例1 计算：$3π+\sqrt{6}$（精确到0.01）。
[点拨] 有精确度要求的计算题，计算时要比精确度多取一位小数。常见无理数的近似值：$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236$。
[解] $3π+\sqrt{6}\approx3×3.142+2.449=9.426+2.449=11.875\approx11.88$。

解：
$3π+\sqrt{6}≈3×3.142 + 2.449$
$=9.426 + 2.449$
$=11.875$
$\approx 11.88$

【分析】
本题要求计算含有无理数的式子并精确到0.01，解题时首先要明确精确度的计算规则：中间计算过程的近似值要比最终要求的精确度多保留1位小数（即保留3位小数），再代入常见无理数的近似值计算即可。首先回忆π和√6的近似值：π取3位小数约为3.142，√6取3位小数约为2.449；接着先计算乘法3×3.142，再加上√6的近似值，最后将结果四舍五入保留2位小数得到最终答案。
【解析】
根据题意，计算时保留三位小数：
$3π+\sqrt{6}≈3×3.142 + 2.449$
$=9.426 + 2.449$
$=11.875$
$\approx 11.88$
【答案】
11.88
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 无理数近似计算
【点评】
本题是实数近似计算的基础题型，解题的核心是掌握近似数的计算规则：中间运算过程多保留一位小数，避免运算误差，最后再按要求四舍五入得到结果，日常学习中熟记常见无理数的近似值可以提升计算效率。
【难度系数】
0.85

|变式训练1| 计算：$2^{-1} + |-\sqrt{13}| - (3.14 - π)^0$。

解:$2^{-1}+|-\sqrt{13}|-(3.14-π)^0$
$=\frac{1}{2}+\sqrt{13}-1$
$=\sqrt{13}-\frac{1}{2}$。

【分析】
本题考查实数的混合运算，解题时可拆分运算项分别计算后再合并：第一步先回忆负整数指数幂的运算法则，计算$2^{-1}$的结果；第二步根据绝对值的性质化简$|-\sqrt{13}|$；第三步依据零指数幂的运算法则计算$(3.14-π)^0$的结果；最后将三个运算结果做加减运算，合并得到最终答案即可。
【解析】
解：$2^{-1} + |-\sqrt{13}| - (3.14 - π)^0$
根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$2^{-1}=\frac{1}{2}$；
根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|-\sqrt{13}|=\sqrt{13}$；
根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，因为$3.14-π≠0$，可得$(3.14-π)^0=1$；
将上述结果代入原式计算：
$=\frac{1}{2}+\sqrt{13}-1$
$=\sqrt{13}-\frac{1}{2}$
【答案】
$\sqrt{13}-\frac{1}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算，绝对值化简，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础常考题，核心考查三类基础运算的计算规则，熟练掌握各运算的适用条件和计算方法即可快速解题，计算时注意符号问题，避免因记错法则失分。
【难度系数】
0.8

例2 比较大小：$\sqrt{5}$与2.2。
[点拨] 比较无理数大小，常用取近似值法或平方法。
[解] 方法一(取近似值法)：
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}＞2.2$。
方法二(平方法)：
因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2.2^2=4.84$，
所以$\sqrt{5}＞2.2$。
|变式训练2| 比较大小：$2\sqrt{3}\_\_\_\_\_\_\sqrt{13}$。

＜

【分析】
要比较两个正的带二次根式的数的大小，我们可以利用正数的性质：对于两个正数a、b，若a² ＞ b²，则a ＞ b；若a² ＜ b²，则a ＜ b。用平方法可以去掉根号，将无理数的大小比较转化为整数的大小比较，计算更简便。解题步骤为：先分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，最后根据正数平方与原数的大小关系，反推出原数的大小。
【解析】
因为$2\sqrt{3}$和$\sqrt{13}$均为正数，正数的平方越大，对应原数越大。
分别计算两数的平方：
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$
$(\sqrt{13})^2=13$
因为$12＜13$，所以$2\sqrt{3}＜\sqrt{13}$。
（也可采用取近似值法验证：$2\sqrt{3}\approx3.464$，$\sqrt{13}\approx3.606$，同样可得$2\sqrt{3}＜\sqrt{13}$）
【答案】
＜
【知识点】
无理数大小比较、二次根式乘方运算
【点评】
本题是无理数大小比较的基础题型，平方法是解决这类问题的核心技巧，通过平方运算将带根号的无理数转化为有理数比较，避免了计算无理数近似值的繁琐，需要熟练掌握该方法的应用场景和操作步骤。
【难度系数】
0.85

1. 下列计算正确的是()

A.$\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt[3]{-8}=-2$
C.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$

