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9. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程为 （
A.$4(x-1)=2x+8$
B.$4(x+1)=2x-8$
C.$\frac{x}{4}+1=\frac{x+8}{2}$
D.$\frac{x}{4}+1=\frac{x-8}{2}$
A
）A.$4(x-1)=2x+8$
B.$4(x+1)=2x-8$
C.$\frac{x}{4}+1=\frac{x+8}{2}$
D.$\frac{x}{4}+1=\frac{x-8}{2}$
答案
9.A
解析
【分析】
本题是一元一次方程实际应用问题，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中总人数始终不变，我们只需结合两种乘车方案，分别用含车辆数x的代数式表示出总人数，令两个表示总人数的式子相等即可列出方程。思考步骤：第一步，分析第一种乘车方案：每4人乘一车剩1辆车，说明实际参与载人的车辆数比总车数少1，即(x-1)辆，总人数为每车人数乘实际载人车辆数；第二步，分析第二种乘车方案：每2人乘一车剩8人步行，说明总人数等于x辆车坐满的人数加步行的8人；第三步，令两个总人数的表达式相等，对比选项即可得到答案。
【解析】
已知设有x辆车，总人数为固定值：
1. 第一种乘车方案：剩余1辆车，实际载人的车辆数为(x-1)辆，每车坐4人，因此总人数可表示为$\boldsymbol{4(x-1)}$；
2. 第二种乘车方案：每车坐2人，x辆车共可坐$2x$人，剩余8人步行，因此总人数可表示为$\boldsymbol{2x+8}$；
由于总人数不变，因此可列方程：$4(x-1)=2x+8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系识别；列代数式
【点评】
本题取材于《孙子算经》的经典数学问题，兼具趣味性与知识性，解题的关键是挖掘出总人数不变这一隐含等量关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程实际应用问题，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中总人数始终不变，我们只需结合两种乘车方案，分别用含车辆数x的代数式表示出总人数，令两个表示总人数的式子相等即可列出方程。思考步骤：第一步，分析第一种乘车方案：每4人乘一车剩1辆车，说明实际参与载人的车辆数比总车数少1，即(x-1)辆，总人数为每车人数乘实际载人车辆数；第二步，分析第二种乘车方案：每2人乘一车剩8人步行，说明总人数等于x辆车坐满的人数加步行的8人；第三步，令两个总人数的表达式相等，对比选项即可得到答案。
【解析】
已知设有x辆车，总人数为固定值：
1. 第一种乘车方案：剩余1辆车，实际载人的车辆数为(x-1)辆，每车坐4人，因此总人数可表示为$\boldsymbol{4(x-1)}$；
2. 第二种乘车方案：每车坐2人，x辆车共可坐$2x$人，剩余8人步行，因此总人数可表示为$\boldsymbol{2x+8}$；
由于总人数不变，因此可列方程：$4(x-1)=2x+8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系识别；列代数式
【点评】
本题取材于《孙子算经》的经典数学问题，兼具趣味性与知识性，解题的关键是挖掘出总人数不变这一隐含等量关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
10.一项工作，甲单独做需12天完成，乙单独做需15天完成。若两人合作几天后，余下的工作再由甲单独做3天完成，则甲、乙两人合作了
5
天。答案
10.5
解析
【分析】
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，工程问题默认把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别计算甲、乙的工作效率；第二步，梳理等量关系：甲乙合作完成的工作量 + 甲单独做3天的工作量 = 总工作量1；第三步，设合作天数为未知数，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：将这项工作的总工作量记为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{15}$。
设甲、乙两人合作了$x$天，根据题意列方程：
$(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})x + \frac{1}{12}×3 = 1$
化简计算：
先通分算合作效率：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{5+4}{60}=\frac{3}{20}$，甲单独3天的工作量：$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$
方程变为：$\frac{3}{20}x + \frac{1}{4} = 1$
移项得：$\frac{3}{20}x = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
解得：$x = \frac{3}{4}÷\frac{3}{20}=5$
【答案】
5
【知识点】
工程问题解法、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，核心是掌握将总工作量设为单位“1”的技巧，准确拆分各段工作量，找到等量关系列方程即可求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，工程问题默认把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别计算甲、乙的工作效率；第二步，梳理等量关系：甲乙合作完成的工作量 + 甲单独做3天的工作量 = 总工作量1；第三步，设合作天数为未知数，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：将这项工作的总工作量记为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{15}$。
设甲、乙两人合作了$x$天，根据题意列方程：
$(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})x + \frac{1}{12}×3 = 1$
化简计算：
先通分算合作效率：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{5+4}{60}=\frac{3}{20}$，甲单独3天的工作量：$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$
方程变为：$\frac{3}{20}x + \frac{1}{4} = 1$
移项得：$\frac{3}{20}x = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
解得：$x = \frac{3}{4}÷\frac{3}{20}=5$
【答案】
5
【知识点】
工程问题解法、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，核心是掌握将总工作量设为单位“1”的技巧，准确拆分各段工作量，找到等量关系列方程即可求解。
【难度系数】
0.7
11.某水产批发市场购进鲫鱼和鲢鱼共1 000千克，这两种鱼的进价、售价如下表：
(1)若购进这两种鱼共花费8 400元，求购进鲫鱼多少千克.
