登录
1. 甲、乙两人做游戏，同时掷两枚相同的硬币，双方约定：同面朝上则甲胜，异面朝上则乙胜。这个游戏(
A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法判断
A
)。A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法判断
答案
1.A
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等：首先列举出同时掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别统计甲胜、乙胜对应的结果数，根据概率公式计算两者的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
同时抛掷两枚相同的硬币，所有等可能的结果共有4种：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中同面朝上的结果有2种：（正，正）、（反，反），因此甲获胜的概率为：
$P(甲胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
异面朝上的结果有2种：（正，反）、（反，正），因此乙获胜的概率为：
$P(乙胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
由于$P(甲胜)=P(乙胜)$，因此这个游戏对双方公平。
【答案】
A
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率在实际游戏场景中的应用，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能事件，准确计算双方获胜的概率，掌握基础的概率计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
要判断游戏是否公平，核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等：首先列举出同时掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别统计甲胜、乙胜对应的结果数，根据概率公式计算两者的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
同时抛掷两枚相同的硬币，所有等可能的结果共有4种：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中同面朝上的结果有2种：（正，正）、（反，反），因此甲获胜的概率为：
$P(甲胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
异面朝上的结果有2种：（正，反）、（反，正），因此乙获胜的概率为：
$P(乙胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
由于$P(甲胜)=P(乙胜)$，因此这个游戏对双方公平。
【答案】
A
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率在实际游戏场景中的应用，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能事件，准确计算双方获胜的概率，掌握基础的概率计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
2. 为培养学生的爱国主义情怀，某校决定从“八路军太行纪念馆”“平型关大捷纪念馆”“百团大战纪念馆”“晋绥边区革命纪念馆”四处红色基地中随机选取两处组织研学活动，则恰好选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A
）。A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确所有选法的可能性是相等的，第一步先计算从4个红色基地中任选2处的总情况数，可通过列举法避免重复和遗漏；第二步计算恰好选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”的符合条件的情况数；最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算结果即可。
【解析】
我们将四处红色基地分别记为：A=八路军太行纪念馆，B=平型关大捷纪念馆，C=百团大战纪念馆，D=晋绥边区革命纪念馆。
从4处基地中随机选2处，所有等可能的选取结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中恰好选中A和B的结果只有1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法计数
3. 随机事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，注意选取时不考虑顺序，避免重复计数。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确所有选法的可能性是相等的，第一步先计算从4个红色基地中任选2处的总情况数，可通过列举法避免重复和遗漏；第二步计算恰好选中“八路军太行纪念馆”和“平型关大捷纪念馆”的符合条件的情况数；最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算结果即可。
【解析】
我们将四处红色基地分别记为：A=八路军太行纪念馆，B=平型关大捷纪念馆，C=百团大战纪念馆，D=晋绥边区革命纪念馆。
从4处基地中随机选2处，所有等可能的选取结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中恰好选中A和B的结果只有1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法计数
3. 随机事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，注意选取时不考虑顺序，避免重复计数。
【难度系数】
0.7
3.【数学应用】山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况如图所示，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率为（
A.1
B.0.95
C.0.9
D.0.85
C
）。A.1
B.0.95
C.0.9
D.0.85
