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8. 小明和小亮用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏。游戏规则如下：转盘被分成面积相等的三个部分，连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色，则小明赢，否则小亮赢。请你判断这个游戏对双方是否公平。
答案
8.解:画树状图如下：
共有 9 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
颜色相同或配成紫色的结果有 5 种,
所以小明赢的概率是$\frac{5}{9}$,小亮赢的概率是$\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,
$\therefore$这个游戏对双方不公平。
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，需先分别计算小明和小亮赢的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。已知转盘被等分为3份，转动一次转盘有红、黄、蓝3种等可能的结果，连续转动两次属于两步随机试验，可通过画树状图的方法列举出所有等可能的结果，再统计出符合小明赢（两次颜色相同或配成紫色）的结果数，结合概率公式分别计算两人赢的概率，比较概率大小即可得出结论。
【解析】
解：首先通过画树状图列出两次转动转盘的所有等可能结果，树状图如下：
由树状图可得，连续转动两次转盘共有9种等可能出现的结果。
其中满足“两次转出的颜色相同或配成紫色”的情况有：两次同色的（红，红）、（黄，黄）、（蓝，蓝）3种，可配成紫色的（红，蓝）、（蓝，红）2种，共5种结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{小明赢})=\frac{5}{9}$，
小亮赢的结果数为$9-5=4$种，因此$P(\mathrm{小亮赢})=\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，两人赢的概率不相等，
$\therefore$这个游戏对双方不公平。
【答案】
画树状图如下：
共有 9 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
颜色相同或配成紫色的结果有 5 种,
所以小明赢的概率是$\frac{5}{9}$,小亮赢的概率是$\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,
$\therefore$这个游戏对双方不公平。
【知识点】
游戏公平性判断；树状图法求概率；概率公式应用
【点评】
本题是概率的实际应用类问题，解题核心是利用树状图或列表法不重不漏地列出所有等可能的结果，需注意配紫色的组合包含“先红后蓝”和“先蓝后红”两种情况，避免漏算导致概率计算错误。
【难度系数】
0.65
要判断游戏是否公平，需先分别计算小明和小亮赢的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。已知转盘被等分为3份，转动一次转盘有红、黄、蓝3种等可能的结果，连续转动两次属于两步随机试验，可通过画树状图的方法列举出所有等可能的结果，再统计出符合小明赢（两次颜色相同或配成紫色）的结果数，结合概率公式分别计算两人赢的概率，比较概率大小即可得出结论。
【解析】
解：首先通过画树状图列出两次转动转盘的所有等可能结果，树状图如下：
由树状图可得，连续转动两次转盘共有9种等可能出现的结果。
其中满足“两次转出的颜色相同或配成紫色”的情况有：两次同色的（红，红）、（黄，黄）、（蓝，蓝）3种，可配成紫色的（红，蓝）、（蓝，红）2种，共5种结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{小明赢})=\frac{5}{9}$，
小亮赢的结果数为$9-5=4$种，因此$P(\mathrm{小亮赢})=\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，两人赢的概率不相等，
$\therefore$这个游戏对双方不公平。
【答案】
画树状图如下：
共有 9 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
颜色相同或配成紫色的结果有 5 种,
所以小明赢的概率是$\frac{5}{9}$,小亮赢的概率是$\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,
$\therefore$这个游戏对双方不公平。
【知识点】
游戏公平性判断；树状图法求概率；概率公式应用
【点评】
本题是概率的实际应用类问题，解题核心是利用树状图或列表法不重不漏地列出所有等可能的结果，需注意配紫色的组合包含“先红后蓝”和“先蓝后红”两种情况，避免漏算导致概率计算错误。
【难度系数】
0.65
9.【数学应用】某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右。若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为
$\frac{1}{3}$