(2)该水产批发市场为庆祝元旦进行大促销活动，决定对鲢鱼打折销售，要求全部售完后，鲢鱼的利润率为10%，请问鲢鱼需要打几折？
(1)若购进这两种鱼共花费8 400元，求购进鲫鱼多少千克.
(2)该水产批发市场为庆祝元旦进行大促销活动，决定对鲢鱼打折销售，要求全部售完后，鲢鱼的利润率为10%，请问鲢鱼需要打几折？
答案
11.解:(1)设购进鲫鱼$x$千克,则购进鲢鱼$(1\ 000-x)$千克.
由题意,得$9x+8(1\ 000-x)=8\ 400$,解得$x=400$.答:购进鲫鱼400千克.
(2)由(1)知,购进鲢鱼$1\ 000-400=600$(千克).设鲢鱼需要打$m$折.由题意,得
$\dfrac{600×(10×\dfrac{m}{10}-8)}{600×8}×100\%=10\%$,解得$m=8.8$.答:鲢鱼需要打八八折.
由题意,得$9x+8(1\ 000-x)=8\ 400$,解得$x=400$.答:购进鲫鱼400千克.
(2)由(1)知,购进鲢鱼$1\ 000-400=600$(千克).设鲢鱼需要打$m$折.由题意,得
$\dfrac{600×(10×\dfrac{m}{10}-8)}{600×8}×100\%=10\%$,解得$m=8.8$.答:鲢鱼需要打八八折.
解析
【分析】
(1) 已知两种鱼总重量为1000千克，若设购进鲫鱼的重量为未知数，即可表示出鲢鱼的重量，再根据“鲫鱼总进价+鲢鱼总进价=总花费8400元”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到鲫鱼的重量。
(2) 先根据第一问的结果计算出鲢鱼的重量，再结合利润率公式：$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本}}×100\%$，明确打$m$折时鲢鱼的实际售价为原售价乘$\frac{m}{10}$，根据“鲢鱼利润率为10%”的条件列方程求解即可得到折扣。
【解析】
(1) 设购进鲫鱼$x$千克，则购进鲢鱼$(1000-x)$千克。
由题意列方程：
$9x+8(1000-x)=8400$
去括号得：$9x+8000-8x=8400$
合并同类项得：$x+8000=8400$
解得：$x=400$
(2) 由(1)可知购进鲢鱼的重量为：$1000-400=600$（千克）
设鲢鱼需要打$m$折，由题意列方程：
$\dfrac{600×(10×\dfrac{m}{10}-8)}{600×8}×100\%=10\%$
约分化简得：$\dfrac{m-8}{8}=0.1$
解得：$m=8.8$
【答案】
(1) 购进鲫鱼400千克；
(2) 鲢鱼需要打八八折。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，熟练掌握进价、售价、利润、利润率之间的运算公式即可顺利解答，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知两种鱼总重量为1000千克，若设购进鲫鱼的重量为未知数，即可表示出鲢鱼的重量，再根据“鲫鱼总进价+鲢鱼总进价=总花费8400元”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到鲫鱼的重量。
(2) 先根据第一问的结果计算出鲢鱼的重量，再结合利润率公式：$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本}}×100\%$，明确打$m$折时鲢鱼的实际售价为原售价乘$\frac{m}{10}$，根据“鲢鱼利润率为10%”的条件列方程求解即可得到折扣。
【解析】
(1) 设购进鲫鱼$x$千克，则购进鲢鱼$(1000-x)$千克。
由题意列方程：
$9x+8(1000-x)=8400$
去括号得：$9x+8000-8x=8400$
合并同类项得：$x+8000=8400$
解得：$x=400$
(2) 由(1)可知购进鲢鱼的重量为：$1000-400=600$（千克）
设鲢鱼需要打$m$折，由题意列方程：
$\dfrac{600×(10×\dfrac{m}{10}-8)}{600×8}×100\%=10\%$
约分化简得：$\dfrac{m-8}{8}=0.1$
解得：$m=8.8$
【答案】
(1) 购进鲫鱼400千克；
(2) 鲢鱼需要打八八折。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，熟练掌握进价、售价、利润、利润率之间的运算公式即可顺利解答，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. NEW 新考向·综合与实践 我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质.
【问题提出】数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请借助一架天平和若干个10克的砝码测出一个牙杯和一个牙刷的质量.
【实验探究】准备若干个相同的牙杯和若干个相同的牙刷（每个牙杯的质量相同，每个牙刷的质量也相同），设一个牙杯的质量为x克，经过实验，小明将信息记录在下表：
【解决问题】
(1)根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的质量和一个牙刷的质量.
【设计方案】
(2)根据(1)中的结论，若将天平左边放置5个牙杯，则天平右边需放置
【问题提出】数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请借助一架天平和若干个10克的砝码测出一个牙杯和一个牙刷的质量.
