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8.如图，数轴上A，B两点表示的有理数分别为10和15。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t s。
(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：
BP=
(2)当t=2时，求PQ的值；
(3)当PQ=AB时，求t的值。
(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：
BP=
$5-t$
，AQ=$10-2t$
；(2)当t=2时，求PQ的值；
(3)当PQ=AB时，求t的值。
答案
解:(1)当$0＜t＜5$时,P点表示的有理数为$10+t$,Q点表示的有理数为$2t$,
所以$BP=15-(10+t)=5-t$,$AQ=10-2t$。
(2)当$t=2$时,P点表示的有理数为$10+2=12$,
Q点表示的有理数为$2×2=4$,
所以$PQ=12-4=8$。
(3)$t$ s时,P点表示的有理数为$10+t$,Q点表示的有理数为$2t$,
所以$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。
因为$PQ=AB$,
所以$|t-10|=5$,
解得$t=15$或$5$。
所以$BP=15-(10+t)=5-t$,$AQ=10-2t$。
(2)当$t=2$时,P点表示的有理数为$10+2=12$,
Q点表示的有理数为$2×2=4$,
所以$PQ=12-4=8$。
(3)$t$ s时,P点表示的有理数为$10+t$,Q点表示的有理数为$2t$,
所以$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。
因为$PQ=AB$,
所以$|t-10|=5$,
解得$t=15$或$5$。
解析
【分析】
解决数轴动点问题的核心是先表示出运动后各点对应的数：点在数轴上向正方向运动时，对应数=起点数+速度×运动时间。计算两点距离时，若能确定两点左右位置，用右侧点的数减左侧点的数即可；若位置不确定，用两点对应数差的绝对值表示距离。
(1)先写出t秒后P、Q对应的数，结合0＜t＜5的范围判断两点位置，直接作差求BP、AQ的长度；
(2)将t=2代入P、Q的对应数表达式，得到两点具体数值后作差求PQ；
(3)先求出AB的长度，再用绝对值表示PQ的长度，列绝对值方程求解即可。
【解析】
(1)运动t秒时，点P从对应数为10的A点向正方向运动，速度为1单位/秒，因此P对应的数为$10+t$；点Q从对应数为0的原点向正方向运动，速度为2单位/秒，因此Q对应的数为$2t$。
当$0＜t＜5$时，$10+t ＜ 15$，即P在B点左侧，所以$BP=15-(10+t)=5-t$；同时$2t ＜ 10$，即Q在A点左侧，所以$AQ=10-2t$。
(2)当$t=2$时，P对应的数为$10+2=12$，Q对应的数为$2×2=4$，因此$PQ=12-4=8$。
(3)首先计算AB的长度：$AB=15-10=5$。
运动t秒时，P、Q的位置不确定，因此$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。
由$PQ=AB$可得：$|t-10|=5$，
即$t-10=5$或$t-10=-5$，
解得$t=15$或$t=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5-t}$，$\boldsymbol{10-2t}$
(2) $\boldsymbol{8}$
(3) $\boldsymbol{t=5}$或$\boldsymbol{t=15}$
【知识点】
数轴动点问题，数轴两点距离，绝对值方程求解
【点评】
本题是数轴动点的典型基础题，关键要掌握用含参数的代数式表示动点对应数的方法，计算两点距离时若无法确定两点位置关系，要加绝对值避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决数轴动点问题的核心是先表示出运动后各点对应的数：点在数轴上向正方向运动时，对应数=起点数+速度×运动时间。计算两点距离时，若能确定两点左右位置，用右侧点的数减左侧点的数即可；若位置不确定，用两点对应数差的绝对值表示距离。
(1)先写出t秒后P、Q对应的数，结合0＜t＜5的范围判断两点位置，直接作差求BP、AQ的长度；
(2)将t=2代入P、Q的对应数表达式，得到两点具体数值后作差求PQ；
(3)先求出AB的长度，再用绝对值表示PQ的长度，列绝对值方程求解即可。
【解析】
(1)运动t秒时，点P从对应数为10的A点向正方向运动，速度为1单位/秒，因此P对应的数为$10+t$；点Q从对应数为0的原点向正方向运动，速度为2单位/秒，因此Q对应的数为$2t$。
当$0＜t＜5$时，$10+t ＜ 15$，即P在B点左侧，所以$BP=15-(10+t)=5-t$；同时$2t ＜ 10$，即Q在A点左侧，所以$AQ=10-2t$。
(2)当$t=2$时，P对应的数为$10+2=12$，Q对应的数为$2×2=4$，因此$PQ=12-4=8$。
(3)首先计算AB的长度：$AB=15-10=5$。
运动t秒时，P、Q的位置不确定，因此$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。
由$PQ=AB$可得：$|t-10|=5$，
即$t-10=5$或$t-10=-5$，
解得$t=15$或$t=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5-t}$，$\boldsymbol{10-2t}$
(2) $\boldsymbol{8}$
(3) $\boldsymbol{t=5}$或$\boldsymbol{t=15}$
【知识点】
数轴动点问题，数轴两点距离，绝对值方程求解
【点评】
本题是数轴动点的典型基础题，关键要掌握用含参数的代数式表示动点对应数的方法，计算两点距离时若无法确定两点位置关系，要加绝对值避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.判断下列各式是否成立(成立的在括号内打“√”,不成立的在括号内打“×”):
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}} \quad (\quad)$
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \quad (\quad)$
$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}} \quad (\quad)$
$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}} \quad (\quad)$
完成上面各题之后,你发现了什么规律?
