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1. 下列说法正确的是(
A.“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间都在降雨
B.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
C.在“彩票中奖的概率为1％”的情况下，买一张彩票就能中奖是不可能事件
D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为$\frac{1}{6}$”表示随着抛掷次数的增加，抛出朝上的点数为2这一事件发生的频率稳定在$\frac{1}{6}$附近
D
)。A.“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间都在降雨
B.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
C.在“彩票中奖的概率为1％”的情况下，买一张彩票就能中奖是不可能事件
D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为$\frac{1}{6}$”表示随着抛掷次数的增加，抛出朝上的点数为2这一事件发生的频率稳定在$\frac{1}{6}$附近
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查概率的基本概念以及事件分类的相关知识，解题时先回忆相关定义：1. 概率反映的是事件发生的可能性大小，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近；2. 必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。接下来我们逐个对选项进行辨析，将选项描述和对应定义比对，判断正误即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的可能性为80%，而非降雨时间占全天的80%，该说法错误。
B选项：打开电视机时可能播放《新闻联播》，也可能播放其他节目，因此该事件是随机事件，不是必然事件，该说法错误。
C选项：“彩票中奖的概率为1%”说明买一张彩票中奖的可能性较低，但仍有可能发生，属于随机事件，不是不可能事件，该说法错误。
D选项：概率是大量重复试验下频率的稳定值，因此抛正方体骰子朝上点数为2的概率为$\frac{1}{6}$，表示随着抛掷次数增加，该事件发生的频率稳定在$\frac{1}{6}$附近，该说法正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义；事件的分类
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，需要准确理解概率的实际含义，区分清楚不同类型事件的定义，避免对概率概念产生误解，是概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题考查概率的基本概念以及事件分类的相关知识，解题时先回忆相关定义：1. 概率反映的是事件发生的可能性大小，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近；2. 必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。接下来我们逐个对选项进行辨析，将选项描述和对应定义比对，判断正误即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的可能性为80%，而非降雨时间占全天的80%，该说法错误。
B选项：打开电视机时可能播放《新闻联播》，也可能播放其他节目，因此该事件是随机事件，不是必然事件，该说法错误。
C选项：“彩票中奖的概率为1%”说明买一张彩票中奖的可能性较低，但仍有可能发生，属于随机事件，不是不可能事件，该说法错误。
D选项：概率是大量重复试验下频率的稳定值，因此抛正方体骰子朝上点数为2的概率为$\frac{1}{6}$，表示随着抛掷次数增加，该事件发生的频率稳定在$\frac{1}{6}$附近，该说法正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义；事件的分类
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，需要准确理解概率的实际含义，区分清楚不同类型事件的定义，避免对概率概念产生误解，是概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图所示的是某一事件发生的频率，该事件可能是(
A.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B.掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为2
C.从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽出一张，抽出的牌是红桃
D.同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
C
)。A.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B.掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为2
C.从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽出一张，抽出的牌是红桃
D.同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：根据“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近”的规律，首先从统计图中得出频率的稳定值，再分别计算四个选项对应事件的概率，与频率稳定值匹配的选项即为答案。
第一步：观察统计图，随着试验次数增加，频率稳定在约0.33（即$\frac{1}{3}$）附近；
第二步：分别计算每个选项的事件概率，选出概率为$\frac{1}{3}$的选项即可。
