大单元知识结构图
有理数
发现无理数
扩充
实数
绝对值、倒数、相反数
相关概念
一一对应
数轴
大小比较
估算
算术平方根
平方根

立方根
二次根式$\sqrt{a}\ (a≥0)$的运算及化简
运算法则
$\sqrt{a} · \sqrt{b} ⇔$①$(a≥0,\ b≥0)$；$\sqrt{\frac{a}{b}} ⇔$②$(a≥0,b＞0)$
应用
最简二次根式满足的条件：（1）被开方数不含③；（2）也不含能开方得尽方的④或⑤。

①$\sqrt{ab}$
②$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
③分母
④因数
⑤因式

【分析】
本题考查二次根式相关的基础运算法则与最简二次根式的定义，属于识记类基础题。解题时可直接回忆对应知识点逐一匹配填空：首先回忆二次根式的乘法、除法运算法则，对应填写①②空；再回忆最简二次根式的两个判定条件，依次填写③④⑤空即可。
【解析】
1. 根据二次根式的乘法运算法则：两个非负数的算术平方根的乘积，等于这两个数乘积的算术平方根，即$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0, b≥0$），因此①处填$\sqrt{ab}$。
2. 根据二次根式的除法运算法则：非负数与正数的商的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的商，即$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0, b＞0$），因此②处填$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
3. 根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：
（1）被开方数不含分母，因此③处填分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数（针对数字因数）或因式（针对整式因式），因此④处填因数，⑤处填因式。
【答案】
①$\sqrt{ab}$；②$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；③分母；④因数；⑤因式
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式除法法则、最简二次根式的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础概念考查题，难度较低，相关知识点是后续二次根式化简、运算的核心基础，需要熟练识记并掌握。
【难度系数】
0.9

1.如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n.若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（）

A.m为有理数，n为无理数
B.m为无理数，n为有理数
C.m，n都为有理数
D.m，n都为无理数

A

【分析】
解题时先利用正方形面积公式建立边长和面积的关系：正方形面积等于边长的平方，已知面积求正的边长就是求面积的算术平方根；再分别计算两个正方形的边长，最后根据有理数、无理数的定义判断边长的属性，匹配对应选项即可。
【解析】
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$：
1. 对正方形M：已知面积为9，可得$m^2=9$，因为边长$m＞0$，所以$m=\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数；
2. 对正方形N：已知面积为5，可得$n^2=5$，因为边长$n＞0$，所以$n=\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数。
因此m为有理数，n为无理数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根；有理数与无理数判别
【点评】
本题属于基础概念应用题，将几何图形的面积计算和实数的分类结合考查，只要熟练掌握算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

2. $-\sqrt{5}$的倒数是；$\sqrt{2}-\sqrt{3}$的相反数是，绝对值是。

解：
$-\sqrt{5}$的倒数为$\frac{1}{-\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\sqrt{2}-\sqrt{3}$的相反数为$-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
因为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，即$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，所以$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}$；$\boldsymbol{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。

【分析】
这道题考查实数的倒数、相反数、绝对值的基础运算，解题思路可分为三步：1. 求倒数时，根据“互为倒数的两数乘积为1”先写出倒数形式，再通过分母有理化化为最简结果；2. 求相反数时，只需在原数前添加负号，去括号化简即可；3. 求绝对值时，先判断原数的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号。
【解析】
1. 计算$-\sqrt{5}$的倒数：
根据倒数定义，$-\sqrt{5}$的倒数为$\frac{1}{-\sqrt{5}}$，对其进行分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{5}$得：$\frac{1×\sqrt{5}}{-\sqrt{5}×\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
2. 计算$\sqrt{2}-\sqrt{3}$的相反数：
根据相反数定义，$\sqrt{2}-\sqrt{3}$的相反数为$-(\sqrt{2}-\sqrt{3})$，去括号化简得$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
3. 计算$\sqrt{2}-\sqrt{3}$的绝对值：
先判断正负：因为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，结合负数的绝对值是它的相反数，可得$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题是实数基础概念的典型应用题，难度较低，易错点在于求带根号的倒数时忘记分母有理化，以及计算绝对值前未先判断原数正负导致符号错误，解题时注意这两点即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

3. 把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
① $-\dfrac{11}{12}$；② $\sqrt[3]{2}$；③ $1 - \sqrt{4}$；④ $0$；⑤ $\sqrt{0.4}$；
⑥ $\sqrt[3]{-125}$；⑦ $-\dfrac{π}{4}$；⑧ $0.130\ 300\ 300\ 03···$（相邻两个3之间0的个数依次加1）；
⑨ $0.\dot{2}\dot{3}$；⑩ $3.14$。
(1)整数集合：$\{ \ ··· \}$。
(2)有理数集合：$\{ \ ··· \}$。
(3)无理数集合：$\{ \ ··· \}$。
(4)负实数集合：$\{ \ ··· \}$。