1. B

【分析】
这道题考查根式的相关运算，解题时我们可以结合平方根、立方根的定义性质，以及二次根式的加减运算规则，逐个判断每个选项的计算是否正确，最终选出符合要求的选项。思考时要注意区分算术平方根和平方根的差异，牢记立方根的符号特点，还有二次根式只有同类才能合并的规则。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：$\sqrt{9}$表示的是9的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{9}=3$，不是$\pm3$，该选项计算错误。
B选项：根据立方根的性质，负数的立方根仍是负数，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项计算正确。
C选项：先计算根号内的部分，$(-3)^2=9$，再求9的算术平方根得$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{(-3)^2}=3≠-3$，该选项计算错误。
D选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的运算，二次根式的加减
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心考查对根式相关概念、运算规则的掌握，做题时要注意避免混淆算术平方根和平方根的定义，牢记不同类型根式的运算特点，就能快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.8

2.化简$\sqrt{2} - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 2)$得（）

A.$-\sqrt{2} - 2$
B.$-2$
C.$2$
D.$\sqrt{2} - 2$

2. A

【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题遵循实数"先乘除后加减"的运算顺序即可：第一步先利用乘法分配律计算$\sqrt{2}$与括号内各项的乘积，第二步去括号（注意括号前是减号，去括号后括号内各项要变号），第三步合并同类二次根式和常数项，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\sqrt{2} - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 2)&=\sqrt{2}-(\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×2)\\&=\sqrt{2}-(2+2\sqrt{2})\\&=\sqrt{2}-2-2\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}-2\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法分配律、二次根式乘法、去括号法则
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，易错点有两处：一是混淆运算顺序，错误先计算$\sqrt{2}-\sqrt{2}$再乘括号内的部分；二是去括号时忽略符号变化导致计算错误，解题时要严格遵循运算顺序，注意符号规则。
【难度系数】
0.7

3. 计算$\sqrt[3]{64}+(-\sqrt{16})$的结果是()

A.4
B.8
C.12
D.0

3. D

【分析】
解题时先分别计算算式中两个根式的值，再将结果相加即可。首先回忆立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，据此计算$\sqrt[3]{64}$；再回忆算术平方根的定义：非负数$a$的非负平方根叫做$a$的算术平方根，据此计算$-\sqrt{16}$，最后做加法运算得到最终结果。
【解析】
第一步：计算$\sqrt[3]{64}$
因为$4^3=4×4×4=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$。
第二步：计算$-\sqrt{16}$
$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，因为$4^2=16$，所以$\sqrt{16}=4$，因此$-\sqrt{16}=-4$。
第三步：求和
将两个结果相加：$\sqrt[3]{64}+(-\sqrt{16})=4+(-4)=0$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，有理数加减
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对立方根、算术平方根定义的理解与运算能力，解题时需注意区分立方根与算术平方根的运算规则，避免混淆二者的计算结果。
【难度系数】
0.8

4. 比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt{0.1}$ $-1$；(2)$2\sqrt{3}$ $3\sqrt{2}$；
(3)$\frac{\sqrt{8}-1}{2}$ $1$；(4)$2$ $3-\sqrt{2}$。

4. (1)＞ (2)＜ (3)＜ (4)＞

【分析】
本题考查实数大小比较，可根据每组数的特征选择对应方法解题：
1. 正负性比较法：正数大于一切负数，可直接解决第(1)题；
2. 平方法：两个正数比较，平方大的原数更大，适用于第(2)题两个带根号的正无理数比较；
3. 估算法/作差法：第(3)(4)题可通过估算无理数的取值范围，或计算两数的差判断正负，从而得到大小关系。
【解析】
(1)
∵ √0.1是0.1的算术平方根，
∴ √0.1＞0，又
∵ 负数都小于0，即-1＜0，
∴ √0.1＞-1；
(2) 分别计算两个正数的平方：$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$，
∵ 12＜18，且正数平方越大原数越大，
∴ $2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$；
(3)
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$，
∴ $\sqrt{8}-1＜3-1=2$，
∴ $\frac{\sqrt{8}-1}{2}＜\frac{2}{2}=1$，即$\frac{\sqrt{8}-1}{2}＜1$；
(4) 计算两数的差：$2-(3-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$，
∵ $\sqrt{2}＞\sqrt{1}=1$，
∴ $\sqrt{2}-1＞0$，即2减$3-\sqrt{2}$的差为正，
∴ $2＞3-\sqrt{2}$。
【答案】
(1)＞ (2)＜ (3)＜ (4)＞
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式估算
3. 算术平方根性质
【点评】
本题侧重考查实数比较大小的常用方法，解题时可根据数的特征灵活选择正负判断、平方法、估算法、作差法等简化运算，熟练掌握二次根式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85