1.运用分配律计算$(-3)×(-4 + 2 - 3)$,下面有四种不同的结果,其中正确的是()

A.$(-3)×4 - 3×2 - 3×3$
B.$(-3)×(-4) - 3×2 - 3×3$
C.$(-3)×(-4) + 3×2 - 3×3$
D.$(-3)×(-4) - 3×2 + 3×3$

1.D

【分析】
本题考查乘法分配律在有理数运算中的应用，解题思路如下：首先回忆乘法分配律的内容：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把所得的积相加。解题时要注意两点：一是括号外的因数要乘遍括号内的每一项，二是每一项都要携带自身的符号参与运算，结合有理数乘法“同号得正、异号得负”的符号法则计算每一个乘积的符号，最终对应选项选出正确答案。
【解析】
根据乘法分配律$a(b+c+d)=ab+ac+ad$，本题中$a=-3$，括号内的三项分别为$-4$、$+2$、$-3$，代入分配律计算：
$\begin{aligned}(-3)×(-4 + 2 - 3)&=(-3)×(-4) + (-3)×2 + (-3)×(-3)\\&=(-3)×(-4) - 3×2 + 3×3\end{aligned}$
对比各选项，可知D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘法分配律的典型基础题，易错点是运算时忽略括号内各项的符号，或者相乘时符号判断错误，掌握分配律的运算规则和有理数乘法的符号法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 在运用分配律计算$(-3\dfrac{1}{7})×7$时，下列变形正确的是()

A.$(-3+\dfrac{1}{7})×7$
B.$(3-\dfrac{1}{7})×7$
C.$(-3-\dfrac{1}{7})×7$
D.$(4-\dfrac{1}{7})×7$

2.C

【分析】
要解决这道题，核心是正确拆分负带分数，再结合分配律的使用要求判断变形是否正确。首先明确：正带分数$a\dfrac{b}{c}$（a、b、c均为正）表示整数部分加分数部分，即$a+\dfrac{b}{c}$；如果是负带分数$-a\dfrac{b}{c}$，则表示$-(a+\dfrac{b}{c})$，去括号后为$-a-\dfrac{b}{c}$。我们先把题干中的带分数正确拆分，再逐一比对选项即可选出正确答案。
【解析】
首先拆分题干中的负带分数：
$(-3\dfrac{1}{7}) = -(3+\dfrac{1}{7}) = -3 - \dfrac{1}{7}$
因此$(-3\dfrac{1}{7})×7$可变形为$(-3-\dfrac{1}{7})×7$，对应选项C。
再验证其他选项：
A选项：$(-3+\dfrac{1}{7})=-2\dfrac{6}{7}$，与原数$-3\dfrac{1}{7}$不相等，错误；
B选项：$(3-\dfrac{1}{7})=2\dfrac{6}{7}$，符号与原数相反，错误；
D选项：$(4-\dfrac{1}{7})=3\dfrac{6}{7}$，符号、数值均与原数不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
带分数的拆分、去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题是有理数乘法分配律应用的基础题型，重点考察负带分数拆分时的符号处理，这类题型的易错点是拆分负带分数时容易漏掉分数部分的负号，做题时要格外注意符号的正确性。
【难度系数】
0.8

3. 运用乘法交换律和结合律计算
$(-0.25) × 15 × 4 = (\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_) × \_\_\_\_\_\_.$

3. - 0.25;4;15

【分析】
解题时首先回忆乘法交换律和结合律的定义，再观察算式中各因数的特征：-0.25与4相乘可得整数-1，计算更简便。首先利用乘法交换律交换15和4的位置，再利用乘法结合律将-0.25和4结合优先计算，即可得到符合要求的式子。
【解析】
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即$a×b = b×a$；
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变，即$(a×b)×c = a×(b×c)$。
观察算式中因数的特点，$-0.25×4 = -1$，凑整计算更简便，因此先利用乘法交换律交换15和4的位置，得到$(-0.25)×4×15$，再利用乘法结合律将$-0.25$和4结合，即$(-0.25×4)×15$。
【答案】
-0.25；4；15
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法运算律在乘法计算中的应用，解题关键是观察数字特征，将能凑整的因数结合计算，既符合运算律要求，又能简化后续计算。
【难度系数】
0.9

4. 逆用分配律写成积的形式:2 024 × (-8)+2 024 × 18 = × ( + ).

