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5.$\sqrt{2}$的相反数与$\sqrt{2}$的倒数的积为
-1
。答案
5. -1
解析
【分析】
解这道题需要分三步思考：第一步先回忆相反数的定义，求出√2的相反数；第二步回忆倒数的定义，求出√2的倒数；第三步将得到的两个数相乘，注意运算过程中的符号处理，即可得出结果。
【解析】
1. 求$\sqrt{2}$的相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$；
2. 求$\sqrt{2}$的倒数：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\sqrt{2}$的倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$；
3. 计算两者的乘积：$(-\sqrt{2}) × \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对相反数、倒数基本概念的掌握，解题时注意不要弄错符号，熟练掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解这道题需要分三步思考：第一步先回忆相反数的定义，求出√2的相反数；第二步回忆倒数的定义，求出√2的倒数；第三步将得到的两个数相乘，注意运算过程中的符号处理，即可得出结果。
【解析】
1. 求$\sqrt{2}$的相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$；
2. 求$\sqrt{2}$的倒数：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\sqrt{2}$的倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$；
3. 计算两者的乘积：$(-\sqrt{2}) × \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对相反数、倒数基本概念的掌握，解题时注意不要弄错符号，熟练掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6.对任意实数$a,b$,定义关于“⊗”的运算如下：$a⊗b=\sqrt{ab-1}$。例如：$3⊗2=\sqrt{2×3-1}=\sqrt{5}$，则$5⊗10⊗2=$
$\sqrt{13}$
。答案
6. $\sqrt{13}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：首先要准确理解新运算“⊗”的计算规则，同级的新定义运算和常规四则运算顺序一致，需从左到右依次计算：第一步先计算$5⊗10$的结果，第二步再将第一步的结果与2按照新运算规则计算，最终得到答案。
【解析】
根据新定义的运算规则$a⊗b=\sqrt{ab-1}$，分步计算：
1. 先计算$5⊗10$，将$a=5$，$b=10$代入公式：
$5⊗10=\sqrt{5×10 -1}=\sqrt{50-1}=\sqrt{49}=7$
2. 再计算$7⊗2$，将$a=7$，$b=2$代入公式：
$7⊗2=\sqrt{7×2 -1}=\sqrt{14-1}=\sqrt{13}$
因此$5⊗10⊗2=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
新定义运算、算术平方根的计算
【点评】
本题解题核心是准确掌握新运算的规则，按照从左到右的运算顺序逐步代入计算即可，计算时要注意算术平方根的结果为非负数，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：首先要准确理解新运算“⊗”的计算规则，同级的新定义运算和常规四则运算顺序一致，需从左到右依次计算：第一步先计算$5⊗10$的结果，第二步再将第一步的结果与2按照新运算规则计算，最终得到答案。
【解析】
根据新定义的运算规则$a⊗b=\sqrt{ab-1}$，分步计算：
1. 先计算$5⊗10$，将$a=5$，$b=10$代入公式：
$5⊗10=\sqrt{5×10 -1}=\sqrt{50-1}=\sqrt{49}=7$
2. 再计算$7⊗2$，将$a=7$，$b=2$代入公式：
$7⊗2=\sqrt{7×2 -1}=\sqrt{14-1}=\sqrt{13}$
因此$5⊗10⊗2=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
新定义运算、算术平方根的计算
【点评】
本题解题核心是准确掌握新运算的规则，按照从左到右的运算顺序逐步代入计算即可，计算时要注意算术平方根的结果为非负数，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
7.计算:
(1)$\sqrt{81} - \sqrt[3]{125}$；
(2)$\sqrt{9} - \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-27}$；
(3)$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} -5\sqrt{3} -3\sqrt{2}$；
(4)$|\sqrt{3} -2| + |\sqrt{3} -1|$。
(1)$\sqrt{81} - \sqrt[3]{125}$；
(2)$\sqrt{9} - \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-27}$；
