1.已知二次函数$y=ax^2+bx$，当$x=1$时，$y=2$；当$x=-1$时，$y=4$，则$a,b$的值分别是（）

A.$3,-1$
B.$3,1$
C.$-3,1$
D.$-3,-1$

1. A

【分析】
本题采用待定系数法求解即可，已知二次函数的解析式和两组对应的x、y取值，我们只需要将两组x、y的值分别代入函数解析式，就能得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求出a、b的数值。
【解析】
将$x=1,y=2$代入$y=ax^2+bx$，可得：
$a×1^2 + b×1 = 2$，整理得$a + b = 2$ ①
将$x=-1,y=4$代入$y=ax^2+bx$，可得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) = 4$，整理得$a - b = 4$ ②
联立①②得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 2 \\ a - b = 4 \end{cases}$
用①+②消去b，得$2a=6$，解得$a=3$
将$a=3$代入①式，得$3+b=2$，解得$b=-1$
即a、b的值分别为3、-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法；二元一次方程组求解；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查待定系数法求函数参数的方法，解题关键是准确代入已知的x、y值列出方程组，计算难度低，属于必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8

2. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象如图所示，求此函数的表达式及其顶点坐标。

2. 此函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$,其顶点坐标为$(1,-4)$。

【分析】
要确定二次函数的表达式，已知函数的一般形式为$y=ax^2+bx-3$，仅需求出系数$a$、$b$的值即可。首先从函数图象中提取两个已知坐标的点：图象过$x$轴上的点$(-1,0)$，还过点$(2,-3)$，将这两个点的坐标代入函数解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$，得到函数表达式；再通过配方法或者顶点坐标公式即可求出顶点坐标。
【解析】
解：由函数图象可知，二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象经过点$(-1,0)$和$(2,-3)$，将两点坐标分别代入解析式得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) - 3 = 0 \\a×2^2 + b×2 - 3 = -3\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}a - b = 3 ① \\2a + b = 0 ②\end{cases}$
①+②得：$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入①得：$1 - b = 3$，解得$b=-2$，
因此函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
接下来求顶点坐标，用配方法对解析式变形：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，
所以二次函数的顶点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
此函数的表达式为$y=x^2-2x-3$，其顶点坐标为$(1,-4)$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的图象；二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定与顶点坐标的求解，解题核心是正确从图象中提取有效点的坐标，熟练运用待定系数法求解参数，是二次函数章节的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

3.若抛物线的顶点为$(-3,4)$，且经过点$(-1,6)$，根据二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2 +k$，可设函数表达式为________，再将点$(-1,6)$代入，求得$a=\_\_\_\_\_\_$，从而得到二次函数的表达式为________，化成一般形式为________。

3. $y=a(x+3)^2+4$；$\dfrac{1}{2}$；$y=\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4$；$y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{17}{2}$

【分析】
本题考查利用顶点式确定二次函数解析式，解题思路如下：首先明确顶点式$y=a(x-h)^2 +k$中，$(h,k)$对应抛物线的顶点坐标，已知顶点为$(-3,4)$，即可直接代入顶点式得到含参数$a$的解析式；再将已知经过的点$(-1,6)$代入含参解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值，得到顶点式的函数表达式；最后将顶点式展开整理为$y=ax^2+bx+c$的形式，即为一般形式。
【解析】
1. 设函数表达式：已知抛物线顶点为$(-3,4)$，对应顶点式$y=a(x-h)^2 +k$中的$h=-3$，$k=4$，代入得可设表达式为$y=a(x+3)^2+4$；
2. 求$a$的值：将点$(-1,6)$的坐标代入上述表达式，得$6=a×(-1+3)^2 +4$，化简得$6=4a+4$，移项计算得$4a=2$，解得$a=\dfrac{1}{2}$；
3. 得顶点式表达式：将$a=\dfrac{1}{2}$代入所设表达式，得二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4$；
4. 化为一般形式：展开顶点式，$y=\dfrac{1}{2}(x^2+6x+9)+4=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{9}{2}+4=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{17}{2}$，即得一般形式。
【答案】
$y=a(x+3)^2+4$；$\dfrac{1}{2}$；$y=\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4$；$y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{17}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式；二次函数式变形
【点评】
本题属于二次函数解析式确定的基础题型，核心是掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，熟练运用待定系数法求解参数，同时要注意整式展开运算的准确性，是后续解决二次函数综合问题的基础。
【难度系数】
0.8

4. 已知某抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，开口方向和开口大小与抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$相同，则该抛物线对应的函数表达式是（）

A.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+3$
B.$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+3$
C.$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-3$
D.$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+3$

4. B

【分析】
解题时首先明确两个核心要点：1. 抛物线的开口方向和开口大小仅由二次项系数a决定，若两条抛物线开口方向、大小相同，则它们的a值相等；2. 已知抛物线顶点坐标时，优先用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）求解析式。首先根据已知抛物线确定a值，再代入顶点坐标得到解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
∵ 所求抛物线开口方向、大小与$y=-\dfrac{1}{2}x^2$相同，
∴ $a=-\dfrac{1}{2}$，由此可排除a为$\dfrac{1}{2}$的C、D选项。
2. 代入顶点坐标写顶点式：
抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，
已知顶点为$(2,3)$，即$h=2$，$k=3$，代入$a=-\dfrac{1}{2}$得：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+3$，对应选项B，排除顶点横坐标为-2的A选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，解题关键是掌握二次项系数对抛物线开口的影响，以及顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

5. 已知一条抛物线的对称轴是直线 $ x=1 $，函数的最大值是 $ y=2 $，且该抛物线经过坐标原点 $ (0,0) $. 求此抛物线对应的函数表达式.

