12.【阅读材料】
解方程:$x^4 - x^2 -6=0.$
解:可将方程变形为$(x^2)^2 -x^2 -6=0.$
设$x^2 = y,$
则原方程可化为$y^2 - y -6=0.$ ①
解得$y_1=-2,y_2=3.$
当$y=-2$时,$x^2=-2$,方程无实数根;
当$y=3$时,$x^2=3$,解得$x=\pm\sqrt{3}.$
∴ 原方程的解为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}.$
(1)【解决问题】由方程$x^4 -x^2 -6=0$得到方程①,是利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.
(2)【拓展延伸】利用上面的解题方法,解答下列问题:
①解方程:$(x^2 -x)^2 -4(x^2 -x)-12=0;$
②已知实数$m,n$满足$(m-3n)(m-3n-2)=2m-6n-4$,求$4m-12n-3$的值.

12. (1) 换元 转化
(2) ①令$x^2 -x = y$,则原方程可转化为$y^2-4y-12=0$,
解得$y_1=-2,y_2=6$.
当$y=-2$时,$x^2-x=-2$,即$x^2-x+2=0$,
此方程无实数根；
当$y=6$时,$x^2-x=6$,
解得$x_1=-2,x_2=3$.
∴ 原方程的解为$x_1=-2,x_2=3$.
②设$m-3n=t$,则$(m-3n)(m-3n-2)=2m-6n-4$可转化为$t(t-2)=2t-4$,整理得$t^2-4t+4=0$,即$(t-2)^2=0$,解得$t_1=t_2=2$.
∴ $m-3n=2$.
∴ $4m-12n-3=4(m-3n)-3=4×2-3=5$.

【分析】
(1) 观察阅读材料的解题过程，将四次方程中的$x^2$设为$y$，把陌生的高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，这种方法是换元法，作用是降低方程次数，体现了将未知问题转化为已知问题的转化数学思想。
(2) ① 仿照材料的换元思路，把$x^2-x$看作整体设为$y$，原方程即可转化为关于$y$的一元二次方程，解出$y$后代回$x^2-x=y$求解$x$，同时要验证对应一元二次方程是否有实数根。
② 观察等式特征，$m-3n$是重复出现的整体，且右边$2m-6n$可变形为$2(m-3n)$，因此设$m-3n=t$，将等式转化为关于$t$的一元二次方程，解出$t$后，将所求代数式$4m-12n-3$变形为$4(m-3n)-3$，代入$t$的值即可计算结果。
【解析】
(1) 由材料的变形方法可知，将高次方程转化为一元二次方程使用了换元法降次，体现了转化思想，因此两空依次填换元、转化。
(2) ①令$x^2 -x = y$，则原方程可转化为$y^2-4y-12=0$，
解得$y_1=-2,y_2=6$。
当$y=-2$时，$x^2-x=-2$，即$x^2-x+2=0$，
此方程判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×2=-7＜0$，无实数根；
当$y=6$时，$x^2-x=6$，即$x^2-x-6=0$，
解得$x_1=-2,x_2=3$。
∴ 原方程的解为$x_1=-2,x_2=3$。
②设$m-3n=t$，则$(m-3n)(m-3n-2)=2m-6n-4$可转化为$t(t-2)=2t-4$，整理得$t^2-4t+4=0$，即$(t-2)^2=0$，解得$t_1=t_2=2$。
∴ $m-3n=2$。
∴ $4m-12n-3=4(m-3n)-3=4×2-3=5$。
【答案】
(1) 换元；转化
(2) ① $x_1=-2,x_2=3$；② $5$
【知识点】
换元法、一元二次方程解法、整体代入
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，核心是通过换元法将复杂的高次方程、含重复整体的代数式转化为熟悉的一元二次方程求解，解题关键是准确识别可整体换元的部分，熟练掌握一元二次方程的求解方法。
【难度系数】
0.7