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1. 在$△ ABC$内有一点$P$到三边的距离相等,则点$P$一定是$△ ABC(\quad)$。
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
答案
A
解析
【分析】
解题时先明确题目核心条件：点P到△ABC三边的距离相等。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点到三角形三边距离都相等，说明该点同时在三个内角的角平分线上，即三条角平分线的交点。再逐一辨析其他选项对应交点的性质，排除不符合条件的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离都相等，符合题目条件，该选项正确。
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质是到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等的要求，该选项错误。
C. 三条高的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，该选项错误。
D. 三条中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形中不同特殊线段交点的性质，只要准确识记各特殊点的对应性质，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题目核心条件：点P到△ABC三边的距离相等。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点到三角形三边距离都相等，说明该点同时在三个内角的角平分线上，即三条角平分线的交点。再逐一辨析其他选项对应交点的性质，排除不符合条件的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离都相等，符合题目条件，该选项正确。
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质是到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等的要求，该选项错误。
C. 三条高的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，该选项错误。
D. 三条中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形中不同特殊线段交点的性质，只要准确识记各特殊点的对应性质，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，直线$l_1$，$l_2$，$l_3$表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)处.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. D
解析
【分析】
要找到到三条相互交叉公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先考虑三条公路围成的三角形内部，三个内角的角平分线会交于1个点，该点满足到三条公路距离相等；再考虑三角形外部，任意两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类点共有3个，同样满足到三条公路距离相等，将两类点的数量相加即可得到总地址数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交形成三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，是符合要求的地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也存在交点，这类点共有3个，每个点到三条公路的距离也相等，均符合要求。
因此符合要求的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质的实际应用，解题时容易遗漏三角形外部外角平分线的交点，需要全面考虑所有符合条件的点，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到到三条相互交叉公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先考虑三条公路围成的三角形内部，三个内角的角平分线会交于1个点，该点满足到三条公路距离相等；再考虑三角形外部，任意两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类点共有3个，同样满足到三条公路距离相等，将两类点的数量相加即可得到总地址数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交形成三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，是符合要求的地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也存在交点，这类点共有3个，每个点到三条公路的距离也相等，均符合要求。
因此符合要求的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质的实际应用，解题时容易遗漏三角形外部外角平分线的交点，需要全面考虑所有符合条件的点，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 如图，点C，D分别在射线OA，OB上，点P在CD上，且点P到OA，OB的距离相等，则点P是(
A.线段CD的中点
B.OA的中垂线与OB的中垂线的交点
C.OA的中垂线与CD的中垂线的交点
D.∠AOB的平分线与CD的交点
D
)。A.线段CD的中点
B.OA的中垂线与OB的中垂线的交点
C.OA的中垂线与CD的中垂线的交点
D.∠AOB的平分线与CD的交点
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先回忆相关定理：角平分线的判定定理为，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先结合已知条件“点P到OA，OB的距离相等”，可确定点P在∠AOB的平分线上；再结合“点P在CD上”的条件，即可得出点P是两条线的交点。也可以用排除法分析：线段中垂线的性质是到线段两端点距离相等，和题干“到角两边距离相等”的条件不匹配，可直接排除涉及中垂线的选项，再排除CD中点的错误选项，锁定正确答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
∵ 点P到OA、OB的距离相等，
∴ 点P在∠AOB的平分线上，
又
∵ 点P在线段CD上，
∴ 点P是∠AOB的平分线与CD的交点。
逐一分析错误选项：
A选项：线段CD的中点仅满足PC=PD，无法保证到OA、OB的距离相等，不符合要求，错误；