请用一个关于自然数$n(n≥2)$的等式表示这个规律。
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}} \quad (\quad)$
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \quad (\quad)$
$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}} \quad (\quad)$
$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}} \quad (\quad)$
完成上面各题之后,你发现了什么规律?
请用一个关于自然数$n(n≥2)$的等式表示这个规律。
答案
$\surd\quad\surd\quad\surd\quad\surd$
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n·\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}\ (n≥2)$
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n·\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}\ (n≥2)$
解析
【分析】
解题分两步完成：第一步先验证4个给定等式是否成立，分别计算每个等式左边根号内的加法，再将二次根式化简后和右边式子对比，即可判断对错；第二步观察4个成立等式中的数字特征，找到整数部分、分数的分子、分母之间的对应关系，再将特殊情况推广到一般自然数$n(n≥2)$，最后通过二次根式化简验证推导的规律是否成立即可。
【解析】
1. 逐个验证等式：
① 计算$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$：
先算根号内的和：$2+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
化简二次根式：$\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{4×2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，与右边相等，等式成立。
② 计算$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$：
根号内的和：$3+\frac{3}{8}=\frac{24}{8}+\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$，
化简：$\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{9×3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，与右边相等，等式成立。
③ 计算$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$：
根号内的和：$4+\frac{4}{15}=\frac{60}{15}+\frac{4}{15}=\frac{64}{15}$，
化简：$\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{16×4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，与右边相等，等式成立。
④ 计算$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$：
根号内的和：$5+\frac{5}{24}=\frac{120}{24}+\frac{5}{24}=\frac{125}{24}$，
化简：$\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{25×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，与右边相等，等式成立。
2. 归纳规律：
观察等式特征：左边根号内的整数为$n$时，分数的分子也为$n$，分母为$n^2-1$；右边是整数$n$乘根号下$\frac{n}{n^2-1}$。
验证规律：
左边$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，与右边相等，规律成立。
【答案】
√；√；√；√
规律：$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n·\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}\ (n≥2)$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 规律探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究逻辑，既考查二次根式的基本运算能力，又锻炼归纳推理的逻辑思维，解题时只要细心计算、认真观察数字对应特征即可顺利解决。
【难度系数】
0.75
解题分两步完成：第一步先验证4个给定等式是否成立，分别计算每个等式左边根号内的加法，再将二次根式化简后和右边式子对比，即可判断对错；第二步观察4个成立等式中的数字特征，找到整数部分、分数的分子、分母之间的对应关系，再将特殊情况推广到一般自然数$n(n≥2)$，最后通过二次根式化简验证推导的规律是否成立即可。
【解析】
1. 逐个验证等式：
① 计算$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$：
先算根号内的和：$2+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
化简二次根式：$\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{4×2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，与右边相等，等式成立。
② 计算$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$：
根号内的和：$3+\frac{3}{8}=\frac{24}{8}+\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$，
化简：$\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{9×3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，与右边相等，等式成立。
③ 计算$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$：
根号内的和：$4+\frac{4}{15}=\frac{60}{15}+\frac{4}{15}=\frac{64}{15}$，
化简：$\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{16×4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，与右边相等，等式成立。
④ 计算$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$：
根号内的和：$5+\frac{5}{24}=\frac{120}{24}+\frac{5}{24}=\frac{125}{24}$，
化简：$\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{25×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，与右边相等，等式成立。
2. 归纳规律：
观察等式特征：左边根号内的整数为$n$时，分数的分子也为$n$，分母为$n^2-1$；右边是整数$n$乘根号下$\frac{n}{n^2-1}$。
验证规律：
左边$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，与右边相等，规律成立。
【答案】
√；√；√；√
规律：$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n·\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}\ (n≥2)$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 规律探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究逻辑，既考查二次根式的基本运算能力，又锻炼归纳推理的逻辑思维，解题时只要细心计算、认真观察数字对应特征即可顺利解决。
【难度系数】
0.75
10.阅读下面的文字，然后解答问题。
大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来。因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分。又例如：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的值；
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$x-y$的相反数。
大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来。因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分。又例如：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的值；
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$x-y$的相反数。
答案
解:(1)$4$ $\sqrt{17}-4$
(2)因为$4＜5＜9$，
所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