解：
先化简可计算的数：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$，$\sqrt[3]{-125}=-5$。
(1)整数集合：$\{③,④,⑥···\}$
(2)有理数集合：$\{①,③,④,⑥,⑨,⑩···\}$
(3)无理数集合：$\{②,⑤,⑦,⑧···\}$
(4)负实数集合：$\{①,③,⑥,⑦···\}$

【分析】
解决本题首先要先化简题目中带有运算的数，避免未化简直接判断出错；其次要熟记各类实数的定义：整数包含正整数、0、负整数；有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数；负实数是小于0的实数。最后逐个判断每个数所属的集合即可。
【解析】
首先先化简可计算的数：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$，$\sqrt[3]{-125}=-5$。
接下来逐个判断各数类型：
①$-\dfrac{11}{12}$：是负分数，属于有理数、负实数；
②$\sqrt[3]{2}$：开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
③化简后为$-1$：是负整数，属于整数、有理数、负实数；
④$0$：是整数，属于有理数；
⑤$\sqrt{0.4}$：开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
⑥化简后为$-5$：是负整数，属于整数、有理数、负实数；
⑦$-\dfrac{π}{4}$：含π，是无限不循环小数，属于无理数、负实数；
⑧$0.130\ 300\ 300\ 03···$（相邻两个3之间0的个数依次加1）：是无限不循环小数，属于无理数；
⑨$0.\dot{2}\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数；
⑩$3.14$：是有限小数，属于有理数。
据此填写各集合：
(1)整数集合：$\{③,④,⑥···\}$
(2)有理数集合：$\{①,③,④,⑥,⑨,⑩···\}$
(3)无理数集合：$\{②,⑤,⑦,⑧···\}$
(4)负实数集合：$\{①,③,⑥,⑦···\}$
【答案】
(1)$\{③,④,⑥···\}$
(2)$\{①,③,④,⑥,⑨,⑩···\}$
(3)$\{②,⑤,⑦,⑧···\}$
(4)$\{①,③,⑥,⑦···\}$
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题的关键是先对含有运算的数进行化简，再结合各类实数的定义逐一判断，需注意不要混淆无限循环小数和无限不循环小数，也不要误将有限小数3.14当成π，避免判断错误。
【难度系数】
0.8

4. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示$-\sqrt{2}$.设点B所表示的数为m.
(1)$m=$.
(2)求$|m+1|+|m-1|$的值.
(3)在数轴上还有C，D两点，分别表示实数c和d，且$|2c+6|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数，求$2c+3d$的平方根.

解：
(1) $2-\sqrt{2}$
(2) 由$m=2-\sqrt{2}$，且$1＜\sqrt{2}＜2$，可得$0＜m＜1$，
因此$m+1＞0$，$m-1＜0$，
$\begin{aligned}|m+1|+|m-1|&=(m+1)+(1-m)\\&=2\end{aligned}$
(3) 由题意得$|2c+6|+\sqrt{d-4}=0$，
因为$|2c+6|≥0$，$\sqrt{d-4}≥0$，
所以$2c+6=0$，$d-4=0$，
解得$c=-3$，$d=4$，
则$2c+3d=2×(-3)+3×4=6$，
所以$2c+3d$的平方根为$\pm\sqrt{6}$。

【分析】
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位，直接相加即可得到m的值。
(2) 计算含绝对值的式子需先判断绝对值内式子的正负：先估算$\sqrt{2}$介于1和2之间，可得$m=2-\sqrt{2}$的范围是$0＜m＜1$，因此$m+1＞0$，$m-1＜0$，再根据绝对值的性质去符号后化简即可。
(3) 互为相反数的两个数和为0，因此$|2c+6|+\sqrt{d-4}=0$；绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数相加得0时，两个非负数各自为0，据此列方程求出c、d的值，代入计算$2c+3d$后求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 点A表示$-\sqrt{2}$，向右爬2个单位长度到达点B，因此$m=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}$。
(2) 由$m=2-\sqrt{2}$，且$1＜\sqrt{2}＜2$，可得$0＜m＜1$，因此$m+1＞0$，$m-1＜0$。
根据绝对值的性质化简：
$\begin{aligned}|m+1|+|m-1|&=(m+1)+(1-m)\\&=m+1+1-m\\&=2\end{aligned}$
(3) 由题意得$|2c+6|+\sqrt{d-4}=0$，
因为$|2c+6|≥0$，$\sqrt{d-4}≥0$，两个非负数的和为0，则两式分别为0：
$\begin{cases}2c+6=0\\d-4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}c=-3\\d=4\end{cases}$，
代入得$2c+3d=2×(-3)+3×4=6$，
因此$2c+3d$的平方根为$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$2$；(3)$\pm\sqrt{6}$
【知识点】
数轴与实数的对应、绝对值化简、非负数的性质
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，解题核心是熟练掌握数轴平移规律、绝对值化简方法、非负数的性质以及平方根的定义，注意去绝对值前要先判断符号，求正数的平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7