知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
1. 一元二次方程的根与系数的关系:若一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0, b^2 - 4ac ≥ 0) $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_ $，$ x_1 x_2 = \_\_\_\_\_\_ $。
2. 不解方程,由根与系数的关系进行变形应用:
(1) $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $;
(2) $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} $;
(3) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} $;
(4) $ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 $;
(5) $ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} $。

1. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基础识记与推导。解题时可以从已学的一元二次方程求根公式入手：先写出满足判别式非负的一元二次方程的两个实根的表达式，再分别计算两根之和、两根之积，通过代数化简即可得到对应结果；也可直接回忆韦达定理的结论直接作答。
【解析】
已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0, b^2 - 4ac ≥ 0)$，根据求根公式，它的两个实数根为：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})(-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，是根与系数关系的核心基础结论，熟练掌握该结论是后续不解方程直接求与两根相关的代数式值的前提，需准确识记。
【难度系数】
0.9

例 已知一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的两根为$α,β$,求:
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$;(2)$α^2+β^2$;(3)$|α-β|$.
解:$\because \Delta=(-3)^2 -4×1=5＞0$,
$\therefore$ 由根与系数的关系可知$α+β=3$,
$αβ=1$.
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{β+α}{αβ}=\frac{3}{1}=3$;
(2)$α^2+β^2=(α+β)^2 -2αβ=3^2 -2×1=7$;
(3)$|α-β|=\sqrt{(α+β)^2 -4αβ}=\sqrt{3^2 -4×1}=\sqrt{5}$.
方法点拨 根与系数的关系是联系根与系数的桥梁,在具体应用时,要善于将含根的代数式转化为含有两根和$(x_1+x_2)$与两根积$(x_1x_2)$的代数式.应用根与系数的关系时,注意应先判断$\Delta$的符号.

解：
∵ $\Delta=(-3)^2 -4×1=5＞0$，
∴ 由根与系数的关系可知 $α+β=3$，$αβ=1$。
(1) $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{β+α}{αβ}=\frac{3}{1}=3$；
(2) $α^2+β^2=(α+β)^2 -2αβ=3^2 -2×1=7$；
(3) $|α-β|=\sqrt{(α+β)^2 -4αβ}=\sqrt{3^2 -4×1}=\sqrt{5}$。

【分析】
这是一道利用一元二次方程根与系数的关系求代数式值的题目，解题思路如下：①首先计算方程的判别式Δ，确认方程有两个实数根，只有在有实根的前提下才能使用根与系数的关系；②根据根与系数的关系直接写出两根之和α+β、两根之积αβ的值，无需单独求解α和β；③将待求的三个代数式通过通分、完全平方公式变形等方式，转化为仅含α+β和αβ的形式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ $\Delta=(-3)^2 -4×1=5＞0$，
∴ 由根与系数的关系可知 $α+β=3$，$αβ=1$。
(1) $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{β+α}{αβ}=\frac{3}{1}=3$；
(2) $α^2+β^2=(α+β)^2 -2αβ=3^2 -2×1=7$；
(3) $|α-β|=\sqrt{(α+β)^2 -4αβ}=\sqrt{3^2 -4×1}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$3$；(2)$7$；(3)$\sqrt{5}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.根与系数的关系；3.代数式恒等变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心解题技巧是将含两根的代数式转化为两根和、两根积的组合形式，既简化了计算，又避免了直接求解根带来的繁琐运算，同时要牢记应用根与系数关系前需先验证判别式非负，确保方程有实数根。
【难度系数】
0.8