即$2＜\sqrt{5}＜3$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为$2$,小数部分为$\sqrt{5}-2$,
即$a=\sqrt{5}-2$。
因为$9＜13＜16$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，
即$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\sqrt{13}$的整数部分为$3$,
即$b=3$。
当$a=\sqrt{5}-2,b=3$时，
$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$。
(3)因为$10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,
所以$x$是$10+\sqrt{3}$的整数部分,$y$是$10+\sqrt{3}$的小数部分。
因为$1＜3＜4$,
所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,
即$1＜\sqrt{3}＜2$,
所以$10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$,
即$11＜10+\sqrt{3}＜12$,
所以$10+\sqrt{3}$的整数部分是$11$,小数部分是$10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$,
即$x=11,y=\sqrt{3}-1$。
所以$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$,
所以$x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$。
(2)因为$4＜5＜9$，
所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
即$2＜\sqrt{5}＜3$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为$2$,小数部分为$\sqrt{5}-2$,
即$a=\sqrt{5}-2$。
因为$9＜13＜16$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，
即$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\sqrt{13}$的整数部分为$3$,
即$b=3$。
当$a=\sqrt{5}-2,b=3$时，
$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$。
(3)因为$10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,
所以$x$是$10+\sqrt{3}$的整数部分,$y$是$10+\sqrt{3}$的小数部分。
因为$1＜3＜4$,
所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,
即$1＜\sqrt{3}＜2$,
所以$10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$,
即$11＜10+\sqrt{3}＜12$,
所以$10+\sqrt{3}$的整数部分是$11$,小数部分是$10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$,
即$x=11,y=\sqrt{3}-1$。
所以$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$,
所以$x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
这道题的核心解题方法是“夹逼法”估算无理数的大小：先找到被开方数介于哪两个相邻的完全平方数之间，就能确定这个无理数介于哪两个相邻整数之间，进而确定它的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分。
(1) 先确定$\sqrt{17}$的取值范围，即可直接得到其整数部分和小数部分；
(2) 先分别估算$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$的范围，求出$a$、$b$的值，再代入代数式计算即可；
(3) 先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的取值范围，据此确定整数$x$和小数$y$的值，再计算$x-y$的相反数即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，所以$\sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) 因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分为$2$，小数部分为$\sqrt{5}-2$，即$a=\sqrt{5}-2$。
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$\sqrt{13}$的整数部分为$3$，即$b=3$。
将$a=\sqrt{5}-2$，$b=3$代入式子得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(3) 因为$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，所以$x$是$10+\sqrt{3}$的整数部分，$y$是$10+\sqrt{3}$的小数部分。
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$，所以$10+\sqrt{3}$的整数部分$x=11$，小数部分$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
则$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，所以$x-y$的相反数是$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$（或$-12+\sqrt{3}$）。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $1$；(3) $\sqrt{3}-12$（或$-12+\sqrt{3}$）
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值 3. 相反数的概念
【点评】
本题重点考查利用夹逼法确定无理数的整数部分和小数部分的方法，解题的关键是先准确估算出无理数的取值范围，再结合题目要求逐步计算，解题思路清晰，方法固定，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
这道题的核心解题方法是“夹逼法”估算无理数的大小：先找到被开方数介于哪两个相邻的完全平方数之间，就能确定这个无理数介于哪两个相邻整数之间，进而确定它的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分。
(1) 先确定$\sqrt{17}$的取值范围，即可直接得到其整数部分和小数部分；
(2) 先分别估算$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$的范围，求出$a$、$b$的值，再代入代数式计算即可；
(3) 先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的取值范围，据此确定整数$x$和小数$y$的值，再计算$x-y$的相反数即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，所以$\sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) 因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分为$2$，小数部分为$\sqrt{5}-2$，即$a=\sqrt{5}-2$。
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$\sqrt{13}$的整数部分为$3$，即$b=3$。
将$a=\sqrt{5}-2$，$b=3$代入式子得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(3) 因为$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，所以$x$是$10+\sqrt{3}$的整数部分，$y$是$10+\sqrt{3}$的小数部分。
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$，所以$10+\sqrt{3}$的整数部分$x=11$，小数部分$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
则$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，所以$x-y$的相反数是$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$（或$-12+\sqrt{3}$）。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $1$；(3) $\sqrt{3}-12$（或$-12+\sqrt{3}$）
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值 3. 相反数的概念
【点评】
本题重点考查利用夹逼法确定无理数的整数部分和小数部分的方法，解题的关键是先准确估算出无理数的取值范围，再结合题目要求逐步计算，解题思路清晰，方法固定，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
