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16. 下列各式: ①$\sqrt{8}$; ②$\sqrt{0.3}$; ③$\sqrt{12}$; ④$\sqrt{3}$; ⑤$\sqrt{a^2+1}$. 其中一定是最简二次根式的有 ()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数的因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个验证给出的5个式子是否同时满足这两个条件，统计符合条件的个数即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$\sqrt{8}$：被开方数8含有能开得尽方的因数4（$4=2^2$），可化简为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
②$\sqrt{0.3}$：被开方数0.3是小数（即分数$\frac{3}{10}$），不符合被开方数是整数的要求，可化简为$\sqrt{0.3}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，不是最简二次根式；
③$\sqrt{12}$：被开方数12含有能开得尽方的因数4，可化简为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
④$\sqrt{3}$：被开方数3是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式；
⑤$\sqrt{a^2+1}$：被开方数$a^2+1$是整式，且不存在能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式。
综上，是最简二次根式的有④和⑤，共2个。
【答案】
C
【知识点】
1.最简二次根式的判定
2.二次根式的化简
【点评】
本题核心考查最简二次根式的判定规则，解题时需严格对照两个判定条件逐一排查，尤其要注意被开方数为小数时需先转化为分数判断，被开方数为多项式时需确认是否可分解出完全平方因式，避免因判断疏漏出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数的因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个验证给出的5个式子是否同时满足这两个条件，统计符合条件的个数即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$\sqrt{8}$：被开方数8含有能开得尽方的因数4（$4=2^2$），可化简为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
②$\sqrt{0.3}$：被开方数0.3是小数（即分数$\frac{3}{10}$），不符合被开方数是整数的要求，可化简为$\sqrt{0.3}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，不是最简二次根式；
③$\sqrt{12}$：被开方数12含有能开得尽方的因数4，可化简为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
④$\sqrt{3}$：被开方数3是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式；
⑤$\sqrt{a^2+1}$：被开方数$a^2+1$是整式，且不存在能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式。
综上，是最简二次根式的有④和⑤，共2个。
【答案】
C
【知识点】
1.最简二次根式的判定
2.二次根式的化简
【点评】
本题核心考查最简二次根式的判定规则，解题时需严格对照两个判定条件逐一排查，尤其要注意被开方数为小数时需先转化为分数判断，被开方数为多项式时需确认是否可分解出完全平方因式，避免因判断疏漏出错。
【难度系数】
0.7
17.若$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$能合并，则$m$的值为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个二次根式能合并的前提：二者均为最简二次根式，且被开方数相同。解题时第一步先把不是最简形式的$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再结合$\sqrt{m+1}$是最简二次根式的条件，令二者的被开方数相等，就能列出关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
1. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
2. 根据可合并二次根式的性质列方程：
因为$\sqrt{18}$化简后被开方数为2，且最简二次根式$\sqrt{m+1}$能和它合并，说明二者被开方数相同，因此可得：
$m+1=2$
3. 解方程：
移项计算得$m=2-1=1$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 最简二次根式的定义
3. 同类二次根式的判定
【点评】
本题核心考查同类二次根式的识别与应用，解题的关键是先将已知的非最简二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式被开方数相同的特征列等式计算，掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确两个二次根式能合并的前提：二者均为最简二次根式，且被开方数相同。解题时第一步先把不是最简形式的$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再结合$\sqrt{m+1}$是最简二次根式的条件，令二者的被开方数相等，就能列出关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
1. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
2. 根据可合并二次根式的性质列方程：
因为$\sqrt{18}$化简后被开方数为2，且最简二次根式$\sqrt{m+1}$能和它合并，说明二者被开方数相同，因此可得：
$m+1=2$
3. 解方程：
移项计算得$m=2-1=1$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 最简二次根式的定义
3. 同类二次根式的判定
【点评】
本题核心考查同类二次根式的识别与应用，解题的关键是先将已知的非最简二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式被开方数相同的特征列等式计算，掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
18. 下列计算正确的是（）
A.$\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$
C.$\sqrt{(π - 3.14)^2} = 3.14 - π$
D.$\sqrt{48} × \sqrt{3} = 12$
A.$\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$
C.$\sqrt{(π - 3.14)^2} = 3.14 - π$
D.$\sqrt{48} × \sqrt{3} = 12$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，需逐一验证每个选项的计算是否正确：首先回忆二次根式的除法、加减、性质、乘法的相关规则，对每个选项分别计算后判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：计算$\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} - \sqrt{2})$，需先分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
原式$=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{18}+\sqrt{12}}{3-2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，结果不等于$\sqrt{2}-\sqrt{3}$，故A错误。
选项B：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并，故B错误。
选项C：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，$π\approx3.14159＞3.14$，因此$\sqrt{(π-3.14)^2}=|π-3.14|=π-3.14$，不等于$3.14-π$，故C错误。
选项D：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{48}×\sqrt{3}=\sqrt{48×3}=\sqrt{144}=12$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，同类二次根式，二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的各类运算规则和性质，通过逐一排查选项即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，需逐一验证每个选项的计算是否正确：首先回忆二次根式的除法、加减、性质、乘法的相关规则，对每个选项分别计算后判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：计算$\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} - \sqrt{2})$，需先分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
