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5. 小慧用因式分解法解一元二次方程$2x(2x-1)=3(2x-1)$时，她的做法如下：
方程两边同时除以$(2x-1)$，得$2x=3$，(第一步)
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$.(第二步)
(1)小慧的解法是不正确的，她从第
(2)请用因式分解法正确解答该题.
方程两边同时除以$(2x-1)$，得$2x=3$，(第一步)
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$.(第二步)
(1)小慧的解法是不正确的，她从第
一
步开始出现错误.(2)请用因式分解法正确解答该题.
答案
5. (1) 一
(2) 分解因式,得$(2x-1)(2x-3)=0$,
于是得$2x-1=0$,或$2x-3=0$,
即$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$.
(2) 分解因式,得$(2x-1)(2x-3)=0$,
于是得$2x-1=0$,或$2x-3=0$,
即$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 判断错误步骤需结合等式的性质：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。小慧第一步直接将方程两边除以$(2x-1)$，未考虑$2x-1$可能等于0的情况，会丢失一个根，因此第一步就出错了。
(2) 用因式分解法解该方程的思路：首先将方程所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(2x-1)$，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原方程的所有解。
【解析】
(1) 由于$2x-1$的值可能为0，直接在方程两边除以该整式不符合等式的性质，会漏掉$2x-1=0$对应的解，因此小慧从第一步开始出现错误。
(2) 正确解答过程：
移项，得$2x(2x-1)-3(2x-1)=0$，
提取公因式分解因式，得$(2x-1)(2x-3)=0$，
于是得$2x-1=0$，或$2x-3=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 一
(2) 方程的解为$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的操作规范，易错点是忽略除数不能为0的要求导致丢根，熟练掌握移项、因式分解、转化为一次方程求解的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 判断错误步骤需结合等式的性质：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。小慧第一步直接将方程两边除以$(2x-1)$，未考虑$2x-1$可能等于0的情况，会丢失一个根，因此第一步就出错了。
(2) 用因式分解法解该方程的思路：首先将方程所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(2x-1)$，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原方程的所有解。
【解析】
(1) 由于$2x-1$的值可能为0，直接在方程两边除以该整式不符合等式的性质，会漏掉$2x-1=0$对应的解，因此小慧从第一步开始出现错误。
(2) 正确解答过程：
移项，得$2x(2x-1)-3(2x-1)=0$，
提取公因式分解因式，得$(2x-1)(2x-3)=0$，
于是得$2x-1=0$，或$2x-3=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 一
(2) 方程的解为$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的操作规范，易错点是忽略除数不能为0的要求导致丢根，熟练掌握移项、因式分解、转化为一次方程求解的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. 在下列各题的横线上填写适当的解法.
(1)解方程$(x-1)^2=9$,用________法较合适.
(2)解方程$x^2+2x-17=0$,用________法较合适.
(3)解方程$x^2-4=x+2$,用________法较合适.
(1)解方程$(x-1)^2=9$,用________法较合适.
(2)解方程$x^2+2x-17=0$,用________法较合适.
(3)解方程$x^2-4=x+2$,用________法较合适.