【实验探究】准备若干个相同的牙杯和若干个相同的牙刷（每个牙杯的质量相同，每个牙刷的质量也相同），设一个牙杯的质量为x克，经过实验，小明将信息记录在下表：
【解决问题】
(1)根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的质量和一个牙刷的质量.
【设计方案】
(2)根据(1)中的结论，若将天平左边放置5个牙杯，则天平右边需放置
22
个牙刷和5个10克的砝码可使天平平衡.答案
(1) 解：一个牙刷的质量为 $\frac{4x+20}{20}$ 克或 $\frac{3x-10}{14}$ 克，
$\therefore \frac{4x+20}{20}=\frac{3x-10}{14}$，解得 $x=120$. $\therefore$ 一个牙刷的质量为
$\frac{4×120+20}{20}=25$(克). 答：一个牙杯的质量为 120 克，一个
牙刷的质量为 25 克.
(2)22
$\therefore \frac{4x+20}{20}=\frac{3x-10}{14}$，解得 $x=120$. $\therefore$ 一个牙刷的质量为
$\frac{4×120+20}{20}=25$(克). 答：一个牙杯的质量为 120 克，一个
牙刷的质量为 25 克.
(2)22
解析
【分析】
解决第(1)问时，我们抓住“每个牙刷的质量固定不变”这一关键，结合两次天平平衡（左右托盘总质量相等）的实验条件，分别用含牙杯质量x的代数式表示出单个牙刷的质量，两个代数式都表示牙刷质量，因此可列出一元一次方程，求解得到x即牙杯的质量，再代入代数式即可求出牙刷的质量。解决第(2)问时，已知牙杯和牙刷的单个质量，设需要放置的牙刷数量为未知数，再根据天平平衡时左右总质量相等列等式，求解即可得到需要放置的牙刷数量。
【解析】
(1) 设一个牙杯的质量为x克。
根据两次天平平衡的条件，单个牙刷的质量可表示为$\frac{4x+2×10}{20}=\frac{4x+20}{20}$克，也可表示为$\frac{3x-10}{14}$克。
由于单个牙刷质量固定，因此列方程：
$\frac{4x+20}{20}=\frac{3x-10}{14}$
去分母，两边同时乘140得：$7(4x+20)=10(3x-10)$
去括号得：$28x+140=30x-100$
移项、合并同类项得：$-2x=-240$
系数化为1得：$x=120$
将$x=120$代入$\frac{4x+20}{20}$，得单个牙刷质量为$\frac{4×120+20}{20}=25$（克）。
(2) 设天平右边需放置y个牙刷。
天平左边总质量：$5×120=600$（克）
天平右边总质量：$25y + 5×10=25y+50$（克）
根据天平平衡列等式：$25y+50=600$
移项得：$25y=550$
系数化为1得：$y=22$。
【答案】
(1) 一个牙杯的质量为120克，一个牙刷的质量为25克；(2) 22
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等式的基本性质
【点评】
本题结合天平实验的实际情境，考查了一元一次方程在实际问题中的应用，需要学生从实验条件中提取等量关系建立方程，既考查了基础计算能力，也锻炼了数学建模的核心素养，贴合生活实际，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，我们抓住“每个牙刷的质量固定不变”这一关键，结合两次天平平衡（左右托盘总质量相等）的实验条件，分别用含牙杯质量x的代数式表示出单个牙刷的质量，两个代数式都表示牙刷质量，因此可列出一元一次方程，求解得到x即牙杯的质量，再代入代数式即可求出牙刷的质量。解决第(2)问时，已知牙杯和牙刷的单个质量，设需要放置的牙刷数量为未知数，再根据天平平衡时左右总质量相等列等式，求解即可得到需要放置的牙刷数量。
【解析】
(1) 设一个牙杯的质量为x克。
根据两次天平平衡的条件，单个牙刷的质量可表示为$\frac{4x+2×10}{20}=\frac{4x+20}{20}$克，也可表示为$\frac{3x-10}{14}$克。
由于单个牙刷质量固定，因此列方程：
$\frac{4x+20}{20}=\frac{3x-10}{14}$
去分母，两边同时乘140得：$7(4x+20)=10(3x-10)$
去括号得：$28x+140=30x-100$
移项、合并同类项得：$-2x=-240$
系数化为1得：$x=120$
将$x=120$代入$\frac{4x+20}{20}$，得单个牙刷质量为$\frac{4×120+20}{20}=25$（克）。
(2) 设天平右边需放置y个牙刷。
天平左边总质量：$5×120=600$（克）
天平右边总质量：$25y + 5×10=25y+50$（克）
根据天平平衡列等式：$25y+50=600$
移项得：$25y=550$
系数化为1得：$y=22$。
【答案】
(1) 一个牙杯的质量为120克，一个牙刷的质量为25克；(2) 22
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等式的基本性质
【点评】
本题结合天平实验的实际情境，考查了一元一次方程在实际问题中的应用，需要学生从实验条件中提取等量关系建立方程，既考查了基础计算能力，也锻炼了数学建模的核心素养，贴合生活实际，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
