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5. 下列说法不正确的是 （）
A.$(-0.2)^2$的平方根是$\pm0.2$
B.5是$\sqrt{25}$的算术平方根
C.立方根等于本身的数是0和$\pm1$
D.$\sqrt[3]{-8}=-2$
A.$(-0.2)^2$的平方根是$\pm0.2$
B.5是$\sqrt{25}$的算术平方根
C.立方根等于本身的数是0和$\pm1$
D.$\sqrt[3]{-8}=-2$
答案
B
解析
【分析】
本题需要结合平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断每个选项的正误，最终选出说法不正确的选项。解题思路为：先回忆各相关概念的定义，再对每个选项中的式子先化简、再对应概念判断是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算$(-0.2)^2=0.04$，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$(±0.2)^2=0.04$，所以0.04的平方根是$±0.2$，该选项说法正确。
选项B：先化简$\sqrt{25}=5$，根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根是它的算术平方根，因此5的算术平方根是$\sqrt{5}$，不是5，该选项说法错误。
选项C：分别计算特殊值的立方根：$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，不存在其他数的立方根等于本身，该选项说法正确。
选项D：因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项说法正确。
综上，说法不正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方根；算术平方根；立方根
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是处理选项B时容易直接将$\sqrt{25}$当作被开方数判断算术平方根，忽略了要先化简$\sqrt{25}$的结果，再求其算术平方根，解题时需注意先运算再判断性质。
【难度系数】
0.7
本题需要结合平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断每个选项的正误，最终选出说法不正确的选项。解题思路为：先回忆各相关概念的定义，再对每个选项中的式子先化简、再对应概念判断是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算$(-0.2)^2=0.04$，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$(±0.2)^2=0.04$，所以0.04的平方根是$±0.2$，该选项说法正确。
选项B：先化简$\sqrt{25}=5$，根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根是它的算术平方根，因此5的算术平方根是$\sqrt{5}$，不是5，该选项说法错误。
选项C：分别计算特殊值的立方根：$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，不存在其他数的立方根等于本身，该选项说法正确。
选项D：因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项说法正确。
综上，说法不正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方根；算术平方根；立方根
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是处理选项B时容易直接将$\sqrt{25}$当作被开方数判断算术平方根，忽略了要先化简$\sqrt{25}$的结果，再求其算术平方根，解题时需注意先运算再判断性质。
【难度系数】
0.7
6. $\sqrt[3]{27}$的平方根是，$(-5)^2$的算术平方根是，的立方根是－0.1.
答案
解：
$\because \sqrt[3]{27}=3$，3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，
$\therefore \sqrt[3]{27}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$；
$\because (-5)^2=25$，25的算术平方根是5，
$\therefore (-5)^2$的算术平方根是5；
$\because (-0.1)^3=-0.001$，
$\therefore -0.001$的立方根是$-0.1$。
答案依次为：$\boldsymbol{\pm\sqrt{3}}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{-0.001}$。
$\because \sqrt[3]{27}=3$，3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，
$\therefore \sqrt[3]{27}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$；
$\because (-5)^2=25$，25的算术平方根是5，
$\therefore (-5)^2$的算术平方根是5；
$\because (-0.1)^3=-0.001$，
$\therefore -0.001$的立方根是$-0.1$。
答案依次为：$\boldsymbol{\pm\sqrt{3}}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{-0.001}$。
解析
【分析】
本题需要结合平方根、算术平方根、立方根的定义分步求解：①先化简$\sqrt[3]{27}$，再求化简后结果的平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数；②先计算$(-5)^2$的结果，再求其算术平方根，算术平方根为非负数；③已知立方根求原数，只需将立方根进行三次方运算即可得到被开方数。
【解析】
1. 求$\sqrt[3]{27}$的平方根：