原式$=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{18}+\sqrt{12}}{3-2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，结果不等于$\sqrt{2}-\sqrt{3}$，故A错误。
选项B：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并，故B错误。
选项C：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，$π\approx3.14159＞3.14$，因此$\sqrt{(π-3.14)^2}=|π-3.14|=π-3.14$，不等于$3.14-π$，故C错误。
选项D：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{48}×\sqrt{3}=\sqrt{48×3}=\sqrt{144}=12$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，同类二次根式，二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的各类运算规则和性质，通过逐一排查选项即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
19. 计算:
(1)$|\sqrt{7}-3|-2\sqrt{3}×\sqrt{21}.$
(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×2\sqrt{3}+\sqrt{24}.$
(3)$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})×(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2.$
(1)$|\sqrt{7}-3|-2\sqrt{3}×\sqrt{21}.$
(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×2\sqrt{3}+\sqrt{24}.$
(3)$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})×(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2.$
答案
解：
(1) 原式$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{3×21}$
$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{63}$
$=3-\sqrt{7} - 6\sqrt{7}$
$=3-7\sqrt{7}$
(2) 原式$=\sqrt{48÷3} - 2\sqrt{\frac{1}{2}×3} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(3) 原式$=(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2]$
$=18 - 12 - (5 - 2\sqrt{15} + 3)$
$=6 - 8 + 2\sqrt{15}$
$=2\sqrt{15}-2$
(1) 原式$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{3×21}$
$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{63}$
$=3-\sqrt{7} - 6\sqrt{7}$
$=3-7\sqrt{7}$
(2) 原式$=\sqrt{48÷3} - 2\sqrt{\frac{1}{2}×3} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(3) 原式$=(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2]$
$=18 - 12 - (5 - 2\sqrt{15} + 3)$
$=6 - 8 + 2\sqrt{15}$
$=2\sqrt{15}-2$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先根据绝对值的性质化简$|\sqrt{7}-3|$：因为$\sqrt{7}＜3$，所以绝对值化简结果为$3-\sqrt{7}$；再根据二次根式乘法法则计算$2\sqrt{3}×\sqrt{21}$，最后合并同类二次根式即可。
(2) 按照二次根式乘除运算法则分别计算除法和乘法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a×b}$，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式。
(3) 第一个乘积符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，第二个式子符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先利用两个乘法公式分别展开，再去括号、合并同类项即可，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 原式$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{3×21}$
$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{63}$
$=3-\sqrt{7} - 6\sqrt{7}$
$=3-7\sqrt{7}$
(2) 原式$=\sqrt{48÷3} - 2\sqrt{\frac{1}{2}×3} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(3) 原式$=(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2]$
$=18 - 12 - (5 - 2\sqrt{15} + 3)$
$=6 - 8 + 2\sqrt{15}$
$=2\sqrt{15}-2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3-7\sqrt{7}}$；(2) $\boldsymbol{4+\sqrt{6}}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{15}-2}$
【知识点】
绝对值化简；二次根式运算；乘法公式应用
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则、绝对值化简以及平方差、完全平方公式的灵活运用，计算时需注意运算顺序，去括号时要留意符号变化，合并同类二次根式时避免出错。
【难度系数】
0.75
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先根据绝对值的性质化简$|\sqrt{7}-3|$：因为$\sqrt{7}＜3$，所以绝对值化简结果为$3-\sqrt{7}$；再根据二次根式乘法法则计算$2\sqrt{3}×\sqrt{21}$，最后合并同类二次根式即可。
(2) 按照二次根式乘除运算法则分别计算除法和乘法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a×b}$，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式。
(3) 第一个乘积符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，第二个式子符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先利用两个乘法公式分别展开，再去括号、合并同类项即可，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 原式$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{3×21}$
$=3-\sqrt{7} - 2\sqrt{63}$
$=3-\sqrt{7} - 6\sqrt{7}$
$=3-7\sqrt{7}$
(2) 原式$=\sqrt{48÷3} - 2\sqrt{\frac{1}{2}×3} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(3) 原式$=(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2]$
$=18 - 12 - (5 - 2\sqrt{15} + 3)$
$=6 - 8 + 2\sqrt{15}$
$=2\sqrt{15}-2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3-7\sqrt{7}}$；(2) $\boldsymbol{4+\sqrt{6}}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{15}-2}$
【知识点】
绝对值化简；二次根式运算；乘法公式应用
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则、绝对值化简以及平方差、完全平方公式的灵活运用，计算时需注意运算顺序，去括号时要留意符号变化，合并同类二次根式时避免出错。
【难度系数】
0.75
20. 🔥NEW 新考向·阅读理解 阅读下列材料，然后解答问题.