【解析】
观察统计图可知，随着试验次数增大，该事件发生的频率稳定在$\frac{1}{3}$左右，根据频率估计概率的知识，该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
对各选项逐一分析：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为2的概率为$\frac{1}{6}\approx0.17$，不符合；
C. 盒中共有$2+1=3$张牌，其中红桃1张，随机抽出红桃的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，符合频率稳定值；
D. 同时掷两枚硬币，共有正正、正反、反正、反反4种等可能结果，一正一反的结果有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，同时能准确计算简单随机事件的概率，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是：根据“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近”的规律，首先从统计图中得出频率的稳定值，再分别计算四个选项对应事件的概率，与频率稳定值匹配的选项即为答案。
第一步：观察统计图，随着试验次数增加，频率稳定在约0.33（即$\frac{1}{3}$）附近；
第二步：分别计算每个选项的事件概率，选出概率为$\frac{1}{3}$的选项即可。
【解析】
观察统计图可知，随着试验次数增大，该事件发生的频率稳定在$\frac{1}{3}$左右，根据频率估计概率的知识，该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
对各选项逐一分析：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为2的概率为$\frac{1}{6}\approx0.17$，不符合；
C. 盒中共有$2+1=3$张牌，其中红桃1张，随机抽出红桃的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，符合频率稳定值；
D. 同时掷两枚硬币，共有正正、正反、反正、反反4种等可能结果，一正一反的结果有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，同时能准确计算简单随机事件的概率，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.7
3. 一个不透明的袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同。将球搅匀后从袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则估计口袋中白球的个数为（
A.20个
B.16个
C.10个
D.8个
B
）。A.20个
B.16个
C.10个
D.8个
答案
3.B
解析
【分析】
本题属于利用频率估计概率的实际应用类题目，解题思路如下：首先，根据大量重复摸球试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，可得摸到红球的概率为0.2；其次，设白球个数为未知数，结合袋中原有4个红球，表示出袋中球的总数量；最后根据概率公式（某事件发生的概率=该事件对应的样本数÷总样本数）列方程求解，即可得到白球的个数。
【解析】
解：
∵多次摸球试验后摸到红球的频率稳定在0.2左右，
∴摸到红球的概率$P(\mathrm{红})=0.2$。
设口袋中白球的个数为$x$个，则袋中球的总个数为$(4+x)$个，
根据概率公式可得：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解方程：
$4=0.2×(4+x)$
$4=0.8+0.2x$
$0.2x=4-0.8$
$0.2x=3.2$
$x=16$
经检验，$x=16$是原方程的解，且符合题意。
即口袋中白球的个数为16个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题是概率基础应用题，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，结合概率公式列方程计算即可，解题时要注意所求为白球个数，不要误将总球数当作最终结果。
【难度系数】
0.7
本题属于利用频率估计概率的实际应用类题目，解题思路如下：首先，根据大量重复摸球试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，可得摸到红球的概率为0.2；其次，设白球个数为未知数，结合袋中原有4个红球，表示出袋中球的总数量；最后根据概率公式（某事件发生的概率=该事件对应的样本数÷总样本数）列方程求解，即可得到白球的个数。
【解析】
解：
∵多次摸球试验后摸到红球的频率稳定在0.2左右，
∴摸到红球的概率$P(\mathrm{红})=0.2$。
设口袋中白球的个数为$x$个，则袋中球的总个数为$(4+x)$个，
根据概率公式可得：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解方程：
$4=0.2×(4+x)$
$4=0.8+0.2x$
$0.2x=4-0.8$
$0.2x=3.2$
$x=16$
经检验，$x=16$是原方程的解，且符合题意。
即口袋中白球的个数为16个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题是概率基础应用题，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，结合概率公式列方程计算即可，解题时要注意所求为白球个数，不要误将总球数当作最终结果。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示的是小鹏存钱罐的密码锁(密码的每一位都是0~9中的一个数),该密码锁密码的第一位是7,后两位小鹏记不清了,只记得密码的后两位都比7大,则他第一次就能打开该密码锁的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
