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【例2】如图，在$\odot O$中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论不正确的是（
A.$AB⊥ CD$
B.$∠ AOD=∠ BOD$
C.$AD=BD$
D.$PO=PD$
例2图 例3图
D
）A.$AB⊥ CD$
B.$∠ AOD=∠ BOD$
C.$AD=BD$
D.$PO=PD$
例2图 例3图
答案
D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：⊙O中，P是弦AB的中点，CD为过点P的直径，需结合圆的基本性质逐一验证选项。首先回忆垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。据此先判断垂直关系，再根据“同圆中，等弧对应的圆心角相等、对应的弦相等”判断角和边的关系，最后看D选项，题目未给出P是OD中点的相关条件，无法得到该结论。
【解析】
∵ CD是⊙O的直径，P是弦AB的中点，
∴ 根据垂径定理的推论可得：AB⊥CD，故A选项结论正确，不符合题意；
∵ AB⊥CD，CD为直径，
∴ CD平分弧AB，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 同圆中等弧对应的圆心角相等，得$∠AOD=∠BOD$，故B选项结论正确，不符合题意；
同圆中等弧对应的弦相等，得$AD=BD$，故C选项结论正确，不符合题意；
题中仅说明P是AB的中点，未给出P是OD中点的条件，无法推出$PO=PD$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.垂径定理及其推论 2.圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是熟练掌握垂径定理及同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，易错点是忽略题目未给出的隐含条件，误判D选项的正确性。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：⊙O中，P是弦AB的中点，CD为过点P的直径，需结合圆的基本性质逐一验证选项。首先回忆垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。据此先判断垂直关系，再根据“同圆中，等弧对应的圆心角相等、对应的弦相等”判断角和边的关系，最后看D选项，题目未给出P是OD中点的相关条件，无法得到该结论。
【解析】
∵ CD是⊙O的直径，P是弦AB的中点，
∴ 根据垂径定理的推论可得：AB⊥CD，故A选项结论正确，不符合题意；
∵ AB⊥CD，CD为直径，
∴ CD平分弧AB，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 同圆中等弧对应的圆心角相等，得$∠AOD=∠BOD$，故B选项结论正确，不符合题意；
同圆中等弧对应的弦相等，得$AD=BD$，故C选项结论正确，不符合题意；
题中仅说明P是AB的中点，未给出P是OD中点的条件，无法推出$PO=PD$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.垂径定理及其推论 2.圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是熟练掌握垂径定理及同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，易错点是忽略题目未给出的隐含条件，误判D选项的正确性。
【难度系数】
0.8
【例3】如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上两点，若$∠ BDC=50°$，则$∠ ABC$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想圆的相关性质：首先看到AB是圆的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，可连接AC构造直角三角形ACB；其次∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可求得∠BAC的度数；最后在直角三角形ACB中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：连接AC，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BAC=∠ BDC=50°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC+∠ BAC=90°$，
∴$∠ ABC=90°-50°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆性质的基础应用类题目，解题关键是合理构造辅助线，结合圆周角相关性质和直角三角形的性质求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件联想圆的相关性质：首先看到AB是圆的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，可连接AC构造直角三角形ACB；其次∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可求得∠BAC的度数；最后在直角三角形ACB中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：连接AC，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BAC=∠ BDC=50°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC+∠ BAC=90°$，
∴$∠ ABC=90°-50°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆性质的基础应用类题目，解题关键是合理构造辅助线，结合圆周角相关性质和直角三角形的性质求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
【例4】如图，一张直径为20 cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的$\overset{\frown}{AC}$的长度为 （
A.10π cm
B.15π cm
C.20π cm
D.5π cm
D
）A.10π cm
B.15π cm
C.20π cm
D.5π cm
答案
D
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AC}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径），因此解题分为三步：第一步先根据圆的直径求出半径；第二步利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角；第三步将数值代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求圆的半径：已知圆的直径为20 cm，因此半径$r=20÷2=10$ cm。
2. 求$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，图中$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ABC=45°$，因此对应的圆心角$n=2×45°=90°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×10}{180}=5π$ cm。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算公式、圆周角定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是熟练掌握弧长公式和圆周角定理，只要准确找到弧对应的圆心角和圆的半径，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算弧$\overset{\frown}{AC}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径），因此解题分为三步：第一步先根据圆的直径求出半径；第二步利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角；第三步将数值代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求圆的半径：已知圆的直径为20 cm，因此半径$r=20÷2=10$ cm。