答案
6. (1) 直接开平方
(2) 配方
(3) 因式分解
(2) 配方
(3) 因式分解
解析
【分析】
首先明确一元二次方程常见解法的适用特征，再结合每个方程的结构特点匹配最合适的解法：①直接开平方法适用于方程可整理为$(ax+b)^2=c(c≥0)$的形式，无需展开即可直接降次求解；②配方法适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，凑完全平方的计算量小；③因式分解法适用于移项后左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程，能快速降次。接下来对应分析三个小题：
(1) 方程左边已经是完全平方式，右边为正的常数，符合直接开平方法的适用条件；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数是偶数，凑完全平方的操作简单，适合用配方法；
(3) 方程左边可利用平方差公式分解，移项后能提取公因式，符合因式分解法的适用条件。
【解析】
(1) 方程$(x-1)^2=9$左边为完全平方式，右边为非负常数，直接开平方可得$x-1=\pm3$，能快速得到方程的解，因此用直接开平方法最合适。
(2) 方程$x^2+2x-17=0$的二次项系数为1，一次项系数为偶数，移项得$x^2+2x=17$，两边加1即可将左边凑为完全平方式$(x+1)^2=18$，计算量小，因此用配方法较合适。
(3) 方程$x^2-4=x+2$移项得$x^2-4-(x+2)=0$，左边$x^2-4$可分解为$(x+2)(x-2)$，提取公因式$(x+2)$后得$(x+2)(x-3)=0$，可直接得到方程的解，因此用因式分解法较合适。
【答案】
(1) 直接开平方
(2) 配方
(3) 因式分解
【知识点】
直接开平方法、配方法、因式分解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程解法的灵活选择，只要熟练掌握各类解法的适用场景，结合方程的结构特征判断，就能快速选出最简便的解法，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
首先明确一元二次方程常见解法的适用特征，再结合每个方程的结构特点匹配最合适的解法：①直接开平方法适用于方程可整理为$(ax+b)^2=c(c≥0)$的形式，无需展开即可直接降次求解；②配方法适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，凑完全平方的计算量小；③因式分解法适用于移项后左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程，能快速降次。接下来对应分析三个小题：
(1) 方程左边已经是完全平方式，右边为正的常数，符合直接开平方法的适用条件；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数是偶数，凑完全平方的操作简单，适合用配方法；
(3) 方程左边可利用平方差公式分解，移项后能提取公因式，符合因式分解法的适用条件。
【解析】
(1) 方程$(x-1)^2=9$左边为完全平方式，右边为非负常数，直接开平方可得$x-1=\pm3$，能快速得到方程的解，因此用直接开平方法最合适。
(2) 方程$x^2+2x-17=0$的二次项系数为1，一次项系数为偶数，移项得$x^2+2x=17$，两边加1即可将左边凑为完全平方式$(x+1)^2=18$，计算量小，因此用配方法较合适。
(3) 方程$x^2-4=x+2$移项得$x^2-4-(x+2)=0$，左边$x^2-4$可分解为$(x+2)(x-2)$，提取公因式$(x+2)$后得$(x+2)(x-3)=0$，可直接得到方程的解，因此用因式分解法较合适。
【答案】
(1) 直接开平方
(2) 配方
(3) 因式分解
【知识点】
直接开平方法、配方法、因式分解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程解法的灵活选择，只要熟练掌握各类解法的适用场景，结合方程的结构特征判断，就能快速选出最简便的解法，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
7. 解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2)$(x - 3)^2 - 4x(3 - x) = 0$；
(3)$2x^2 - 7x - 2 = 0$。
(1)$x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2)$(x - 3)^2 - 4x(3 - x) = 0$；
(3)$2x^2 - 7x - 2 = 0$。
答案
7. (1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$
(3) $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$
(2) $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$
(3) $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程形式灵活选择解法：（1）式为一般形式，一次项系数为偶数，可优先选用配方法，也可直接用公式法求解；（2）式含有相同的因式$(x-3)$，适合用因式分解法，先统一公因式形式再提取求解；（3）式为一般形式，系数无特殊简便特征，选用公式法求解，先确定$a、b、c$的值，计算判别式后代入求根公式即可。
【解析】
(1) 用配方法求解：
移项，得 $x^2 - 2x = 1$，
配方，两边同时加1，得 $x^2 - 2x +1 = 1 +1$，即 $(x-1)^2 = 2$，
开平方，得 $x-1 = \pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$。
(2) 用因式分解法求解：
原方程变形为 $(x-3)^2 + 4x(x-3) = 0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(x-3)(x-3 + 4x) = 0$，即 $(x-3)(5x-3)=0$，
所以 $x-3=0$ 或 $5x-3=0$，
解得 $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$。
(3) 用公式法求解：
这里$a=2,b=-7,c=-2$，
计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×2×(-2) = 49 + 16 = 65＞0$，
代入求根公式 $x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得 $x = \frac{7\pm\sqrt{65}}{4}$，
解得 $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$