4.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要计算第一次打开密码锁的概率，需先明确所有等可能的密码情况总数，以及能开锁的正确情况数。已知密码第一位固定为7，只需分析后两位的可能：首先根据“后两位都比7大”的限制，找出0~9中符合要求的数字，再计算后两位的总组合数，最后结合概率公式求解即可。
【解析】
解：已知密码第一位固定为7，仅需考虑后两位的可能：
1. 确定符合要求的数字：0~9中比7大的数字为8、9，共2个；
2. 计算后两位的总等可能情况数：第二位密码有2种选择，第三位密码也有2种选择，总情况数为 $2 × 2 = 4$ 种；
3. 能打开锁的正确密码只有1种，根据概率公式 $P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得第一次就能打开锁的概率为 $\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是先根据题干限制条件筛选出可选数字，准确统计所有等可能的情况，再代入概率公式计算即可，注意审题时要明确“比7大”不包含7本身，避免多算可选数字出错。
【难度系数】
0.8
要计算第一次打开密码锁的概率，需先明确所有等可能的密码情况总数，以及能开锁的正确情况数。已知密码第一位固定为7，只需分析后两位的可能：首先根据“后两位都比7大”的限制，找出0~9中符合要求的数字，再计算后两位的总组合数，最后结合概率公式求解即可。
【解析】
解：已知密码第一位固定为7，仅需考虑后两位的可能：
1. 确定符合要求的数字：0~9中比7大的数字为8、9，共2个；
2. 计算后两位的总等可能情况数：第二位密码有2种选择，第三位密码也有2种选择，总情况数为 $2 × 2 = 4$ 种；
3. 能打开锁的正确密码只有1种，根据概率公式 $P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得第一次就能打开锁的概率为 $\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是先根据题干限制条件筛选出可选数字，准确统计所有等可能的情况，再代入概率公式计算即可，注意审题时要明确“比7大”不包含7本身，避免多算可选数字出错。
【难度系数】
0.8
5. 在太原马拉松赛上，小夏和小强作为志愿者，可以分别从甲、乙、丙、丁四个补给站中随机选择一个进行志愿服务，则小夏和小强选择同一个补给站进行志愿服务的概率为
$\frac{1}{4}$
。答案
5.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先要明确两人选择补给站是相互独立的等可能事件，第一步先计算两人选择的所有等可能结果总数；第二步统计两人选择同一个补给站的结果数量；最后代入概率公式“事件发生的概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。也可以通过固定小夏的选择，直接分析小强的选择情况简化计算。
【解析】
解法1：用列举法计算
小夏从甲、乙、丙、丁4个补给站中任选1个，有4种等可能的选择；小强同样有4种等可能的选择，因此两人选择补给站的所有等可能结果总数为$4×4=16$种。
其中两人选择同一个补给站的情况有：都选甲、都选乙、都选丙、都选丁，共4种结果。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两人选择同一个补给站})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解法2：简化思路
先固定小夏的选择（无论小夏选择哪个补给站都不影响最终概率），此时小强要和小夏选择同一个补给站，只需要在4个补给站中选中小夏选择的那1个即可，小强的选择共4种等可能情况，因此概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式、等可能事件
【点评】
本题是概率基础题，既可以通过列表或画树状图列举所有情况求解，也可以通过固定其中一个主体的选择简化运算，解题时注意确保所有结果都是等可能的即可。
【难度系数】
0.85
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先要明确两人选择补给站是相互独立的等可能事件，第一步先计算两人选择的所有等可能结果总数；第二步统计两人选择同一个补给站的结果数量；最后代入概率公式“事件发生的概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。也可以通过固定小夏的选择，直接分析小强的选择情况简化计算。
【解析】
解法1：用列举法计算
小夏从甲、乙、丙、丁4个补给站中任选1个，有4种等可能的选择；小强同样有4种等可能的选择，因此两人选择补给站的所有等可能结果总数为$4×4=16$种。
其中两人选择同一个补给站的情况有：都选甲、都选乙、都选丙、都选丁，共4种结果。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两人选择同一个补给站})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解法2：简化思路
先固定小夏的选择（无论小夏选择哪个补给站都不影响最终概率），此时小强要和小夏选择同一个补给站，只需要在4个补给站中选中小夏选择的那1个即可，小强的选择共4种等可能情况，因此概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式、等可能事件
【点评】
本题是概率基础题，既可以通过列表或画树状图列举所有情况求解，也可以通过固定其中一个主体的选择简化运算，解题时注意确保所有结果都是等可能的即可。
【难度系数】
0.85
6. 学校为了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是
$\frac{3}{5}$
。答案
6.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先要算出从5名学生中选2名的所有等可能结果总数，注意选2人不区分先后顺序，避免重复计数；其次算出恰好选中一男一女的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