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆频率估计概率的相关原理：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会逐渐稳定在一个固定常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。解题时先观察折线图的变化趋势，找到试验次数足够大时发芽频率的稳定值，即可得到发芽概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率稳定值近似等于其概率。
观察折线图可知：随着试验种子粒数的增加，发芽频率先出现波动，当种子粒数达到1000、1200（试验次数足够大）时，发芽频率稳定在0.9附近，因此估计该高粱种子的发芽概率为0.9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率；折线统计图认读
【点评】
本题是概率的实际应用类基础题，解题核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”，需注意不能选取试验次数较少时的频率作为概率估计值，能正确判断折线图的频率变化趋势即可解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆频率估计概率的相关原理：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会逐渐稳定在一个固定常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。解题时先观察折线图的变化趋势，找到试验次数足够大时发芽频率的稳定值，即可得到发芽概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率稳定值近似等于其概率。
观察折线图可知：随着试验种子粒数的增加，发芽频率先出现波动，当种子粒数达到1000、1200（试验次数足够大）时，发芽频率稳定在0.9附近，因此估计该高粱种子的发芽概率为0.9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率；折线统计图认读
【点评】
本题是概率的实际应用类基础题，解题核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”，需注意不能选取试验次数较少时的频率作为概率估计值，能正确判断折线图的频率变化趋势即可解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，小丽在操场上做游戏，她在沙滩上画了一个面积为400 cm²的矩形，并在矩形的四个角上画上面积不等的图形，从不远处的固定位置向矩形内部投掷石子（假设石子落在矩形内各点的概率相同），石子落在空白部分的频率如下表所示（石子未落在矩形外面和各区域边缘），由此估计空白部分的面积为（
A.240 cm²
B.248 cm²
C.272 cm²
D.256 cm²
D
）。A.240 cm²
B.248 cm²
C.272 cm²
D.256 cm²
答案
4.D
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的概率应用题，解题思路可分为三步：第一步，明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，因此可以用频率来估计概率；第二步，回忆几何概率的计算规则：某区域的概率等于该区域面积与总区域面积的比值；第三步，利用“空白部分面积=矩形总面积×空白区域的概率”即可估算出空白部分的面积。
【解析】
当投掷石子的试验次数足够多时，石子落在空白部分的频率会稳定在其概率附近，根据表格数据可得，石子落在空白部分的频率稳定在0.64左右，因此可估计石子落在空白部分的概率为0.64。
已知矩形的总面积为$400\ \mathrm{cm}^2$，根据几何概率的计算公式：
$P(\mathrm{落在空白区域})=\frac{\mathrm{空白区域面积}}{\mathrm{矩形总面积}}$
因此空白部分的面积约为：$400×0.64=256\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
1.用频率估计概率 2.几何概率计算
【点评】
本题将概率知识和生活实际结合，重点考查对频率与概率关系的理解，以及几何概率公式的应用，难度较低，掌握基础概率知识即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的概率应用题，解题思路可分为三步：第一步，明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，因此可以用频率来估计概率；第二步，回忆几何概率的计算规则：某区域的概率等于该区域面积与总区域面积的比值；第三步，利用“空白部分面积=矩形总面积×空白区域的概率”即可估算出空白部分的面积。
【解析】
当投掷石子的试验次数足够多时，石子落在空白部分的频率会稳定在其概率附近，根据表格数据可得，石子落在空白部分的频率稳定在0.64左右，因此可估计石子落在空白部分的概率为0.64。
已知矩形的总面积为$400\ \mathrm{cm}^2$，根据几何概率的计算公式：
$P(\mathrm{落在空白区域})=\frac{\mathrm{空白区域面积}}{\mathrm{矩形总面积}}$
因此空白部分的面积约为：$400×0.64=256\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
1.用频率估计概率 2.几何概率计算
【点评】
本题将概率知识和生活实际结合，重点考查对频率与概率关系的理解，以及几何概率公式的应用，难度较低，掌握基础概率知识即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 在一个不透明的袋中装有4个除颜色外均相同的小球，其中1个是红球，3个是白球。
(1)从袋中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为
(2)从袋中任意拿出一个球，记下颜色后不放回，再从袋中任意拿出一个球，求两个球恰好都是白球的概率；
(3)在袋中加入$a$个红球，摇匀后，随机摸出一个球，若摸到红球的概率为$\frac{2}{3}$，求$a$的值。
(1)从袋中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为
$\frac{1}{4}$
；(2)从袋中任意拿出一个球，记下颜色后不放回，再从袋中任意拿出一个球，求两个球恰好都是白球的概率；