因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；根据平方根的定义，正数3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，因此$\sqrt[3]{27}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
2. 求$(-5)^2$的算术平方根：
先计算$(-5)^2=25$；根据算术平方根的定义，正数25的非负平方根为5，因此$(-5)^2$的算术平方根是5。
3. 求立方根为-0.1的数：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，因此所求数为$(-0.1)^3=-0.001$，即-0.001的立方根是-0.1。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$；$5$；$-0.001$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分平方根、算术平方根、立方根的概念差异，尤其要注意正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个非负的结果，避免符号写错。
【难度系数】
0.8
本题需要结合平方根、算术平方根、立方根的定义分步求解：①先化简$\sqrt[3]{27}$，再求化简后结果的平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数；②先计算$(-5)^2$的结果，再求其算术平方根，算术平方根为非负数；③已知立方根求原数，只需将立方根进行三次方运算即可得到被开方数。
【解析】
1. 求$\sqrt[3]{27}$的平方根：
因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；根据平方根的定义，正数3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，因此$\sqrt[3]{27}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
2. 求$(-5)^2$的算术平方根：
先计算$(-5)^2=25$；根据算术平方根的定义，正数25的非负平方根为5，因此$(-5)^2$的算术平方根是5。
3. 求立方根为-0.1的数：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，因此所求数为$(-0.1)^3=-0.001$，即-0.001的立方根是-0.1。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$；$5$；$-0.001$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分平方根、算术平方根、立方根的概念差异，尤其要注意正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个非负的结果，避免符号写错。
【难度系数】
0.8
7. 实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图,则化简$\sqrt{(a+b)^2} - |a - b| + \sqrt[3]{a^3} =$ .
答案
$\boldsymbol{a-2b}$
解析
【分析】
解决这道化简题可分三步思考：第一步先根据数轴上a、b的位置，判断a、b的大小关系以及a+b、a-b的正负性；第二步结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$、立方根的性质$\sqrt[3]{x^3}=x$，将原式转化为含绝对值的代数式；第三步根据绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0$，因此$a+b ＜ 0$，$a - b ＜ 0$。
根据相关性质化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a+b| - |a-b| + \sqrt[3]{a^3} \\&=|a+b| - |a-b| + a \\&=-(a+b) - [-(a-b)] + a \\&=-a - b + a - b + a \\&=a - 2b\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{a-2b}$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；立方根的性质
【点评】
本题是实数运算的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负性，去绝对值时要注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解决这道化简题可分三步思考：第一步先根据数轴上a、b的位置，判断a、b的大小关系以及a+b、a-b的正负性；第二步结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$、立方根的性质$\sqrt[3]{x^3}=x$，将原式转化为含绝对值的代数式；第三步根据绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0$，因此$a+b ＜ 0$，$a - b ＜ 0$。
根据相关性质化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a+b| - |a-b| + \sqrt[3]{a^3} \\&=|a+b| - |a-b| + a \\&=-(a+b) - [-(a-b)] + a \\&=-a - b + a - b + a \\&=a - 2b\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{a-2b}$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；立方根的性质
【点评】
本题是实数运算的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负性，去绝对值时要注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
8. 请根据如图所示的对话内容回答下列问题.
(1)求该魔方的棱长.
(2)求该长方体纸盒的长.
(1)求该魔方的棱长.
(2)求该长方体纸盒的长.
