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8.学习了有理数的运算后,薛老师给同学们出了这样一道题.
计算 $71\dfrac{15}{16} × (-8)$,看谁算得又对又快.
下面是前两名同学给出的解法:
小强:原式 $=-\dfrac{1151}{16} × 8 = -\dfrac{9208}{16} = -575\dfrac{1}{2}$.
小莉:原式 $=(71 + \dfrac{15}{16}) × (-8) = 71 × (-8) + \dfrac{15}{16} × (-8) = -575\dfrac{1}{2}$.
(1)对于以上两种解法,你认为谁的解法最好?理由是什么?对你有何启发?
(2)此题还有其他解法吗?如果有,用
另外的方法把它解出来.
计算 $71\dfrac{15}{16} × (-8)$,看谁算得又对又快.
下面是前两名同学给出的解法:
小强:原式 $=-\dfrac{1151}{16} × 8 = -\dfrac{9208}{16} = -575\dfrac{1}{2}$.
小莉:原式 $=(71 + \dfrac{15}{16}) × (-8) = 71 × (-8) + \dfrac{15}{16} × (-8) = -575\dfrac{1}{2}$.
(1)对于以上两种解法,你认为谁的解法最好?理由是什么?对你有何启发?
(2)此题还有其他解法吗?如果有,用
另外的方法把它解出来.
答案
8. (1) 小莉的解法最好,理由是运用了分配律简化了计算,启发是复杂的计算可联想使用分配律.
(2) 原式 $= (72 - \dfrac{1}{16}) × (- 8) = 72 × (- 8) + \dfrac{1}{16} × 8 = - 576 + \dfrac{1}{2} = - 575\dfrac{1}{2}$.
(2) 原式 $= (72 - \dfrac{1}{16}) × (- 8) = 72 × (- 8) + \dfrac{1}{16} × 8 = - 576 + \dfrac{1}{2} = - 575\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 对比两种解法：小强的解法是先把带分数化为假分数再计算，涉及的数字较大，运算过程容易出错；小莉的解法是将带分数拆成整数与真分数的和，再利用乘法分配律展开计算，大幅降低了运算量，不容易出错。遇到带分数乘整数的计算时，可优先考虑拆分带分数结合运算律简化计算，无需直接转化为假分数计算。
(2) 观察带分数$71\dfrac{15}{16}$，发现它与整数72仅相差$\dfrac{1}{16}$，因此可把带分数改写为$72-\dfrac{1}{16}$，再利用乘法分配律展开计算，运算会更简便。
【解析】
(1) 小莉的解法更好：小莉利用乘法分配律，将带分数拆成整数加真分数的形式，分别与-8相乘，避免了处理大数的乘除运算，简化了计算过程，降低了出错概率。由此得到启发：进行有理数运算时，可先观察算式特点，合理运用运算律简化复杂计算。
(2) 存在其他解法，计算过程如下：
将$71\dfrac{15}{16}$改写为$72-\dfrac{1}{16}$，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(72-\dfrac{1}{16})×(-8)\\&=72×(-8) + (-\dfrac{1}{16})×(-8)\\&=-576+\dfrac{1}{2}\\&=-575\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小莉的解法最好,理由是运用了分配律简化了计算,启发是复杂的计算可联想使用分配律。
(2) 原式 $= (72 - \dfrac{1}{16}) × (- 8) = 72 × (- 8) + \dfrac{1}{16} × 8 = - 576 + \dfrac{1}{2} = - 575\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是运算律简化计算的典型应用，核心是通过合理拆分带分数，结合乘法分配律降低计算量，避免大数运算出错，能有效提升学生的简便运算意识。
【难度系数】
0.8
(1) 对比两种解法：小强的解法是先把带分数化为假分数再计算，涉及的数字较大，运算过程容易出错；小莉的解法是将带分数拆成整数与真分数的和，再利用乘法分配律展开计算，大幅降低了运算量，不容易出错。遇到带分数乘整数的计算时，可优先考虑拆分带分数结合运算律简化计算，无需直接转化为假分数计算。
(2) 观察带分数$71\dfrac{15}{16}$，发现它与整数72仅相差$\dfrac{1}{16}$，因此可把带分数改写为$72-\dfrac{1}{16}$，再利用乘法分配律展开计算，运算会更简便。
【解析】
(1) 小莉的解法更好：小莉利用乘法分配律，将带分数拆成整数加真分数的形式，分别与-8相乘，避免了处理大数的乘除运算，简化了计算过程，降低了出错概率。由此得到启发：进行有理数运算时，可先观察算式特点，合理运用运算律简化复杂计算。
(2) 存在其他解法，计算过程如下：
将$71\dfrac{15}{16}$改写为$72-\dfrac{1}{16}$，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(72-\dfrac{1}{16})×(-8)\\&=72×(-8) + (-\dfrac{1}{16})×(-8)\\&=-576+\dfrac{1}{2}\\&=-575\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小莉的解法最好,理由是运用了分配律简化了计算,启发是复杂的计算可联想使用分配律。
(2) 原式 $= (72 - \dfrac{1}{16}) × (- 8) = 72 × (- 8) + \dfrac{1}{16} × 8 = - 576 + \dfrac{1}{2} = - 575\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是运算律简化计算的典型应用，核心是通过合理拆分带分数，结合乘法分配律降低计算量，避免大数运算出错，能有效提升学生的简便运算意识。
【难度系数】
0.8
9. 已知$m,n$为有理数,如果规定一种新运算#,定义$m\#n = - mn - 2$.解答下列各题.