解：1. 计算总等可能结果数：从5名学生中任选2名，不考虑选取顺序，总共有$\frac{5×4}{2×1}=10$种不同的选取结果，且每种结果出现的可能性相等。
2. 计算符合条件的结果数：要选1男1女，选女生有3种选择，选男生有2种选择，共有$3×2=6$种符合要求的选取结果。
3. 代入概率公式计算：$P(\mathrm{恰好一男一女})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率公式、计数方法、古典概型
【点评】
本题是概率的常规基础题，核心考查概率公式的应用，易错点是计数时出现重复或遗漏，解题时可通过列表或列举所有结果的方式验证计数是否正确。
【难度系数】
0.7
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先要算出从5名学生中选2名的所有等可能结果总数，注意选2人不区分先后顺序，避免重复计数；其次算出恰好选中一男一女的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
解：1. 计算总等可能结果数：从5名学生中任选2名，不考虑选取顺序，总共有$\frac{5×4}{2×1}=10$种不同的选取结果，且每种结果出现的可能性相等。
2. 计算符合条件的结果数：要选1男1女，选女生有3种选择，选男生有2种选择，共有$3×2=6$种符合要求的选取结果。
3. 代入概率公式计算：$P(\mathrm{恰好一男一女})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率公式、计数方法、古典概型
【点评】
本题是概率的常规基础题，核心考查概率公式的应用，易错点是计数时出现重复或遗漏，解题时可通过列表或列举所有结果的方式验证计数是否正确。
【难度系数】
0.7
7. 某班开展主题为“我爱山西”的研学活动，各小组从下面五张卡片中随机抽取一张，确定小组的研究方向。将这五张卡片洗匀后背面朝上放置（背面完全相同），先由小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果放回，洗匀后背面朝上，再由小博代表第二小组从中随机抽取一张。这两个小组研究方向不同的概率为
$\frac{4}{5}$
。答案
7.$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
本题是有放回抽取的概率计算问题，解题可采用两种思路：一是直接计算两次抽取研究方向不同的概率，先确定总等可能结果数，再统计符合“方向不同”的结果数，用概率公式求解；二是利用对立事件的性质，先求出两次研究方向相同的概率，再用1减去该概率得到所求结果，这种方法计算更简便。首先明确有放回抽取时，两次抽取相互独立，每次抽取都有5种等可能的结果。
【解析】
解：由于是有放回抽取，两次抽取互不影响：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取有5种等可能结果，第二次抽取同样有5种等可能结果，总结果数为 $ 5 × 5 = 25 $ 种。
2. 用对立事件法计算：两次研究方向相同的情况：两次都抽到A、都抽到B、都抽到C、都抽到D、都抽到E，共5种结果，因此 $ P(\mathrm{研究方向相同}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $。
因为“研究方向相同”和“研究方向不同”是对立事件，概率和为1，所以 $ P(\mathrm{研究方向不同}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $。
（也可直接计算：两次研究方向不同的结果数为 $ 5 × 4 = 20 $ 种，代入概率公式得 $ P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} $）
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
概率公式，有放回抽样概率，对立事件性质
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题时要注意区分有放回抽取和无放回抽取的差异，灵活选用对立事件法可以简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题是有放回抽取的概率计算问题，解题可采用两种思路：一是直接计算两次抽取研究方向不同的概率，先确定总等可能结果数，再统计符合“方向不同”的结果数，用概率公式求解；二是利用对立事件的性质，先求出两次研究方向相同的概率，再用1减去该概率得到所求结果，这种方法计算更简便。首先明确有放回抽取时，两次抽取相互独立，每次抽取都有5种等可能的结果。
【解析】
解：由于是有放回抽取，两次抽取互不影响：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取有5种等可能结果，第二次抽取同样有5种等可能结果，总结果数为 $ 5 × 5 = 25 $ 种。
2. 用对立事件法计算：两次研究方向相同的情况：两次都抽到A、都抽到B、都抽到C、都抽到D、都抽到E，共5种结果，因此 $ P(\mathrm{研究方向相同}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $。
因为“研究方向相同”和“研究方向不同”是对立事件，概率和为1，所以 $ P(\mathrm{研究方向不同}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $。
（也可直接计算：两次研究方向不同的结果数为 $ 5 × 4 = 20 $ 种，代入概率公式得 $ P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} $）
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
概率公式，有放回抽样概率，对立事件性质
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题时要注意区分有放回抽取和无放回抽取的差异，灵活选用对立事件法可以简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