答案
解：
(1) 设该魔方的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，
由正方体体积公式得：$ x^3 = 216 $，
解得$ x = \sqrt[3]{216} = 6 $。
(2) 设该长方体纸盒的长为$ y \, \mathrm{cm} $，则纸盒的高也为$ y \, \mathrm{cm} $，
由(1)可知纸盒的宽为6 cm，根据长方体体积公式得：
$ 6y^2 = 600 $，
整理得$ y^2 = 100 $，
因为长度为正，所以$ y = \sqrt{100} = 10 $。
答：(1) 该魔方的棱长为$ 6\,\mathrm{cm} $；(2) 该长方体纸盒的长为$ 10\,\mathrm{cm} $。
(1) 设该魔方的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，
由正方体体积公式得：$ x^3 = 216 $，
解得$ x = \sqrt[3]{216} = 6 $。
(2) 设该长方体纸盒的长为$ y \, \mathrm{cm} $，则纸盒的高也为$ y \, \mathrm{cm} $，
由(1)可知纸盒的宽为6 cm，根据长方体体积公式得：
$ 6y^2 = 600 $，
整理得$ y^2 = 100 $，
因为长度为正，所以$ y = \sqrt{100} = 10 $。
答：(1) 该魔方的棱长为$ 6\,\mathrm{cm} $；(2) 该长方体纸盒的长为$ 10\,\mathrm{cm} $。
解析
【分析】
(1) 已知正方体魔方的体积，根据正方体体积公式$V=a^3$（a为棱长），可知棱长是体积的立方根，计算216的正立方根即可得到魔方棱长；
(2) 由(1)可得长方体纸盒的宽等于魔方棱长为6cm，又已知纸盒长和高相等，根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，设长为y，可列方程求解，因为长度为正数，取结果的算术平方根即可。
【解析】
(1) 设该魔方的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，
由正方体体积公式得：$ x^3 = 216 $，
解得$ x = \sqrt[3]{216} = 6 $。
(2) 设该长方体纸盒的长为$ y \, \mathrm{cm} $，则纸盒的高也为$ y \, \mathrm{cm} $，
由(1)可知纸盒的宽为6 cm，根据长方体体积公式得：
$ 6y^2 = 600 $，
整理得$ y^2 = 100 $，
因为长度为正，所以$ y = \sqrt{100} = 10 $。
【答案】
(1) 该魔方的棱长为$ 6\,\mathrm{cm} $；
(2) 该长方体纸盒的长为$ 10\,\mathrm{cm} $。
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算，长方体体积计算
【点评】
本题结合生活情境考查立体图形体积公式与开方运算的结合应用，解题时注意实际问题中长度取正值，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
(1) 已知正方体魔方的体积，根据正方体体积公式$V=a^3$（a为棱长），可知棱长是体积的立方根，计算216的正立方根即可得到魔方棱长；
(2) 由(1)可得长方体纸盒的宽等于魔方棱长为6cm，又已知纸盒长和高相等，根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，设长为y，可列方程求解，因为长度为正数，取结果的算术平方根即可。
【解析】
(1) 设该魔方的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，
由正方体体积公式得：$ x^3 = 216 $，
解得$ x = \sqrt[3]{216} = 6 $。
(2) 设该长方体纸盒的长为$ y \, \mathrm{cm} $，则纸盒的高也为$ y \, \mathrm{cm} $，
由(1)可知纸盒的宽为6 cm，根据长方体体积公式得：
$ 6y^2 = 600 $，
整理得$ y^2 = 100 $，
因为长度为正，所以$ y = \sqrt{100} = 10 $。
【答案】
(1) 该魔方的棱长为$ 6\,\mathrm{cm} $；
(2) 该长方体纸盒的长为$ 10\,\mathrm{cm} $。
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算，长方体体积计算
【点评】
本题结合生活情境考查立体图形体积公式与开方运算的结合应用，解题时注意实际问题中长度取正值，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
9.(2024·德州)在$0,\frac{1}{2},-2,\sqrt{2}$四个数中，最小的数是（）
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$\sqrt{2}$
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
要判断四个实数中最小的数，可依据实数比较大小的基本规律思考：首先明确正数大于0，负数小于0，正数大于所有负数，因此先对四个数的正负性进行分类，找到负数即可快速确定最小数，若存在多个负数再进一步比较绝对值大小即可。
【解析】
根据实数大小比较的法则：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
对四个数分类判断：
$-2$是负数，小于0；
$0$既不是正数也不是负数；
$\frac{1}{2}$是正分数，$\sqrt{2}\approx1.414$是正无理数，二者都大于0。
因此四个数的大小关系为：$-2 ＜ 0 ＜ \frac{1}{2} ＜ \sqrt{2}$，所以最小的数是$-2$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；正负数的性质；无理数估算
【点评】
本题是实数相关的基础常考题，核心考察实数比较大小的基本法则，熟练掌握正负数和0的大小关系即可快速求解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
要判断四个实数中最小的数，可依据实数比较大小的基本规律思考：首先明确正数大于0，负数小于0，正数大于所有负数，因此先对四个数的正负性进行分类，找到负数即可快速确定最小数，若存在多个负数再进一步比较绝对值大小即可。
【解析】
根据实数大小比较的法则：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
对四个数分类判断：
$-2$是负数，小于0；
$0$既不是正数也不是负数；
$\frac{1}{2}$是正分数，$\sqrt{2}\approx1.414$是正无理数，二者都大于0。
因此四个数的大小关系为：$-2 ＜ 0 ＜ \frac{1}{2} ＜ \sqrt{2}$，所以最小的数是$-2$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；正负数的性质；无理数估算