(1)$0\#(-2)=$
(2)$(-7)\#(-3)\#2=$
(3)探索:任意选取两个有理数(至少有一个是负数)表示$◯$和$\lozenge$,并比较两个运算结果,你能发现什么?
$◯ \# \lozenge$ 和 $\lozenge \# ◯$
(1)$0\#(-2)=$
-2
;(2)$(-7)\#(-3)\#2=$
44
;(3)探索:任意选取两个有理数(至少有一个是负数)表示$◯$和$\lozenge$,并比较两个运算结果,你能发现什么?
$◯ \# \lozenge$ 和 $\lozenge \# ◯$
答案
9. (1) - 2 (2)44(解法提示:( - 7)#( - 3)= - ( - 7) × ( - 3) - 2= - 23,( - 23)#2= - ( - 23) × 2 - 2 = 44) (3) 取 $◯ = 2,◇ = - 1$,则 $◯#◇ = 2#( - 1) = - 2 × ( - 1) - 2 = 0,◇#◯ = ( - 1)#2 = - ( - 1) × 2 - 2 = 0$,发现两个运算结果相等(选取的 $◯$ 和 $◇$ 不唯一).
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是严格遵循给定的#运算规则：$m\#n = - mn - 2$，将对应数值代入公式计算即可。(1)问直接代入0和-2计算；(2)问属于连算，需按从左到右的顺序，先算出前两个数的运算结果，再用该结果与第三个数进行运算；(3)问先按要求选取两个有理数（至少一个负数），分别代入两种运算计算结果，再比较大小归纳规律即可。
【解析】
(1) 把$m=0$，$n=-2$代入运算规则：
$0\#(-2) = -0×(-2) - 2 = 0 - 2 = -2$
(2) 先计算$(-7)\#(-3)$，把$m=-7$，$n=-3$代入：
$(-7)\#(-3) = -(-7)×(-3) - 2 = -21 - 2 = -23$
再计算$(-23)\#2$，把$m=-23$，$n=2$代入：
$(-23)\#2 = -(-23)×2 - 2 = 46 - 2 = 44$
(3) 选取$◯=2$，$◇=-1$（选取数值不唯一，至少一个负数即可）：
先计算$◯#◇=2\#(-1) = -2×(-1) - 2 = 2 - 2 = 0$
再计算$◇#◯=(-1)\#2 = -(-1)×2 - 2 = 2 - 2 = 0$
比较两个结果，发现两者相等。
【答案】
(1) $-2$；(2) $44$；(3) 示例：取$◯=2$，$◇=-1$时，$◯#◇=0$，$◇#◯=0$，发现两个运算结果相等（答案不唯一）
【知识点】
新定义运算、有理数乘法、规律探究
【点评】
本题侧重考察对新运算规则的理解应用能力，计算时需严格按规则代入，连算时要注意运算顺序，探究类问题需要通过举例计算归纳共性结论，解题时注意符号运算不要出错即可。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题核心是严格遵循给定的#运算规则：$m\#n = - mn - 2$，将对应数值代入公式计算即可。(1)问直接代入0和-2计算；(2)问属于连算，需按从左到右的顺序，先算出前两个数的运算结果，再用该结果与第三个数进行运算；(3)问先按要求选取两个有理数（至少一个负数），分别代入两种运算计算结果，再比较大小归纳规律即可。
【解析】
(1) 把$m=0$，$n=-2$代入运算规则：
$0\#(-2) = -0×(-2) - 2 = 0 - 2 = -2$
(2) 先计算$(-7)\#(-3)$，把$m=-7$，$n=-3$代入：
$(-7)\#(-3) = -(-7)×(-3) - 2 = -21 - 2 = -23$
再计算$(-23)\#2$，把$m=-23$，$n=2$代入：
$(-23)\#2 = -(-23)×2 - 2 = 46 - 2 = 44$
(3) 选取$◯=2$，$◇=-1$（选取数值不唯一，至少一个负数即可）：
先计算$◯#◇=2\#(-1) = -2×(-1) - 2 = 2 - 2 = 0$
再计算$◇#◯=(-1)\#2 = -(-1)×2 - 2 = 2 - 2 = 0$
比较两个结果，发现两者相等。
【答案】
(1) $-2$；(2) $44$；(3) 示例：取$◯=2$，$◇=-1$时，$◯#◇=0$，$◇#◯=0$，发现两个运算结果相等（答案不唯一）
【知识点】
新定义运算、有理数乘法、规律探究
【点评】
本题侧重考察对新运算规则的理解应用能力，计算时需严格按规则代入，连算时要注意运算顺序，探究类问题需要通过举例计算归纳共性结论，解题时注意符号运算不要出错即可。
【难度系数】
0.8