(3)$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} -5\sqrt{3} -3\sqrt{2}$；
(4)$|\sqrt{3} -2| + |\sqrt{3} -1|$。
答案
7. (1)4 (2)0 (3)$-3\sqrt{3}$ (4)1
解析
【分析】
这几道题均为实数基础运算题，解题思路如下：
1. 涉及算术平方根、立方根的运算，先分别计算出每个根式的结果，再做加减运算，注意负立方根、平方的算术平方根的符号判断；
2. 二次根式加减运算时，只需把根号部分相同的同类二次根式的系数相加减，根号部分不变；
3. 含绝对值的运算，先判断绝对值内的数的正负性，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值后再合并计算。
【解析】
(1) 先计算根式：$\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{125}=5$
原式$=9-5=4$
(2) 先化简各部分：$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt[3]{-27}=-3$
原式$=3-6-(-3)=3-6+3=0$
(3) 合并同类二次根式：
原式$=(2\sqrt{3}-5\sqrt{3})+(3\sqrt{2}-3\sqrt{2})=-3\sqrt{3}+0=-3\sqrt{3}$
(4) 先判断绝对值内的正负：$\sqrt{3}\approx1.732$，故$\sqrt{3}-2＜0$，$\sqrt{3}-1＞0$
去绝对值得：$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，$|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$
原式$=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$
【答案】
(1)4 (2)0 (3)$-3\sqrt{3}$ (4)1
【知识点】
根式运算，二次根式合并，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考察根式的基本求值规则、同类二次根式的合并方法和绝对值的化简技巧，计算时注意先化简各部分再做加减，尤其要留意符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
这几道题均为实数基础运算题，解题思路如下：
1. 涉及算术平方根、立方根的运算，先分别计算出每个根式的结果，再做加减运算，注意负立方根、平方的算术平方根的符号判断；
2. 二次根式加减运算时，只需把根号部分相同的同类二次根式的系数相加减，根号部分不变；
3. 含绝对值的运算，先判断绝对值内的数的正负性，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值后再合并计算。
【解析】
(1) 先计算根式：$\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{125}=5$
原式$=9-5=4$
(2) 先化简各部分：$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt[3]{-27}=-3$
原式$=3-6-(-3)=3-6+3=0$
(3) 合并同类二次根式：
原式$=(2\sqrt{3}-5\sqrt{3})+(3\sqrt{2}-3\sqrt{2})=-3\sqrt{3}+0=-3\sqrt{3}$
(4) 先判断绝对值内的正负：$\sqrt{3}\approx1.732$，故$\sqrt{3}-2＜0$，$\sqrt{3}-1＞0$
去绝对值得：$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，$|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$
原式$=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$
【答案】
(1)4 (2)0 (3)$-3\sqrt{3}$ (4)1
【知识点】
根式运算，二次根式合并，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考察根式的基本求值规则、同类二次根式的合并方法和绝对值的化简技巧，计算时注意先化简各部分再做加减，尤其要留意符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
8.文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1。若输入$\sqrt{7}$，则输出的结果为
6
。答案
8. 6
解析
【分析】
首先需要读懂题目给出的运算规则，提炼出输入数和输出结果的关系：输出结果 = 输入数的平方 - 1。接下来把输入的$\sqrt{7}$代入这个关系式，先计算$\sqrt{7}$的平方，再减去1即可得到结果，计算过程会用到二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$。
【解析】
解：根据题意，该实数运算的规则为：$\mathrm{输出结果} = \mathrm{输入数}^2 - 1$。
将输入的$\sqrt{7}$代入运算规则：
$\begin{aligned}\mathrm{输出结果}&=(\sqrt{7})^2 - 1\\&=7 - 1\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