【点评】
本题是实数相关的基础常考题，核心考察实数比较大小的基本法则，熟练掌握正负数和0的大小关系即可快速求解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
10. 已知整数$n$满足$n＜\sqrt{2024}＜n+1$，参考表格中的数据，判断$n$的值为（）
A.43
B.44
C.45
D.46
A.43
B.44
C.45
D.46
答案
B
解析
【分析】
要确定整数n的值，需先估算$\sqrt{2024}$的范围。根据算术平方根的性质，若两个正数的平方分别小于和大于被开方数，则这两个正数就是该算术平方根的相邻整数。我们可以参考表格给出的m与$m^2$的对应关系，找到2024介于哪两个平方数之间，即可确定$\sqrt{2024}$的范围，进而得到n的值。
【解析】
由表格中的数据可知：$44^2=1936$，$45^2=2025$。
因为$1936＜2024＜2025$，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{1936}＜\sqrt{2024}＜\sqrt{2025}$，即$44＜\sqrt{2024}＜45$。
已知整数$n$满足$n＜\sqrt{2024}＜n+1$，对比可得$n=44$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 无理数的估算
3. 实数大小比较
【点评】
本题考查无理数的估算，解题核心是掌握平方运算和开平方运算的互逆关系，结合题干给出的表格数据可快速定位被开方数对应的平方数范围，从而得到无理数的取值区间，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定整数n的值，需先估算$\sqrt{2024}$的范围。根据算术平方根的性质，若两个正数的平方分别小于和大于被开方数，则这两个正数就是该算术平方根的相邻整数。我们可以参考表格给出的m与$m^2$的对应关系，找到2024介于哪两个平方数之间，即可确定$\sqrt{2024}$的范围，进而得到n的值。
【解析】
由表格中的数据可知：$44^2=1936$，$45^2=2025$。
因为$1936＜2024＜2025$，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{1936}＜\sqrt{2024}＜\sqrt{2025}$，即$44＜\sqrt{2024}＜45$。
已知整数$n$满足$n＜\sqrt{2024}＜n+1$，对比可得$n=44$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 无理数的估算
3. 实数大小比较
【点评】
本题考查无理数的估算，解题核心是掌握平方运算和开平方运算的互逆关系，结合题干给出的表格数据可快速定位被开方数对应的平方数范围，从而得到无理数的取值区间，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 比较下列各组数的大小，错误的是（）
A.$\sqrt{8}＜\sqrt{10}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜0.5$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞0.5$
D.$\sqrt{50}＞7$
A.$\sqrt{8}＜\sqrt{10}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜0.5$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞0.5$
D.$\sqrt{50}＞7$
答案
B
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，解题思路是逐个分析选项：对于仅含算术平方根的数，可直接根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”比较；对于含无理数的代数式，先估算无理数的取值范围，再推导代数式的取值范围后比较大小，最终找出错误的选项。
【解析】
我们逐个判断选项的正误：
A. 根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，因为8＜10，所以$\sqrt{8}＜\sqrt{10}$，该选项正确，不符合题意；
B. 先估算$\sqrt{5}$的大小：因为$2^2=4＜5$，$3^2=9＞5$，所以$\sqrt{5}＞2$，则$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，两边同时除以2可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}=0.5$，该选项的结论错误，符合题意；
C. 由$\sqrt{5}＞2$得$\sqrt{5}+1＞3$，则$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}=1.5＞0.5$，该选项正确，不符合题意；
D. 因为$7^2=49＜50$，所以$\sqrt{50}＞\sqrt{49}=7$，该选项正确，不符合题意。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
3. 无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对算术平方根性质的理解和无理数的估算能力，熟练掌握常见无理数的取值范围，就能快速判断代数式的大小关系。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的大小比较，解题思路是逐个分析选项：对于仅含算术平方根的数，可直接根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”比较；对于含无理数的代数式，先估算无理数的取值范围，再推导代数式的取值范围后比较大小，最终找出错误的选项。
【解析】
我们逐个判断选项的正误：
A. 根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，因为8＜10，所以$\sqrt{8}＜\sqrt{10}$，该选项正确，不符合题意；
B. 先估算$\sqrt{5}$的大小：因为$2^2=4＜5$，$3^2=9＞5$，所以$\sqrt{5}＞2$，则$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，两边同时除以2可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}=0.5$，该选项的结论错误，符合题意；
C. 由$\sqrt{5}＞2$得$\sqrt{5}+1＞3$，则$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}=1.5＞0.5$，该选项正确，不符合题意；
D. 因为$7^2=49＜50$，所以$\sqrt{50}＞\sqrt{49}=7$，该选项正确，不符合题意。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