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
①$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{5}{3}\sqrt{3}$；
②$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1}=\sqrt{3}-1$.
这种化简的方法叫分母有理化.
(1)参照①式化简：$\frac{3}{\sqrt{5}}=$
(2)参照②式化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$
(3)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$.
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
①$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{5}{3}\sqrt{3}$；
②$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1}=\sqrt{3}-1$.
这种化简的方法叫分母有理化.
(1)参照①式化简：$\frac{3}{\sqrt{5}}=$
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
.(2)参照②式化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$
$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
.(3)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$.
答案
20.解:(1)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2)$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(3)原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$ + $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})×(\sqrt{7}-\sqrt{5})}$ + … + $\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})×(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$=$\frac{1}{2} ×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+…+\sqrt{99}-\sqrt{97})$=$\frac{\sqrt{99}-1}{2}$=$\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$.
(2)$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(3)原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$ + $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})×(\sqrt{7}-\sqrt{5})}$ + … + $\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})×(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$=$\frac{1}{2} ×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+…+\sqrt{99}-\sqrt{97})$=$\frac{\sqrt{99}-1}{2}$=$\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查分母有理化的应用，解题思路如下：
(1) 分母为单个二次根式时，给分子、分母同乘分母中的二次根式，即可将分母化为有理数完成化简；
(2) 分母为两个二次根式的和时，利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的有理化因式（将分母的加号改为减号即可得到），就能消去分母中的根号；
(3) 多个同类分式相加时，先将每一项按第二问的方法分母有理化，观察化简后的式子可发现相邻项存在互为相反数的部分，合并后相互抵消仅保留首尾项，最后计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{\sqrt{5}}$分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2) 对$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$分子分母同乘有理化因式$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(3) 先对原式每一项分母有理化：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}\\&=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{99}-\sqrt{97})\\&=\frac{1}{2}×(\sqrt{99}-1)\\&=\frac{3\sqrt{11}-1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；(2)$\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(3)$\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
【知识点】
1. 分母有理化；2. 平方差公式；3. 二次根式运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考察对分母有理化方法的迁移应用，第三问需要观察式子结构规律，利用裂项相消的思路简化计算，能够有效考查二次根式运算能力和规律探究能力。
【难度系数】
0.7
本题考查分母有理化的应用，解题思路如下：
(1) 分母为单个二次根式时，给分子、分母同乘分母中的二次根式，即可将分母化为有理数完成化简；
(2) 分母为两个二次根式的和时，利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的有理化因式（将分母的加号改为减号即可得到），就能消去分母中的根号；
(3) 多个同类分式相加时，先将每一项按第二问的方法分母有理化，观察化简后的式子可发现相邻项存在互为相反数的部分，合并后相互抵消仅保留首尾项，最后计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{\sqrt{5}}$分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2) 对$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$分子分母同乘有理化因式$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(3) 先对原式每一项分母有理化：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}\\&=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{99}-\sqrt{97})\\&=\frac{1}{2}×(\sqrt{99}-1)\\&=\frac{3\sqrt{11}-1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；(2)$\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(3)$\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
【知识点】
1. 分母有理化；2. 平方差公式；3. 二次根式运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考察对分母有理化方法的迁移应用，第三问需要观察式子结构规律，利用裂项相消的思路简化计算，能够有效考查二次根式运算能力和规律探究能力。
【难度系数】
0.7