(3) $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时要根据方程的结构特点选择最简便的解法，能有效提升解题速度和准确率，熟练掌握各类解法的步骤是求解的关键。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需根据方程形式灵活选择解法：（1）式为一般形式，一次项系数为偶数，可优先选用配方法，也可直接用公式法求解；（2）式含有相同的因式$(x-3)$，适合用因式分解法，先统一公因式形式再提取求解；（3）式为一般形式，系数无特殊简便特征，选用公式法求解，先确定$a、b、c$的值，计算判别式后代入求根公式即可。
【解析】
(1) 用配方法求解：
移项，得 $x^2 - 2x = 1$，
配方，两边同时加1，得 $x^2 - 2x +1 = 1 +1$，即 $(x-1)^2 = 2$，
开平方，得 $x-1 = \pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$。
(2) 用因式分解法求解：
原方程变形为 $(x-3)^2 + 4x(x-3) = 0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(x-3)(x-3 + 4x) = 0$，即 $(x-3)(5x-3)=0$，
所以 $x-3=0$ 或 $5x-3=0$，
解得 $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$。
(3) 用公式法求解：
这里$a=2,b=-7,c=-2$，
计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×2×(-2) = 49 + 16 = 65＞0$，
代入求根公式 $x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得 $x = \frac{7\pm\sqrt{65}}{4}$，
解得 $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$
(3) $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时要根据方程的结构特点选择最简便的解法，能有效提升解题速度和准确率，熟练掌握各类解法的步骤是求解的关键。
【难度系数】
0.8
8. 若实数$k,b$是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根，且$k＜b$，则一次函数$y=kx+b$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. C
解析
【分析】
解题时需分三步思考：第一步，先利用因式分解法求解给出的一元二次方程，得到两个根；第二步，根据k＜b的大小关系，确定k和b的具体取值；第三步，将k、b代入一次函数解析式，结合一次函数的图像性质，判断函数经过的象限，进而得出不经过的象限。
【解析】
1. 解一元二次方程：
已知方程$(x+3)(x-1)=0$，根据因式分解法解方程的规则，令每个因式为0，可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$
2. 确定k、b的值：
因为k、b是方程的两个根，且$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$
3. 分析一次函数图像：
一次函数解析式为$y=-3x+1$
其中斜率$k=-3＜0$，说明函数图像呈下降趋势，经过第二、四象限；
截距$b=1＞0$，说明函数图像与y轴交于正半轴，还会经过第一象限。
综上，该一次函数图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一元二次方程求解与一次函数性质的基础综合题，考察知识点较为常规，只要熟练掌握对应基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时需分三步思考：第一步，先利用因式分解法求解给出的一元二次方程，得到两个根；第二步，根据k＜b的大小关系，确定k和b的具体取值；第三步，将k、b代入一次函数解析式，结合一次函数的图像性质，判断函数经过的象限，进而得出不经过的象限。
【解析】
1. 解一元二次方程：
已知方程$(x+3)(x-1)=0$，根据因式分解法解方程的规则，令每个因式为0，可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$
2. 确定k、b的值：
因为k、b是方程的两个根，且$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$
3. 分析一次函数图像：
一次函数解析式为$y=-3x+1$
其中斜率$k=-3＜0$，说明函数图像呈下降趋势，经过第二、四象限；
截距$b=1＞0$，说明函数图像与y轴交于正半轴，还会经过第一象限。
综上，该一次函数图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一元二次方程求解与一次函数性质的基础综合题，考察知识点较为常规，只要熟练掌握对应基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
9. 若代数式 $ x(x-1) $ 和 $ 3(1-x) $ 的值互为相反数，则 $ x $ 的值为（
A.1或3
B.-1或-3
C.1或-1
D.3或-3
A
）A.1或3
B.-1或-3
C.1或-1
D.3或-3
答案
9. A
解析
【分析】
解题首先要利用“互为相反数的两个数之和为0”的性质，列出关于x的方程；观察方程结构，可通过提取公因式的方法对一元二次方程进行因式分解，进而快速求解得到x的取值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$互为相反数
∴ 两式之和为0，可列方程：
$x(x-1) + 3(1-x) = 0$
对式子变形，将$3(1-x)$改写为$-3(x-1)$，得：
$x(x-1) - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)(x-3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=3$
因此x的值为1或3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握相反数的性质以及因式分解法解一元二次方程的步骤，解题时注意符号变化，避免因变形出错丢分。
【难度系数】
0.8
解题首先要利用“互为相反数的两个数之和为0”的性质，列出关于x的方程；观察方程结构，可通过提取公因式的方法对一元二次方程进行因式分解，进而快速求解得到x的取值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$互为相反数
∴ 两式之和为0，可列方程：
$x(x-1) + 3(1-x) = 0$
对式子变形，将$3(1-x)$改写为$-3(x-1)$，得：
$x(x-1) - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)(x-3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=3$