3. 无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对算术平方根性质的理解和无理数的估算能力，熟练掌握常见无理数的取值范围，就能快速判断代数式的大小关系。
【难度系数】
0.8
12.(2024·重庆)已知$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}$，则实数$m$的取值范围是（）
A.$2＜m＜3$
B.$3＜m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$5＜m＜6$
A.$2＜m＜3$
B.$3＜m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$5＜m＜6$
答案
B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需先化简m的表达式：先将√27化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到m的最简形式，之后通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算出化简后无理数的取值范围，即可得到m的范围。
【解析】
第一步：化简m的表达式
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，因此：
$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：转化为同一形式估算大小
将$2\sqrt{3}$改写为根号形式：$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$
第三步：比较被开方数确定范围
∵$9＜12＜16$，且二次根式的被开方数越大，值越大
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$
因此$3＜m＜4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式合并；无理数大小估算
【点评】
本题是实数部分的基础题型，解题关键是先对二次根式进行化简，再通过找相邻完全平方数的方法估算无理数范围，避免直接计算近似值带来的误差。
【难度系数】
0.8
要确定m的取值范围，首先需先化简m的表达式：先将√27化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到m的最简形式，之后通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算出化简后无理数的取值范围，即可得到m的范围。
【解析】
第一步：化简m的表达式
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，因此：
$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：转化为同一形式估算大小
将$2\sqrt{3}$改写为根号形式：$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$
第三步：比较被开方数确定范围
∵$9＜12＜16$，且二次根式的被开方数越大，值越大
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$
因此$3＜m＜4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式合并；无理数大小估算
【点评】
本题是实数部分的基础题型，解题关键是先对二次根式进行化简，再通过找相邻完全平方数的方法估算无理数范围，避免直接计算近似值带来的误差。
【难度系数】
0.8
13. 比较大小：$\frac{\sqrt{13}-2}{6}$ $\frac{1}{3}$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
$＜$
解析
【分析】
比较两个分数大小可先通分化为同分母分数，只需比较分子大小即可。首先将$\frac{1}{3}$转化为分母为6的分数$\frac{2}{6}$，此时只需判断$\sqrt{13}-2$和2的大小，进一步转化为估算$\sqrt{13}$和4的大小，再根据算术平方根的性质即可得出结论。
【解析】
第一步，通分统一分母：$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$，两个分数分母相同，只需比较分子$\sqrt{13}-2$与2的大小。
第二步，估算$\sqrt{13}$的范围：因为$13＜16$，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得$\sqrt{13}＜\sqrt{16}=4$。
第三步，推导分子大小关系：不等式两边同时减2，得$\sqrt{13}-2＜4-2$，即$\sqrt{13}-2＜2$。
第四步，比较分数大小：同分母分数，分子越小分数越小，因此$\frac{\sqrt{13}-2}{6}＜\frac{2}{6}$，也就是$\frac{\sqrt{13}-2}{6}＜\frac{1}{3}$。
【答案】
$＜$
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，通过通分简化比较对象，再结合算术平方根的估算即可快速求解，掌握常见的数的开方值是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
比较两个分数大小可先通分化为同分母分数，只需比较分子大小即可。首先将$\frac{1}{3}$转化为分母为6的分数$\frac{2}{6}$，此时只需判断$\sqrt{13}-2$和2的大小，进一步转化为估算$\sqrt{13}$和4的大小，再根据算术平方根的性质即可得出结论。
【解析】
第一步，通分统一分母：$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$，两个分数分母相同，只需比较分子$\sqrt{13}-2$与2的大小。
第二步，估算$\sqrt{13}$的范围：因为$13＜16$，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得$\sqrt{13}＜\sqrt{16}=4$。
第三步，推导分子大小关系：不等式两边同时减2，得$\sqrt{13}-2＜4-2$，即$\sqrt{13}-2＜2$。
第四步，比较分数大小：同分母分数，分子越小分数越小，因此$\frac{\sqrt{13}-2}{6}＜\frac{2}{6}$，也就是$\frac{\sqrt{13}-2}{6}＜\frac{1}{3}$。
【答案】
$＜$
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，通过通分简化比较对象，再结合算术平方根的估算即可快速求解，掌握常见的数的开方值是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
14. 如图所示,已知$OA=OB,BC=2$.
