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三、解答题
7. 如图，求作一点$P$，使$PC=PD$，且点$P$到$∠ AOB$两边的距离相等.（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
7. 如图，求作一点$P$，使$PC=PD$，且点$P$到$∠ AOB$两边的距离相等.（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案
7. 如图,点 $P$ 即为所求
解析
【分析】
我们先拆解题目对点P的两个要求：①要求PC=PD，根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P在线段CD的垂直平分线上；②要求点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点P在∠AOB的角平分线上。因此只需分别作出这两条线，二者的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
1. 连接CD，利用尺规作出线段CD的垂直平分线；
2. 利用尺规作出∠AOB的角平分线；
3. 两条线的交点即为所求作的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
7. 如图,点 $P$ 即为所求
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将题目给出的两个条件对应到相应的几何轨迹，通过作两条轨迹线取交点得到所求点，熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
我们先拆解题目对点P的两个要求：①要求PC=PD，根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P在线段CD的垂直平分线上；②要求点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点P在∠AOB的角平分线上。因此只需分别作出这两条线，二者的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
1. 连接CD，利用尺规作出线段CD的垂直平分线；
2. 利用尺规作出∠AOB的角平分线；
3. 两条线的交点即为所求作的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
7. 如图,点 $P$ 即为所求
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将题目给出的两个条件对应到相应的几何轨迹，通过作两条轨迹线取交点得到所求点，熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，边$BC$的垂直平分线与$BC$交于点$D$，与$∠ BAC$的平分线交于点$P$，过点$P$分别作边$AB$和$AC$延长线的垂线，垂足分别为点$M$，$N$.求证：$BM=CN$.
答案
连接 $PB, PC. \because AP$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $PM ⊥ AB, PN ⊥ AC, \therefore PM = PN.$ 又 $\because PD$ 是边 $BC$ 的垂直平分线, $\therefore PB=PC.$ 由 $PB=PC, PM=PN,$ 知 $\mathrm{Rt}△ PBM ≌ \mathrm{Rt}△ PCN. \therefore BM=CN$
解析
【分析】
要证明$BM=CN$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解，解题思路如下：第一步，添加辅助线连接$PB$、$PC$，构造包含$BM$、$CN$的直角三角形；第二步，利用角平分线的性质得到$PM=PN$，再利用线段垂直平分线的性质得到$PB=PC$；第三步，根据HL判定定理证明$\mathrm{Rt}△ PBM ≌ \mathrm{Rt}△ PCN$，最后由全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：连接$PB$、$PC$。
$\because AP$是$∠ BAC$的平分线，$PM ⊥ AB$，$PN ⊥ AC$，
$\therefore PM = PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because PD$是边$BC$的垂直平分线，
$\therefore PB=PC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ PBM$和$\mathrm{Rt}△ PCN$中：
$\begin{cases}PB=PC \\PM=PN\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PBM ≌ \mathrm{Rt}△ PCN \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore BM=CN$。
【答案】
$BM=CN$
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查全等三角形的判定与性质，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将待证相等的线段转化为全等三角形的对应边，属于角平分线、垂直平分线性质的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
要证明$BM=CN$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解，解题思路如下：第一步，添加辅助线连接$PB$、$PC$，构造包含$BM$、$CN$的直角三角形；第二步，利用角平分线的性质得到$PM=PN$，再利用线段垂直平分线的性质得到$PB=PC$；第三步，根据HL判定定理证明$\mathrm{Rt}△ PBM ≌ \mathrm{Rt}△ PCN$，最后由全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：连接$PB$、$PC$。
$\because AP$是$∠ BAC$的平分线，$PM ⊥ AB$，$PN ⊥ AC$，
$\therefore PM = PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because PD$是边$BC$的垂直平分线，
$\therefore PB=PC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ PBM$和$\mathrm{Rt}△ PCN$中：
$\begin{cases}PB=PC \\PM=PN\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PBM ≌ \mathrm{Rt}△ PCN \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore BM=CN$。
【答案】
$BM=CN$
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查全等三角形的判定与性质，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将待证相等的线段转化为全等三角形的对应边，属于角平分线、垂直平分线性质的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$∠ AOB = 90°$, $OM$ 是 $∠ AOB$ 的平分线.将三角板的直角顶点 $P$ 在射线 $OM$ 上滑动,两直角边分别与 $OA$, $OB$ 交于点 $C$, $D$. $PC$ 和 $PD$ 的长有怎样的数量关系？证明你的结论.