4.2 024; - 8;18

【分析】
解题首先要明确乘法分配律的逆用形式：乘法分配律是$a×(b+c)=a× b+a× c$，反过来逆用就是$a× b + a× c = a×(b+c)$。解题时第一步先找原式两个乘法运算中相同的因数，这个因数就是括号外要写的数；第二步把两个乘法运算中剩下的两个因数（注意保留原来的符号）作为括号里的两个加数，就能得到结果。
【解析】
观察原式$2024×(-8)+2024×18$，两个乘法项中相同的因数是2024，另外两个因数分别是-8和18。
根据乘法分配律的逆运算$a× b + a× c = a×(b+c)$，代入可得：
$2024×(-8)+2024×18 = 2024×(-8+18)$
因此三个空依次填入对应数值即可。
【答案】
2024；-8；18
【知识点】
乘法分配律逆运算；有理数乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对乘法分配律逆用的理解，解题的关键是准确识别出公共的因数，同时注意不要漏掉因数的符号，熟练掌握运算定律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

5. 如图,按以下规律,在第4个三角形中间填入的数是()


A.- 120
B.- 192
C.288
D.- 384

5.D

【分析】
这是图形数字规律探究题，解题思路如下：第一步先找单个三角形内数字的运算关系，观察前三个三角形，尝试计算三个顶点数字的乘积，发现乘积刚好等于三角形中间的数，验证三个例子都符合该规律；第二步找同位置顶点数字的变化规律：上方顶点数字按-1、1交替出现，左下顶点数字后一个是前一个的2倍，右下顶点数字后一个也是前一个的2倍，据此推出第4个三角形的三个顶点数字，再相乘即可得到中间的数，也可直接观察中间数的变化规律（每次乘-4）直接求解。
【解析】
首先验证单个三角形的运算规律：
第1个三角形：三个顶点数字为上-1、左下2、右下-3，乘积为$(-1) × 2 × (-3) = 6$，与中间数一致；
第2个三角形：三个顶点数字为上1、左下4、右下-6，乘积为$1 × 4 × (-6) = -24$，与中间数一致；
第3个三角形：三个顶点数字为上-1、左下8、右下-12，乘积为$(-1) × 8 × (-12) = 96$，与中间数一致；
接下来推导第4个三角形的顶点数字：
上方顶点：按-1、1交替，第4个为$1$；
左下顶点：后一个是前一个的2倍，第4个为$8 × 2 = 16$；
右下顶点：后一个是前一个的2倍，第4个为$-12 × 2 = -24$；
计算第4个三角形中间数：$1 × 16 × (-24) = -384$。
（也可通过中间数规律验证：$6 × (-4) = -24$，$-24 × (-4) = 96$，$96 × (-4) = -384$，结果一致）
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法运算，数字规律探究
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，解题关键是先找到单组数字的运算关系，再找到同位置数字的变化规律，这类规律题只要细心验证，就能快速找到解题方法。
【难度系数】
0.7

6. 用简便方法计算：
(1) $(+1.25) × (-4\dfrac{1}{20}) × (-8)$；
(2) $[(+\dfrac{3}{5}) + (-\dfrac{1}{2}) + (-\dfrac{5}{12})] × 60$；
(3) $(-11) × (-\dfrac{2}{5}) + (-11) × (+2\dfrac{3}{5}) + (-11) × (-\dfrac{1}{5})$。