(1)数轴上点A所表示的数为.
(2)比较点A所表示的数与－3.5的大小:.
(3)在数轴上找出$\sqrt{10}$对应的点.(不写作法保留作图痕迹)
(1)数轴上点A所表示的数为.
(2)比较点A所表示的数与－3.5的大小:.
(3)在数轴上找出$\sqrt{10}$对应的点.(不写作法保留作图痕迹)
答案
解：
(1) 在$Rt△ OBC$中，$OC=3$，$BC=2$，由勾股定理得
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
因为$OA=OB$，点A在数轴负半轴，所以点A所表示的数为$\boldsymbol{-\sqrt{13}}$。
(2) 因为$(\sqrt{13})^2=13$，$3.5^2=12.25$，$13＞12.25$，所以$\sqrt{13}＞3.5$，因此$\boldsymbol{-\sqrt{13} ＜ -3.5}$。
(3) 在数轴正半轴取坐标为$(3,0)$的点，过该点作数轴的垂线段，使垂线段长度为1，连接原点与垂线段的上端点，得到长度为$\sqrt{10}$的线段；以原点为圆心，该线段长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为$\sqrt{10}$对应的点，保留所作直角三角形和圆弧的作图痕迹即可。
(1) 在$Rt△ OBC$中，$OC=3$，$BC=2$，由勾股定理得
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
因为$OA=OB$，点A在数轴负半轴，所以点A所表示的数为$\boldsymbol{-\sqrt{13}}$。
(2) 因为$(\sqrt{13})^2=13$，$3.5^2=12.25$，$13＞12.25$，所以$\sqrt{13}＞3.5$，因此$\boldsymbol{-\sqrt{13} ＜ -3.5}$。
(3) 在数轴正半轴取坐标为$(3,0)$的点，过该点作数轴的垂线段，使垂线段长度为1，连接原点与垂线段的上端点，得到长度为$\sqrt{10}$的线段；以原点为圆心，该线段长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为$\sqrt{10}$对应的点，保留所作直角三角形和圆弧的作图痕迹即可。
解析
【分析】
(1) 要求点A表示的数，已知OA=OB，因此先求OB的长度：观察图形得△OBC是直角三角形，从数轴读出OC=3，已知BC=2，用勾股定理可求出OB长，再结合点A在负半轴，即可得到点A对应的数；
(2) 两个负数比较大小，绝对值大的数更小，因此先比较$\sqrt{13}$和3.5的大小，通过比较两者平方的大小即可判断；
(3) 要找$\sqrt{10}$对应的点，根据勾股定理$\sqrt{10}=\sqrt{3^2+1^2}$，先构造直角边为3和1的直角三角形得到长度为$\sqrt{10}$的线段，再用圆规将该线段转移到数轴正半轴即可。
【解析】
(1) 在$Rt△OBC$中，由数轴可得$OC=3$，已知$BC=2$，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
因为$OA=OB$，且点A在数轴负半轴，所以点A表示的数为$-\sqrt{13}$。
(2) 先比较两数绝对值的大小：
$(\sqrt{13})^2=13$，$3.5^2=12.25$
因为$13＞12.25$，所以$\sqrt{13}＞3.5$
根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，因此$-\sqrt{13} ＜ -3.5$。
(3) 在数轴正半轴取表示3的点，过该点作数轴的垂线段，使垂线段长为1，连接原点与垂线段上端点，所得线段长即为$\sqrt{10}$；以原点为圆心，该线段长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{10}$对应的点，保留所作直角三角形和圆弧的痕迹即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\sqrt{13}}$
(2) $\boldsymbol{-\sqrt{13} ＜ -3.5}$
(3) 按上述方法作图，保留对应痕迹即可。
【知识点】