B、C选项：线段垂直平分线（中垂线）上的点到线段两端点的距离相等，和“到角两边距离相等”的条件无关，均错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是区分角平分线和线段垂直平分线的性质、判定，抓住“点到角两边距离相等”的关键条件，即可快速得出结论，要注意避免混淆两类线的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相关定理：角平分线的判定定理为，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先结合已知条件“点P到OA，OB的距离相等”，可确定点P在∠AOB的平分线上；再结合“点P在CD上”的条件，即可得出点P是两条线的交点。也可以用排除法分析：线段中垂线的性质是到线段两端点距离相等，和题干“到角两边距离相等”的条件不匹配，可直接排除涉及中垂线的选项，再排除CD中点的错误选项，锁定正确答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
∵ 点P到OA、OB的距离相等，
∴ 点P在∠AOB的平分线上，
又
∵ 点P在线段CD上，
∴ 点P是∠AOB的平分线与CD的交点。
逐一分析错误选项：
A选项：线段CD的中点仅满足PC=PD，无法保证到OA、OB的距离相等，不符合要求，错误；
B、C选项：线段垂直平分线（中垂线）上的点到线段两端点的距离相等，和“到角两边距离相等”的条件无关，均错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是区分角平分线和线段垂直平分线的性质、判定，抓住“点到角两边距离相等”的关键条件，即可快速得出结论，要注意避免混淆两类线的适用场景。
【难度系数】
0.8
4. 如图，O为$△ ABC$三条角平分线的交点，$OD ⊥ BC$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，$OF ⊥ AB$于点F。若$OD=3\ \mathrm{cm}$，则$OE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$OF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
（第4题）（第5题）（第6题）
（第4题）（第5题）（第6题）
答案
4. 3 3
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知O是△ABC三条角平分线的交点，说明O在三个内角的角平分线上，同时题目给出了O到三角形三边的垂线段OD、OE、OF，我们分别对∠ABC、∠ACB应用角平分线的性质，就能得到OF与OD相等、OE与OD相等，进而求出OE和OF的长度。
【解析】
解：
∵O是△ABC三条角平分线的交点，且OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
1. O在∠ABC的角平分线上，OF是O到AB的距离，OD是O到BC的距离，因此OF=OD=3cm；
2. O在∠ACB的角平分线上，OE是O到AC的距离，OD是O到BC的距离，因此OE=OD=3cm。
【答案】
3；3
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题目，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，找准角平分线上的点到对应角两边的垂线段，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知O是△ABC三条角平分线的交点，说明O在三个内角的角平分线上，同时题目给出了O到三角形三边的垂线段OD、OE、OF，我们分别对∠ABC、∠ACB应用角平分线的性质，就能得到OF与OD相等、OE与OD相等，进而求出OE和OF的长度。
【解析】
解：
∵O是△ABC三条角平分线的交点，且OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
1. O在∠ABC的角平分线上，OF是O到AB的距离，OD是O到BC的距离，因此OF=OD=3cm；
2. O在∠ACB的角平分线上，OE是O到AC的距离，OD是O到BC的距离，因此OE=OD=3cm。
【答案】
3；3
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题目，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，找准角平分线上的点到对应角两边的垂线段，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$△ ABC$的周长为12，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点O，过点O作$OD ⊥ BC$于点D，当$OD=1$时，$△ ABC$的面积为
6
。答案
5. 6
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于OD=1。求△ABC的面积可采用拆分法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为1，底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可求解。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=1。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=1，△ABC周长$AB+BC+AC=12$代入上式：
$=\frac{1}{2}×1×(AB+BC+AC)$
$=\frac{1}{2}×1×12=6$
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过拆分三角形、结合周长条件即可快速求出面积，熟练运用等面积法能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于OD=1。求△ABC的面积可采用拆分法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为1，底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可求解。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=1。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=1，△ABC周长$AB+BC+AC=12$代入上式：
$=\frac{1}{2}×1×(AB+BC+AC)$
$=\frac{1}{2}×1×12=6$
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过拆分三角形、结合周长条件即可快速求出面积，熟练运用等面积法能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，点$G$在边$AB$的延长线上，$∠ GBC$，$∠ BAC$的平分线交于点$F$.若$∠ AFB=40°$，则$∠ BCF$的度数为________.