2. 求$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，图中$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ABC=45°$，因此对应的圆心角$n=2×45°=90°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×10}{180}=5π$ cm。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算公式、圆周角定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是熟练掌握弧长公式和圆周角定理，只要准确找到弧对应的圆心角和圆的半径，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【例5】如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积(接缝忽略不计)是 (
A.$27π\ \mathrm{cm}^2$
B.$30π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{81}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
D.$54π\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$27π\ \mathrm{cm}^2$
B.$30π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{81}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
D.$54π\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
要计算蛋筒包装纸的面积，首先明确蛋筒为圆锥形，包装纸面积就是圆锥的侧面积。解题思路如下：第一步，回忆圆锥侧面积计算公式：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥母线长；第二步，从题图中提取已知量：底面直径为6cm，母线长为9cm，先由直径求出底面半径；第三步，将半径和母线长代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题图可知，圆锥形蛋筒的底面直径$d=6\mathrm{cm}$，母线长$l=9\mathrm{cm}$。
首先计算底面半径：$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入数值计算：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×9=27π\ \mathrm{cm}^2$。
因此蛋筒包装纸的面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的关系
【点评】
本题侧重考查公式的实际应用，解题核心是明确所求面积对应圆锥的侧面积，准确提取图形中的已知条件，熟记圆锥侧面积公式即可快速解题，易错点是混淆底面直径和半径，或者记错侧面积公式。
【难度系数】
0.7
要计算蛋筒包装纸的面积，首先明确蛋筒为圆锥形，包装纸面积就是圆锥的侧面积。解题思路如下：第一步，回忆圆锥侧面积计算公式：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥母线长；第二步，从题图中提取已知量：底面直径为6cm，母线长为9cm，先由直径求出底面半径；第三步，将半径和母线长代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题图可知，圆锥形蛋筒的底面直径$d=6\mathrm{cm}$，母线长$l=9\mathrm{cm}$。
首先计算底面半径：$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入数值计算：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×9=27π\ \mathrm{cm}^2$。
因此蛋筒包装纸的面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的关系
【点评】
本题侧重考查公式的实际应用，解题核心是明确所求面积对应圆锥的侧面积，准确提取图形中的已知条件，熟记圆锥侧面积公式即可快速解题，易错点是混淆底面直径和半径，或者记错侧面积公式。
【难度系数】
0.7
【例】如图，在$\odot O$中，若$∠ BAC = 30°$，$∠ ACO = 20°$，则$∠ ACB$的度数为（
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$50°$
A
）A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$50°$
答案
A
解析
【分析】
解题时结合圆的基本性质和三角形性质推导：首先利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合圆周角定理完成圆心角和圆周角的转化，逐步推导待求角的度数：1. 连接OA、OB，由OA=OC得等腰△OAC，求出∠OAC，进而得到∠OAB的度数；2. 由OA=OB得等腰△OAB，得到∠OBA的度数；3. 根据圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC，结合OB=OC判断△OBC为等边三角形，得到∠OCB的度数；4. 用∠OCB减去∠ACO即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ OA、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠ACO=20°，
∴ ∠OAB=∠BAC - ∠OAC=30°-20°=10°。
又
∵ OA=OB，
∴ ∠OBA=∠OAB=10°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BC所对的圆周角为∠BAC，
∴ ∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°。
∵ OB=OC，∠BOC=60°，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠OCB=60°，
∴ ∠ACB=∠OCB - ∠ACO=60°-20°=40°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合应用题，解题核心是合理添加辅助线构造等腰三角形，熟练掌握圆周角定理实现圆心角和圆周角的角度转化。
【难度系数】
0.7
解题时结合圆的基本性质和三角形性质推导：首先利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合圆周角定理完成圆心角和圆周角的转化，逐步推导待求角的度数：1. 连接OA、OB，由OA=OC得等腰△OAC，求出∠OAC，进而得到∠OAB的度数；2. 由OA=OB得等腰△OAB，得到∠OBA的度数；3. 根据圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC，结合OB=OC判断△OBC为等边三角形，得到∠OCB的度数；4. 用∠OCB减去∠ACO即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ OA、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠ACO=20°，
∴ ∠OAB=∠BAC - ∠OAC=30°-20°=10°。
又
∵ OA=OB，
∴ ∠OBA=∠OAB=10°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BC所对的圆周角为∠BAC，
∴ ∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°。
∵ OB=OC，∠BOC=60°，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠OCB=60°，
∴ ∠ACB=∠OCB - ∠ACO=60°-20°=40°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合应用题，解题核心是合理添加辅助线构造等腰三角形，熟练掌握圆周角定理实现圆心角和圆周角的角度转化。
【难度系数】
0.7