5. $y=-2(x-1)^2+2$

【分析】
解题时首先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标：已知对称轴为直线$x=1$，函数最大值为$y=2$，说明抛物线顶点为$(1,2)$，此时选择二次函数的顶点式设解析式最为简便，仅需求出未知系数$a$即可。接下来将已知的过原点$(0,0)$代入所设解析式，解出$a$的值，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是直线$x=1$，函数的最大值是$y=2$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,2)$，
∴设该抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+2$（$a≠0$），
∵抛物线经过坐标原点$(0,0)$，
∴将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=a(0-1)^2+2$，
即$0=a+2$，
解得$a=-2$，
将$a=-2$代入顶点式，得抛物线的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+2$。
【答案】
$y=-2(x-1)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数的性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，解题的核心是根据给出的对称轴和最值确定顶点坐标，优先选择顶点式简化计算，熟练掌握待定系数法的应用即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

6.若抛物线与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C(0,6),根据二次函数的交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$,可设函数的表达式为,再将点$(0,6)$代入,求得$a=$,从而得到二次函数的表达式为,化成一般形式为.

6. $y=a(x+3)(x-1)$；$-2$；$y=-2(x+3)(x-1)$；$y=-2x^2-4x+6$

【分析】
解题时首先回忆二次函数交点式的定义：若抛物线与x轴的两个交点横坐标为$x_1$、$x_2$，则解析式可设为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。本题已经给出两个x轴交点坐标$A(-3,0)$、$B(1,0)$，因此直接将两个交点的横坐标代入交点式的模板即可完成设式；接下来利用待定系数法，将已知的y轴交点$C(0,6)$代入所设的表达式，解一元一次方程即可求出$a$的值；将$a$代回所设表达式就得到交点式的函数解析式，最后通过整式乘法展开、合并同类项就能化为一般形式。
【解析】
1. 设函数表达式：已知抛物线与x轴交点为$A(-3,0)$、$B(1,0)$，即$x_1=-3$，$x_2=1$，代入交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，可设表达式为$y=a(x+3)(x-1)$。
2. 求$a$的值：将点$C(0,6)$代入上式，把$x=0$，$y=6$代入得：
$6=a(0+3)(0-1)$
计算得$6=-3a$，解得$a=-2$。
3. 写交点式解析式：将$a=-2$代回所设表达式，得$y=-2(x+3)(x-1)$。
4. 化为一般形式：展开整理上式：
$y=-2(x^2 + 2x - 3)$
$y=-2x^2 -4x +6$，即得一般形式。
【答案】
$y=a(x+3)(x-1)$；$-2$；$y=-2(x+3)(x-1)$；$y=-2x^2-4x+6$
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法求解析式；二次函数形式转化
【点评】
本题是利用交点式求二次函数解析式的基础题型，核心是掌握交点式的结构特征，代入点坐标计算时要注意符号问题，展开化为一般式时要正确运用整式乘法法则。
【难度系数】
0.8

7.若抛物线与$x$轴交于点$(-2,0)$和$(3,0)$，且由抛物线$y=-x^2$平移得到，则该抛物线对应的函数表达式为（）

A.$y=(x+2)(x-3)$
B.$y=(x-2)(x+3)$
C.$y=-(x+2)(x-3)$
D.$y=-(x-2)(x+3)$

7. C

【分析】
解题思路如下：第一步，明确抛物线平移的性质：抛物线平移只改变位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数$a$与原抛物线$y=-x^2$的$a$相同，即$a=-1$，可先排除二次项系数不符合的选项；第二步，已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标，适合用二次函数的交点式求解，交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1$、$x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标），将$a$和两个交点的横坐标代入交点式，即可得到对应的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
解：$\because$该抛物线由$y=-x^2$平移得到，
$\therefore$抛物线的二次项系数$a=-1$，故可排除A、B选项。
$\because$抛物线与$x$轴交于点$(-2,0)$和$(3,0)$，
$\therefore$设抛物线的解析式为交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1=-2$，$x_2=3$，$a=-1$，
代入得：$y = -[x - (-2)](x - 3) = -(x+2)(x-3)$，
验证：将$x=-2$代入得$y=0$，将$x=3$代入得$y=0$，符合交点坐标要求，故C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数平移性质
2.二次函数交点式
3.抛物线与x轴交点
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数平移的性质及交点式的应用，解题的关键是牢记平移不改变二次项系数，掌握交点式的使用条件，能快速根据交点坐标设出对应的解析式。
【难度系数】
0.8

8.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线$x=-2$，则这个二次函数的表达式为.(要求化为一般形式)

8. $y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+6$

【分析】
解题时首先从图像中提取已知条件：二次函数与x轴交于点(-6,0)，与y轴交于点(0,6)，且已知对称轴为直线x=-2。根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先求出另一个x轴交点的坐标，再选用交点式设函数解析式，代入已知点求出系数a，最后展开为一般形式即可，该方法比设一般式计算更简便。
【解析】
解：
∵二次函数的对称轴为直线$x=-2$，且与x轴的一个交点为$(-6,0)$
∴二次函数与x轴的另一个交点横坐标为$2×(-2)-(-6)=2$，即另一个交点为$(2,0)$
设二次函数的交点式为$y=a(x+6)(x-2) \ (a≠0)$
∵函数图像过点$(0,6)$，将$x=0,y=6$代入解析式得：
$6=a×(0+6)×(0-2)$
即$6=-12a$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$
∴二次函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+6)(x-2)$，展开化为一般形式：
$y=-\dfrac{1}{2}(x^2+4x-12)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+6$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+6$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数形式转换
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础常考题，解题核心是灵活运用二次函数的对称性简化计算，熟练掌握待定系数法的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.7