。答案
9.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 根据大量重复试验中频率稳定值等于概率的原理，可知捕捞到草鱼的概率约为0.5，由此可推出鲤鱼和罗非鱼的总数量占鱼塘总鱼数的比例为$1-0.5=0.5$；2. 已知鲤鱼和罗非鱼的总数量，结合其占比可求出鱼塘总鱼数；3. 最后根据概率公式“某事件概率=该事件对应的数量÷总数量”，计算捞到鲤鱼的概率。
【解析】
设鱼塘中草鱼的数量为$x$条。
∵多次捕捞试验后，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，可得：
$\frac{x}{1600+x+800}=0.5$
解方程：
$x=0.5×(2400+x)$
$x=1200+0.5x$
$0.5x=1200$
$x=2400$
鱼塘总鱼数为：$1600+2400+800=4800$（条）
∴随机捕捞一条鱼，捞到鲤鱼的概率为：
$\frac{1600}{4800}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题是频率与概率实际应用的基础题型，解题核心是利用频率稳定值确定草鱼的占比，进而求出总鱼数，再代入概率公式计算即可，解题时注意计算总数量不要漏加类别。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 根据大量重复试验中频率稳定值等于概率的原理，可知捕捞到草鱼的概率约为0.5，由此可推出鲤鱼和罗非鱼的总数量占鱼塘总鱼数的比例为$1-0.5=0.5$；2. 已知鲤鱼和罗非鱼的总数量，结合其占比可求出鱼塘总鱼数；3. 最后根据概率公式“某事件概率=该事件对应的数量÷总数量”，计算捞到鲤鱼的概率。
【解析】
设鱼塘中草鱼的数量为$x$条。
∵多次捕捞试验后，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，可得：
$\frac{x}{1600+x+800}=0.5$
解方程：
$x=0.5×(2400+x)$
$x=1200+0.5x$
$0.5x=1200$
$x=2400$
鱼塘总鱼数为：$1600+2400+800=4800$（条）
∴随机捕捞一条鱼，捞到鲤鱼的概率为：
$\frac{1600}{4800}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题是频率与概率实际应用的基础题型，解题核心是利用频率稳定值确定草鱼的占比，进而求出总鱼数，再代入概率公式计算即可，解题时注意计算总数量不要漏加类别。
【难度系数】
0.7
10. 在一个不透明的袋中装有三个完全相同的小球,把它们分别标号为－3,m,2。小红和小明进行摸球游戏,小红先从袋中随机摸出一个小球,记下其标号a后放回并摇匀,接着小明从袋中随机摸出一个小球,记下其标号b。
(1)用画树状图或列表的方法表示出这个摸球游戏所有可能出现的结果。
(2)规则规定:若$a+b≥0$,则小红获胜；若$a+b＜0$,则小明获胜。
①当$m=0$时,判断谁获胜的可能性大,并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大,直接写出m的取值范围。
(1)用画树状图或列表的方法表示出这个摸球游戏所有可能出现的结果。
(2)规则规定:若$a+b≥0$,则小红获胜；若$a+b＜0$,则小明获胜。
①当$m=0$时,判断谁获胜的可能性大,并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大,直接写出m的取值范围。
答案
10.解:(1)列表如下：
(2)①小明获胜的可能性大。理由如下：
共有 9 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
当 $m=0$ 时,
$a+b≥0$ 的结果有 $(0,0)(0,2)(2,0)(2,2)$ 4种,
$a+b＜0$ 的结果有 $(-3,-3)(-3,0)(-3,2)(0,-3)(2,-3)$ 5种。
所以小红获胜的概率为$\frac{4}{9}$,小明获胜的概率为$\frac{5}{9}$。
$\because \frac{4}{9}＜\frac{5}{9}$,
$\therefore$小明获胜的可能性大。
②$m≥3$。
| 小红 | 小明 | ||
| $-3$ | $m$ | $2$ | |
| $-3$ | $(-3,-3)$ | $(-3,m)$ | $(-3,2)$ |
| $m$ | $(m,-3)$ | $(m,m)$ | $(m,2)$ |
| $2$ | $(2,-3)$ | $(2,m)$ | $(2,2)$ |
(2)①小明获胜的可能性大。理由如下：
共有 9 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
当 $m=0$ 时,
$a+b≥0$ 的结果有 $(0,0)(0,2)(2,0)(2,2)$ 4种,
$a+b＜0$ 的结果有 $(-3,-3)(-3,0)(-3,2)(0,-3)(2,-3)$ 5种。
所以小红获胜的概率为$\frac{4}{9}$,小明获胜的概率为$\frac{5}{9}$。
$\because \frac{4}{9}＜\frac{5}{9}$,
$\therefore$小明获胜的可能性大。
②$m≥3$。
解析
【分析】