6. (1) $40\dfrac{1}{2}$ (2) $- 19$ (3) $- 22$

【分析】
这三道题均可通过有理数乘法的运算律简化计算，避免复杂运算：
(1) 观察到1.25和8相乘得整数，优先使用乘法交换律调整运算顺序，先计算1.25与8的乘积，同时先确定积的符号简化计算；
(2) 括号内各分数的分母都是60的因数，使用乘法分配律将括号内每个数分别乘60，可直接得到整数再加减，无需通分；
(3) 三个乘法算式都含有相同的因数-11，逆用乘法分配律，先计算剩余几个加数的和，再乘-11，大幅简化计算步骤。
【解析】
(1) 利用乘法交换律计算：
$\begin{aligned}(+1.25) × (-4\dfrac{1}{20}) × (-8)&=(+1.25)×(-8)×(-4\dfrac{1}{20})\\&=(-10)×(-4\dfrac{1}{20})\\&=10×(4+\dfrac{1}{20})\\&=10×4 + 10×\dfrac{1}{20}\\&=40+\dfrac{1}{2}\\&=40\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}[(+\dfrac{3}{5}) + (-\dfrac{1}{2}) + (-\dfrac{5}{12})] × 60&=\dfrac{3}{5}×60 + (-\dfrac{1}{2})×60 + (-\dfrac{5}{12})×60\\&=36 - 30 -25\\&=-19\end{aligned}$
(3) 逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}&(-11) × (-\dfrac{2}{5}) + (-11) × (+2\dfrac{3}{5}) + (-11) × (-\dfrac{1}{5})\\=&(-11)×[(-\dfrac{2}{5}) + 2\dfrac{3}{5} + (-\dfrac{1}{5})]\\=&(-11)×\dfrac{-2+13-1}{5}\\=&(-11)×2\\=&-22\end{aligned}$
【答案】
(1) $40\dfrac{1}{2}$ (2) $- 19$ (3) $- 22$
【知识点】
1. 有理数乘法运算律 2. 乘法交换律 3. 乘法分配律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便计算，解题核心是根据算式特征灵活选择合适的运算律，通过合理凑整、简化运算步骤，可有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7

7. 下面是某同学计算$(-12.5)×(-\dfrac{6}{7})×(-4)$的过程：
$(-12.5)×(-\dfrac{6}{7})×(-4)$
$=-\dfrac{25}{2}×\dfrac{6}{7}×(-4)$
$=-\dfrac{75}{7}×(-4)=-\dfrac{300}{7}=-42\dfrac{6}{7}.$
你认为他的计算正确吗？若不正确，请帮他改正.

7. 不正确,正确解答:原式 = - $(12.5 × \dfrac{6}{7} × 4) = - \dfrac{300}{7} = - 42\dfrac{6}{7}$.

【分析】
解决这类判断计算正误的题目，首先要明确多个有理数相乘的运算规则：第一步先统计负因数的个数，负因数个数为奇数时积为负，个数为偶数时积为正，确定符号后再计算所有数的绝对值的乘积，也可结合乘法运算律简化计算。观察原式可知共有3个负因数，个数为奇数，因此最终积的符号为负。再看该同学的计算过程：第一步将前两个负数相乘的结果符号写为负，违反了“负负得正”的乘法符号法则；第二步计算$(-\dfrac{75}{7})×(-4)$时，又错误将负负相乘的结果写为负，属于两次符号运算错误，仅巧合得到了和正确结果相同的数值，计算过程是错误的。
【解析】
该同学的计算不正确，其运算过程中符号处理不符合有理数乘法法则，两次符号错误仅巧合得到正确数值，过程不成立。
正确解答：
先根据负因数个数（3个，奇数）确定积为负，再计算绝对值的乘积：
原式 $= -(12.5 × \dfrac{6}{7} × 4)$
$= -(50 × \dfrac{6}{7})$
$= -\dfrac{300}{7}$
$= -42\dfrac{6}{7}$
【答案】
不正确,正确解答:原式 = - $(12.5 × \dfrac{6}{7} × 4) = - \dfrac{300}{7} = - 42\dfrac{6}{7}$.
【知识点】
1.多个有理数相乘的符号判断
2.有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法的运算规范，解题时要先确定积的符号再计算绝对值，不能只关注最终结果忽略运算过程的正确性，合理使用乘法交换律、结合律可以简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.6