(3)在袋中加入$a$个红球，摇匀后，随机摸出一个球，若摸到红球的概率为$\frac{2}{3}$，求$a$的值。
答案
5.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:列表如下。
共有 12 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
两个球都是白色的结果有 6 种,
所以两个球都是白色的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(3)解:根据题意得$\frac{1+a}{4+a}=\frac{2}{3}$,
解得 $a=5$。
经检验,$a=5$ 是原方程的根。
故 $a$ 的值为 5。
(2)解:列表如下。
| 第一次 | 第二次 | |||
| 红 | 白 | 白 | 白 | |
| 红 | (红,白) | (红,白) | (红,白) | |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | |
共有 12 种结果,且每种结果出现的可能性相同。
两个球都是白色的结果有 6 种,
所以两个球都是白色的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(3)解:根据题意得$\frac{1+a}{4+a}=\frac{2}{3}$,
解得 $a=5$。
经检验,$a=5$ 是原方程的根。
故 $a$ 的值为 5。
解析
【分析】
（1）第一问是基础古典概型问题，解题时先明确所有等可能的总结果数，以及摸到红球的符合条件的结果数，直接代入概率公式计算即可。
（2）第二问是不放回的两步随机试验求概率，解题时用列表法（或树状图法）不重不漏地列举所有等可能结果，再从中筛选出两个球都是白球的结果数，代入概率公式计算即可，注意不放回试验中第一次摸走的球第二次不会重复出现。
（3）第三问是概率的逆向应用，先表示出加入a个红球后红球总数和球的总个数，再根据给定的摸到红球的概率列出分式方程，解方程后注意检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 袋中共有4个除颜色外均相同的小球，即总共有4种等可能的结果，其中红球有1种符合条件的结果，故拿出红球的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白 | 白 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | / | (红,白) | (红,白) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | / | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | / | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | / |
由表可得，共有12种等可能的结果，其中两个球恰好都是白球的结果有6种，
因此$P(\mathrm{两个球都是白球})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(3) 加入$a$个红球后，袋中红球总个数为$1+a$，球的总个数为$4+a$，根据题意列方程：
$\frac{1+a}{4+a}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得$3(1+a)=2(4+a)$，
去括号得$3+3a=8+2a$，
移项解得$a=5$，
经检验，$a=5$是原方程的根，且符合实际意义。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{2}$；(3)$a=5$
【知识点】
古典概型概率计算，列表法求概率，分式方程应用
【点评】
本题难度梯度合理，从基础概率计算到不放回试验概率求解，再到结合方程的逆向应用，全面考查了概率的核心基础知识点，解题时要注意区分放回和不放回试验的差异，求解分式方程后不要忘记检验根的合理性。
【难度系数】
0.8
（1）第一问是基础古典概型问题，解题时先明确所有等可能的总结果数，以及摸到红球的符合条件的结果数，直接代入概率公式计算即可。
（2）第二问是不放回的两步随机试验求概率，解题时用列表法（或树状图法）不重不漏地列举所有等可能结果，再从中筛选出两个球都是白球的结果数，代入概率公式计算即可，注意不放回试验中第一次摸走的球第二次不会重复出现。
（3）第三问是概率的逆向应用，先表示出加入a个红球后红球总数和球的总个数，再根据给定的摸到红球的概率列出分式方程，解方程后注意检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 袋中共有4个除颜色外均相同的小球，即总共有4种等可能的结果，其中红球有1种符合条件的结果，故拿出红球的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白 | 白 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | / | (红,白) | (红,白) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | / | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | / | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | / |
由表可得，共有12种等可能的结果，其中两个球恰好都是白球的结果有6种，
因此$P(\mathrm{两个球都是白球})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(3) 加入$a$个红球后，袋中红球总个数为$1+a$，球的总个数为$4+a$，根据题意列方程：
$\frac{1+a}{4+a}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得$3(1+a)=2(4+a)$，
去括号得$3+3a=8+2a$，
移项解得$a=5$，
经检验，$a=5$是原方程的根，且符合实际意义。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{2}$；(3)$a=5$
【知识点】
古典概型概率计算，列表法求概率，分式方程应用
【点评】
本题难度梯度合理，从基础概率计算到不放回试验概率求解，再到结合方程的逆向应用，全面考查了概率的核心基础知识点，解题时要注意区分放回和不放回试验的差异，求解分式方程后不要忘记检验根的合理性。
【难度系数】
0.8