新定义运算，二次根式的性质，实数运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新运算规则的理解能力和二次根式的基础计算能力，只要正确梳理运算顺序，代入数值后细心计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.85
首先需要读懂题目给出的运算规则，提炼出输入数和输出结果的关系：输出结果 = 输入数的平方 - 1。接下来把输入的$\sqrt{7}$代入这个关系式，先计算$\sqrt{7}$的平方，再减去1即可得到结果，计算过程会用到二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$。
【解析】
解：根据题意，该实数运算的规则为：$\mathrm{输出结果} = \mathrm{输入数}^2 - 1$。
将输入的$\sqrt{7}$代入运算规则：
$\begin{aligned}\mathrm{输出结果}&=(\sqrt{7})^2 - 1\\&=7 - 1\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
新定义运算，二次根式的性质，实数运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新运算规则的理解能力和二次根式的基础计算能力，只要正确梳理运算顺序，代入数值后细心计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.85
9.已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示，化简：$\sqrt{a^2} + |a + b| + |\sqrt{2} - a| - \sqrt{(b - \sqrt{2})^2}$。
答案
解:由数轴可知$a＜b＜0$，
所以$a+b＜0,\sqrt{2}-a＞0,b-\sqrt{2}＜0$，
所以原式$=|a|-(a+b)+\sqrt{2}-a-|b-\sqrt{2}|$
$=-a-a-b+\sqrt{2}-a+(b-\sqrt{2})$
$=-3a-b+\sqrt{2}+b-\sqrt{2}$
$=-3a$。
所以$a+b＜0,\sqrt{2}-a＞0,b-\sqrt{2}＜0$，
所以原式$=|a|-(a+b)+\sqrt{2}-a-|b-\sqrt{2}|$
$=-a-a-b+\sqrt{2}-a+(b-\sqrt{2})$
$=-3a-b+\sqrt{2}+b-\sqrt{2}$
$=-3a$。
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定实数的大小关系，可得$a ＜ b ＜ 0$；再回忆相关性质：一是二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可先将原式中的二次根式转化为绝对值形式；二是绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此需要分别判断每个绝对值内表达式的正负；最后根据规则去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴上点的位置可得$a ＜ b ＜ 0$，
据此判断各表达式的正负：
$a+b ＜ 0$，$\sqrt{2}-a ＞ 0$，$b-\sqrt{2} ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式变形为：
$|a| + |a + b| + |\sqrt{2} - a| - |b - \sqrt{2}|$
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$=-a - (a + b) + \sqrt{2} - a + (b - \sqrt{2})$
去括号合并同类项：
$=-a - a - b + \sqrt{2} - a + b - \sqrt{2}$
$=-3a$
【答案】
$\boldsymbol{-3a}$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再准确判断绝对值内代数式的正负，去绝对值时要注意符号变化，合并同类项时注意抵消项的处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定实数的大小关系，可得$a ＜ b ＜ 0$；再回忆相关性质：一是二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可先将原式中的二次根式转化为绝对值形式；二是绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此需要分别判断每个绝对值内表达式的正负；最后根据规则去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴上点的位置可得$a ＜ b ＜ 0$，
据此判断各表达式的正负：
$a+b ＜ 0$，$\sqrt{2}-a ＞ 0$，$b-\sqrt{2} ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式变形为：
$|a| + |a + b| + |\sqrt{2} - a| - |b - \sqrt{2}|$
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$=-a - (a + b) + \sqrt{2} - a + (b - \sqrt{2})$