因此x的值为1或3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握相反数的性质以及因式分解法解一元二次方程的步骤，解题时注意符号变化，避免因变形出错丢分。
【难度系数】
0.8
10. 一个菱形的一条对角线的长为6,另一条对角线的长是方程$x^2 -14x +48=0$的一个根,则这个菱形的边长为
$3\sqrt{2}$或5
.答案
10. $3\sqrt{2}$或5
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先使用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到另一条对角线的两个可能取值；第二步，结合菱形的核心性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，可知两条对角线长度的一半与菱形的边长恰好构成直角三角形，边长为该直角三角形的斜边；第三步，分两种情况分别用勾股定理计算对应的边长即可，注意不要遗漏任意一种解。
【解析】
首先解方程$x^2 -14x +48=0$：
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，即另一条对角线的长为6或8。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半与边长构成直角三角形，边长为斜边：
① 当另一条对角线长为6时，两条对角线的一半分别为$6÷2=3$、$6÷2=3$，
则边长为$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$；
② 当另一条对角线长为8时，两条对角线的一半分别为$6÷2=3$、$8÷2=4$，
则边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
$3\sqrt{2}$或5
【知识点】
1. 菱形的性质
2. 因式分解法解方程
3. 勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程解法与菱形性质的综合应用题，解题时需要注意对一元二次方程的两个根分类讨论，避免漏解，同时要熟练掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先使用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到另一条对角线的两个可能取值；第二步，结合菱形的核心性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，可知两条对角线长度的一半与菱形的边长恰好构成直角三角形，边长为该直角三角形的斜边；第三步，分两种情况分别用勾股定理计算对应的边长即可，注意不要遗漏任意一种解。
【解析】
首先解方程$x^2 -14x +48=0$：
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，即另一条对角线的长为6或8。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半与边长构成直角三角形，边长为斜边：
① 当另一条对角线长为6时，两条对角线的一半分别为$6÷2=3$、$6÷2=3$，
则边长为$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$；
② 当另一条对角线长为8时，两条对角线的一半分别为$6÷2=3$、$8÷2=4$，
则边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
$3\sqrt{2}$或5
【知识点】
1. 菱形的性质
2. 因式分解法解方程
3. 勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程解法与菱形性质的综合应用题，解题时需要注意对一元二次方程的两个根分类讨论，避免漏解，同时要熟练掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
11. 小明在与DeepSeek对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，然后减去它的3倍后再加4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，DeepSeek给出的这个数是
2
。答案
11. 2
解析
【分析】
遇到求未知数字的问题，我们首先可以设这个数为未知数x，再把题目中的文字描述转化为数学等式：先写它的平方为x²，减去它的3倍即减3x，加4后等于这个数也就是等于x，即可列出一元二次方程；再将方程整理为标准形式，观察式子特征用完全平方公式因式分解，即可求出方程的解，得到所求的数。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可列方程：
$x^2 - 3x + 4 = x$
移项，将含$x$的项移到等号左侧，合并同类项得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 2)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 2$
因此这个数是2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题结合趣味情景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解题意提取等量关系列出方程，再熟练运用因式分解的方法求解方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
遇到求未知数字的问题，我们首先可以设这个数为未知数x，再把题目中的文字描述转化为数学等式：先写它的平方为x²，减去它的3倍即减3x，加4后等于这个数也就是等于x，即可列出一元二次方程；再将方程整理为标准形式，观察式子特征用完全平方公式因式分解，即可求出方程的解，得到所求的数。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可列方程：
$x^2 - 3x + 4 = x$
移项，将含$x$的项移到等号左侧，合并同类项得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 2)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 2$
因此这个数是2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题结合趣味情景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解题意提取等量关系列出方程，再熟练运用因式分解的方法求解方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