答案
9. 如图,作 $PE ⊥ OC$ 于点 $E, PF ⊥ OB$ 于点 $F. \because OM$ 是 $∠ AOB$ 的平分线, $\therefore ∠ PEC = ∠ PFD = 90°, PE = PF. \because ∠ CPE + ∠ EPD = ∠ FPD + ∠ EPD = 90°,$ $\therefore ∠ EPC = ∠ FPD. \therefore △ CPE ≌ △ DPF. \therefore PC = PD$
解析
【分析】
遇到角平分线相关的几何证明题，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段；再结合三角板直角为90°的条件，可通过“同角的余角相等”得到一组相等的锐角，即可证明包含PC、PD的两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得出二者的数量关系。
【解析】
证明：过点$P$作$PE ⊥ OA$于点$E$，$PF ⊥ OB$于点$F$，
$\therefore ∠ PEC = ∠ PFD = 90°$。
$\because OM$是$∠ AOB$的平分线，点$P$在$OM$上，
$\therefore$由角平分线的性质可得$PE = PF$。
$\because ∠ CPD = 90°$，$∠ EPF = 90°$，
$\therefore ∠ CPE + ∠ EPD = ∠ FPD + ∠ EPD = 90°$，
$\therefore ∠ CPE = ∠ FPD$。
在$△ CPE$和$△ DPF$中：
$\begin{cases}∠ PEC = ∠ PFD \\PE = PF \\∠ CPE = ∠ DPF\end{cases}$
$\therefore △ CPE ≌ △ DPF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PC = PD$。
【答案】
$PC=PD$，证明如下：作 $PE ⊥ OC$ 于点 $E, PF ⊥ OB$ 于点 $F. \because OM$ 是 $∠ AOB$ 的平分线, $\therefore ∠ PEC = ∠ PFD = 90°, PE = PF. \because ∠ CPE + ∠ EPD = ∠ FPD + ∠ EPD = 90°,$ $\therefore ∠ EPC = ∠ FPD. \therefore △ CPE ≌ △ DPF. \therefore PC = PD$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型基础题，解题核心是掌握角平分线相关的常用辅助线作法，通过作垂线段构造全等三角形，即可快速证明线段相等，该辅助线作法在角平分线相关的几何题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线相关的几何证明题，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段；再结合三角板直角为90°的条件，可通过“同角的余角相等”得到一组相等的锐角，即可证明包含PC、PD的两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得出二者的数量关系。
【解析】
证明：过点$P$作$PE ⊥ OA$于点$E$，$PF ⊥ OB$于点$F$，
$\therefore ∠ PEC = ∠ PFD = 90°$。
$\because OM$是$∠ AOB$的平分线，点$P$在$OM$上，
$\therefore$由角平分线的性质可得$PE = PF$。
$\because ∠ CPD = 90°$，$∠ EPF = 90°$，
$\therefore ∠ CPE + ∠ EPD = ∠ FPD + ∠ EPD = 90°$，
$\therefore ∠ CPE = ∠ FPD$。
在$△ CPE$和$△ DPF$中：
$\begin{cases}∠ PEC = ∠ PFD \\PE = PF \\∠ CPE = ∠ DPF\end{cases}$
$\therefore △ CPE ≌ △ DPF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PC = PD$。
【答案】
$PC=PD$，证明如下：作 $PE ⊥ OC$ 于点 $E, PF ⊥ OB$ 于点 $F. \because OM$ 是 $∠ AOB$ 的平分线, $\therefore ∠ PEC = ∠ PFD = 90°, PE = PF. \because ∠ CPE + ∠ EPD = ∠ FPD + ∠ EPD = 90°,$ $\therefore ∠ EPC = ∠ FPD. \therefore △ CPE ≌ △ DPF. \therefore PC = PD$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型基础题，解题核心是掌握角平分线相关的常用辅助线作法，通过作垂线段构造全等三角形，即可快速证明线段相等，该辅助线作法在角平分线相关的几何题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