去括号合并同类项：
$=-a - a - b + \sqrt{2} - a + b - \sqrt{2}$
$=-3a$
【答案】
$\boldsymbol{-3a}$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再准确判断绝对值内代数式的正负，去绝对值时要注意符号变化，合并同类项时注意抵消项的处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
10.已知$\sqrt{8}+1$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，1是$b$的一个平方根。
(1)求$a,b$的值；
(2)比较$a+b$的算术平方根与$\sqrt{5}$的大小。
(1)求$a,b$的值；
(2)比较$a+b$的算术平方根与$\sqrt{5}$的大小。
答案
解:(1)因为$4＜8＜9$，
所以$2＜\sqrt{8}＜3$。
因为$\sqrt{8}+1$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，1是$b$的一个平方根，
所以$a=3,b=1$。
(2)由(1)知$a=3,b=1$，
所以$a+b=3+1=4$，
所以$a+b$的算术平方根是2。
因为$4＜5$，
所以$2＜\sqrt{5}$。
所以$2＜\sqrt{8}＜3$。
因为$\sqrt{8}+1$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，1是$b$的一个平方根，
所以$a=3,b=1$。
(2)由(1)知$a=3,b=1$，
所以$a+b=3+1=4$，
所以$a+b$的算术平方根是2。
因为$4＜5$，
所以$2＜\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1)求a的值时，先使用夹逼法估算$\sqrt{8}$的范围：找到和8相邻的两个完全平方数4和9，可得$2＜\sqrt{8}＜3$，不等式各部分加1就能得到$\sqrt{8}+1$的范围，结合它在连续自然数$a$和$a+1$之间即可求出$a$；求b的值时，根据平方根的定义，若1是b的平方根，那么b等于1的平方，即可求出$b$。
(2)先计算$a+b$的和，再求出它的算术平方根，比较两个正实数的大小时，可以把整数转化为带根号的形式，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的规律直接比较即可。
【解析】
(1)因为$4＜8＜9$，
所以$2＜\sqrt{8}＜3$，
不等式各部分加1可得$3＜\sqrt{8}+1＜4$，
又因为$\sqrt{8}+1$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，所以$a=3$。
因为1是$b$的一个平方根，根据平方根的定义可得$b=1^2=1$。
(2)由(1)知$a=3,b=1$，
所以$a+b=3+1=4$，
所以$a+b$的算术平方根是$\sqrt{4}=2$。
因为$4＜5$，根据被开方数越大算术平方根越大，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$a=3$，$b=1$；
(2)$a+b$的算术平方根小于$\sqrt{5}$（或$2＜\sqrt{5}$）
【知识点】
无理数的估算；平方根的定义；实数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，重点考查夹逼法估算无理数范围、平方根的基本概念，以及实数大小比较的技巧，解题时要注意区分平方根和算术平方根的概念，比较正无理数大小时通过对比被开方数的方法更加简便。
【难度系数】
0.8
(1)求a的值时，先使用夹逼法估算$\sqrt{8}$的范围：找到和8相邻的两个完全平方数4和9，可得$2＜\sqrt{8}＜3$，不等式各部分加1就能得到$\sqrt{8}+1$的范围，结合它在连续自然数$a$和$a+1$之间即可求出$a$；求b的值时，根据平方根的定义，若1是b的平方根，那么b等于1的平方，即可求出$b$。
(2)先计算$a+b$的和，再求出它的算术平方根，比较两个正实数的大小时，可以把整数转化为带根号的形式，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的规律直接比较即可。
【解析】
(1)因为$4＜8＜9$，
所以$2＜\sqrt{8}＜3$，
不等式各部分加1可得$3＜\sqrt{8}+1＜4$，
又因为$\sqrt{8}+1$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，所以$a=3$。
因为1是$b$的一个平方根，根据平方根的定义可得$b=1^2=1$。
(2)由(1)知$a=3,b=1$，
所以$a+b=3+1=4$，
所以$a+b$的算术平方根是$\sqrt{4}=2$。
因为$4＜5$，根据被开方数越大算术平方根越大，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$a=3$，$b=1$；
(2)$a+b$的算术平方根小于$\sqrt{5}$（或$2＜\sqrt{5}$）
【知识点】
无理数的估算；平方根的定义；实数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，重点考查夹逼法估算无理数范围、平方根的基本概念，以及实数大小比较的技巧，解题时要注意区分平方根和算术平方根的概念，比较正无理数大小时通过对比被开方数的方法更加简便。
【难度系数】
0.8