1. 第一问是放回摸球试验，两次摸球互不影响，各有3种可能结果，我们可以用列表法清晰列出所有等可能的结果，避免遗漏或重复。
2. 第二问①当m=0时，先将m代入所有结果，分别计算每组(a,b)的和，统计符合小红、小明获胜条件的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”分别计算两人获胜的概率，比较概率大小即可判断谁的获胜可能性大。
3. 第二问②要让小红获胜可能性更大，即小红获胜的概率大于小明的，总共有9种等可能结果，因此符合$a+b≥0$的结果数要多于符合$a+b＜0$的结果数，结合固定的和为负数的结果，推导得出m的取值范围即可。
【解析】
(1) 列表表示所有可能出现的结果如下：
| 小红\小明 | $-3$ | $m$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-3$ | $(-3,-3)$ | $(-3,m)$ | $(-3,2)$ |
| $m$ | $(m,-3)$ | $(m,m)$ | $(m,2)$ |
| $2$ | $(2,-3)$ | $(2,m)$ | $(2,2)$ |
共有9种等可能的结果。
(2) ①小明获胜的可能性大，理由如下：
当$m=0$时，所有9种结果为$(-3,-3)、(-3,0)、(-3,2)、(0,-3)、(0,0)、(0,2)、(2,-3)、(2,0)、(2,2)$，且每种结果出现的可能性相同。
其中满足$a+b≥0$的结果有$(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)$，共4种；满足$a+b＜0$的结果有$(-3,-3)、(-3,0)、(-3,2)、(0,-3)、(2,-3)$，共5种。
因此小红获胜的概率为$\frac{4}{9}$，小明获胜的概率为$\frac{5}{9}$。
$\because \frac{4}{9}＜\frac{5}{9}$，$\therefore$小明获胜的可能性大。
②总共有9种等可能结果，要使小红获胜的可能性比小明大，即满足$a+b≥0$的结果数多于满足$a+b＜0$的结果数。其中$(-3,-3)、(-3,2)、(2,-3)$这3组的和固定小于0，因此剩余6组中至少需要有5组的和大于等于0，即$-3+m≥0$，解得$m≥3$。
【答案】
(1) 所有可能结果见上述列表；
(2) ①小明获胜的可能性大；②$m≥3$
【知识点】
列表法求概率，概率计算，不等式应用
【点评】
本题以摸球游戏为背景，结合了概率计算与不等式推导，既考查了学生列举所有等可能事件结果的基础能力，也要求学生能将概率大小的条件转化为不等式求解，具有一定的综合性。
【难度系数】
0.6
1. 第一问是放回摸球试验，两次摸球互不影响，各有3种可能结果，我们可以用列表法清晰列出所有等可能的结果，避免遗漏或重复。
2. 第二问①当m=0时，先将m代入所有结果，分别计算每组(a,b)的和，统计符合小红、小明获胜条件的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”分别计算两人获胜的概率，比较概率大小即可判断谁的获胜可能性大。
3. 第二问②要让小红获胜可能性更大，即小红获胜的概率大于小明的，总共有9种等可能结果，因此符合$a+b≥0$的结果数要多于符合$a+b＜0$的结果数，结合固定的和为负数的结果，推导得出m的取值范围即可。
【解析】
(1) 列表表示所有可能出现的结果如下：
| 小红\小明 | $-3$ | $m$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-3$ | $(-3,-3)$ | $(-3,m)$ | $(-3,2)$ |
| $m$ | $(m,-3)$ | $(m,m)$ | $(m,2)$ |
| $2$ | $(2,-3)$ | $(2,m)$ | $(2,2)$ |
共有9种等可能的结果。
(2) ①小明获胜的可能性大，理由如下：
当$m=0$时，所有9种结果为$(-3,-3)、(-3,0)、(-3,2)、(0,-3)、(0,0)、(0,2)、(2,-3)、(2,0)、(2,2)$，且每种结果出现的可能性相同。
其中满足$a+b≥0$的结果有$(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)$，共4种；满足$a+b＜0$的结果有$(-3,-3)、(-3,0)、(-3,2)、(0,-3)、(2,-3)$，共5种。
因此小红获胜的概率为$\frac{4}{9}$，小明获胜的概率为$\frac{5}{9}$。
$\because \frac{4}{9}＜\frac{5}{9}$，$\therefore$小明获胜的可能性大。
②总共有9种等可能结果，要使小红获胜的可能性比小明大，即满足$a+b≥0$的结果数多于满足$a+b＜0$的结果数。其中$(-3,-3)、(-3,2)、(2,-3)$这3组的和固定小于0，因此剩余6组中至少需要有5组的和大于等于0，即$-3+m≥0$，解得$m≥3$。
【答案】
(1) 所有可能结果见上述列表；
(2) ①小明获胜的可能性大；②$m≥3$
【知识点】
列表法求概率，概率计算，不等式应用
【点评】
本题以摸球游戏为背景，结合了概率计算与不等式推导，既考查了学生列举所有等可能事件结果的基础能力，也要求学生能将概率大小的条件转化为不等式求解，具有一定的综合性。
【难度系数】
0.6
