(-1)^2 + 2×(-1) +4 = -1-2+4=1$。
(ⅱ) 先求$t=4$时对应的x值：令$-x^2+2x+4=4$，解得$x_1=0$，$x_2=2$；
再求$t=1$时对应的x值：令$-x^2+2x+4=1$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，因此当$1≤t≤4$时，a的取值范围为$-1≤a≤0$或$2≤a≤3$。
【答案】
A:(1)$y=-x^2+2x+4$.
(2)(ⅰ)当$a=-1$时,点$C$的坐标为$(-1,t)$,
将点$C(-1,t)$代入$y=-x^2+2x+4$,得$t=1$.
(ⅱ)$-1≤ a≤ 0$或$2≤ a≤ 3$.
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数性质，二次函数点坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的常规基础题，侧重对基础方法的考查，需要熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，同时能够结合函数图象的开口方向、对称轴分析函数值与自变量的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7