答案
50°
解析
【分析】
解题时首先观察到F是两个角平分线的交点，可结合角平分线的性质分析：
1. 要判断∠BCF的特点，可过F向△ABC的三边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到F到AC、BC的距离相等，进而推出CF平分∠ACB的外角；
2. 再利用三角形外角的性质，推导∠AFB和∠ACB的数量关系，求出∠ACB的度数后，即可计算其外角的一半，得到∠BCF的度数。
【解析】
过点F分别作$FE ⊥ AB$于E，$FD ⊥ BC$于D，$FH ⊥ AC$交AC的延长线于H。
1. 证明CF平分∠ACB的外角：
∵ AF平分$∠ BAC$，$FE ⊥ AB$，$FH ⊥ AC$，
∴ $FE=FH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BF平分$∠ GBC$，$FE ⊥ AB$，$FD ⊥ BC$，
∴ $FE=FD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ $FH=FD$，又$FD ⊥ BC$，$FH ⊥ AC$，
∴ CF平分$∠ BCH$（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCH$。
2. 推导角度关系求$∠ ACB$：
设$∠ FAB=∠ FAC=x$，$∠ FBC=∠ FBG=y$。
∵ $∠ GBC$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ GBC=∠ BAC+∠ ACB$，即$2y=2x+∠ ACB$，整理得$y-x=\frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ FBG$是$△ AFB$的外角，
∴ $∠ FBG=∠ FAB+∠ AFB$，即$y=x+40°$，因此$y-x=40°$。
联立得$\frac{1}{2}∠ ACB=40°$，解得$∠ ACB=80°$。
3. 计算$∠ BCF$：
∵ $∠ BCH=180°-∠ ACB=180°-80°=100°$，CF平分$∠ BCH$，
∴ $∠ BCF=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质
【点评】
本题属于角平分线和三角形外角的综合应用题，解题的关键是通过作辅助线证明CF为∠ACB外角的角平分线，再结合外角的数量关系建立已知角和未知角的联系，解题时要熟练掌握角平分线相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到F是两个角平分线的交点，可结合角平分线的性质分析：
1. 要判断∠BCF的特点，可过F向△ABC的三边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到F到AC、BC的距离相等，进而推出CF平分∠ACB的外角；
2. 再利用三角形外角的性质，推导∠AFB和∠ACB的数量关系，求出∠ACB的度数后，即可计算其外角的一半，得到∠BCF的度数。
【解析】
过点F分别作$FE ⊥ AB$于E，$FD ⊥ BC$于D，$FH ⊥ AC$交AC的延长线于H。
1. 证明CF平分∠ACB的外角：
∵ AF平分$∠ BAC$，$FE ⊥ AB$，$FH ⊥ AC$，
∴ $FE=FH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BF平分$∠ GBC$，$FE ⊥ AB$，$FD ⊥ BC$，
∴ $FE=FD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ $FH=FD$，又$FD ⊥ BC$，$FH ⊥ AC$，
∴ CF平分$∠ BCH$（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCH$。
2. 推导角度关系求$∠ ACB$：
设$∠ FAB=∠ FAC=x$，$∠ FBC=∠ FBG=y$。
∵ $∠ GBC$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ GBC=∠ BAC+∠ ACB$，即$2y=2x+∠ ACB$，整理得$y-x=\frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ FBG$是$△ AFB$的外角，
∴ $∠ FBG=∠ FAB+∠ AFB$，即$y=x+40°$，因此$y-x=40°$。
联立得$\frac{1}{2}∠ ACB=40°$，解得$∠ ACB=80°$。
3. 计算$∠ BCF$：
∵ $∠ BCH=180°-∠ ACB=180°-80°=100°$，CF平分$∠ BCH$，
∴ $∠ BCF=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质
【点评】
本题属于角平分线和三角形外角的综合应用题，解题的关键是通过作辅助线证明CF为∠ACB外角的角平分线，再结合外角的数量关系建立已知角和未知角的联系，解题时要熟练掌握角平分线相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