勾股定理的应用；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查勾股定理与实数的相关性质，既需要掌握利用勾股定理计算线段长度、构造无理数对应线段的方法，也需要熟练掌握实数大小比较的技巧，是实数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要求点A表示的数，已知OA=OB，因此先求OB的长度：观察图形得△OBC是直角三角形，从数轴读出OC=3，已知BC=2，用勾股定理可求出OB长，再结合点A在负半轴，即可得到点A对应的数；
(2) 两个负数比较大小，绝对值大的数更小，因此先比较$\sqrt{13}$和3.5的大小，通过比较两者平方的大小即可判断；
(3) 要找$\sqrt{10}$对应的点，根据勾股定理$\sqrt{10}=\sqrt{3^2+1^2}$，先构造直角边为3和1的直角三角形得到长度为$\sqrt{10}$的线段，再用圆规将该线段转移到数轴正半轴即可。
【解析】
(1) 在$Rt△OBC$中，由数轴可得$OC=3$，已知$BC=2$，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
因为$OA=OB$，且点A在数轴负半轴，所以点A表示的数为$-\sqrt{13}$。
(2) 先比较两数绝对值的大小：
$(\sqrt{13})^2=13$，$3.5^2=12.25$
因为$13＞12.25$，所以$\sqrt{13}＞3.5$
根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，因此$-\sqrt{13} ＜ -3.5$。
(3) 在数轴正半轴取表示3的点，过该点作数轴的垂线段，使垂线段长为1，连接原点与垂线段上端点，所得线段长即为$\sqrt{10}$；以原点为圆心，该线段长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{10}$对应的点，保留所作直角三角形和圆弧的痕迹即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\sqrt{13}}$
(2) $\boldsymbol{-\sqrt{13} ＜ -3.5}$
(3) 按上述方法作图，保留对应痕迹即可。
【知识点】
勾股定理的应用；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查勾股定理与实数的相关性质，既需要掌握利用勾股定理计算线段长度、构造无理数对应线段的方法，也需要熟练掌握实数大小比较的技巧，是实数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
15.(2024·常州)若式子$\sqrt{x-2}$有意义，则实数x的值可能是（）
A.－1
B.0
C.1
D.2
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的前提条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。首先根据这个条件列出关于x的不等式，解不等式得到x的取值范围，再逐一判断四个选项中的数是否在取值范围内，即可选出正确答案。
【解析】
解：若$\sqrt{x-2}$有意义，则被开方数$x-2$是非负数，可得：
$x-2 ≥ 0$
解得：$x ≥ 2$
逐一核对选项：
A选项$-1＜2$，不符合要求；B选项$0＜2$，不符合要求；C选项$1＜2$，不符合要求；D选项$2=2$，满足$x≥2$的要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是牢记二次根式的被开方数为非负数，掌握这个规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的前提条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。首先根据这个条件列出关于x的不等式，解不等式得到x的取值范围，再逐一判断四个选项中的数是否在取值范围内，即可选出正确答案。
【解析】
解：若$\sqrt{x-2}$有意义，则被开方数$x-2$是非负数，可得：
$x-2 ≥ 0$
解得：$x ≥ 2$
逐一核对选项：
A选项$-1＜2$，不符合要求；B选项$0＜2$，不符合要求；C选项$1＜2$，不符合要求；D选项$2=2$，满足$x≥2$的要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是牢记二次根式的被开方数为非负数，掌握这个规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
