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任务二 认识三角形的高
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作三角形的高线？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
探究2：任意画一个锐角三角形，并画出它的三条高线。
即时测评
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作三角形的高线？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间
的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。探究2：任意画一个锐角三角形，并画出它的三条高线。
即时测评
答案
探究1：顶点和垂足之间
探究2：略
探究2：略
解析
【分析】
探究1考察三角形高线的定义记忆，我们回忆定义的构成要素：作高的起点是三角形的一个顶点，作垂线后和对边所在直线的交点是垂足，高是连接这两个点的线段，因此空缺处对应描述两个端点之间的内容即可。探究2考察锐角三角形高的作图能力，作图时只需用直角三角板，分别过三个顶点向对边作垂线段，标注垂直符号即可完成。
【解析】
探究1：根据三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，因此应填“顶点和垂足之间”。
探究2：先任意画出一个锐角三角形，再分别过三个顶点作对边的垂线段，标注好垂直符号即为所求的三条高线，因此答案为略。
【答案】
探究1：顶点和垂足之间
探究2：略
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 三角形高的画法
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对三角形高的概念的识记和基础作图能力，牢记相关定义是完成概念填空和正确作图的核心。
【难度系数】
0.9
探究1考察三角形高线的定义记忆，我们回忆定义的构成要素：作高的起点是三角形的一个顶点，作垂线后和对边所在直线的交点是垂足，高是连接这两个点的线段，因此空缺处对应描述两个端点之间的内容即可。探究2考察锐角三角形高的作图能力，作图时只需用直角三角板，分别过三个顶点向对边作垂线段，标注垂直符号即可完成。
【解析】
探究1：根据三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，因此应填“顶点和垂足之间”。
探究2：先任意画出一个锐角三角形，再分别过三个顶点作对边的垂线段，标注好垂直符号即为所求的三条高线，因此答案为略。
【答案】
探究1：顶点和垂足之间
探究2：略
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 三角形高的画法
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对三角形高的概念的识记和基础作图能力，牢记相关定义是完成概念填空和正确作图的核心。
【难度系数】
0.9
画$△ ABC$的$BC$边上的高，正确的是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是△ABC的BC边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。BC边对应的顶点是A，因此BC边上的高需要满足两个条件：①过点A；②与BC所在的直线垂直，垂足在BC所在直线上。接下来我们逐一排查选项：首先排除不是过点A作垂线的A、B选项，再排除没有垂直关系的D选项，就能选出正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
要作△ABC中BC边上的高，需过顶点A作BC所在直线的垂线：
选项A：所作线段是过点C垂直于AB的线段，是AB边上的高，不符合要求，错误；
选项B：所作线段CD没有过顶点A，不符合高的定义，错误；
选项C：过点A向BC的延长线作垂线，垂足为D，AD满足BC边上高的要求，正确；
选项D：所作线段AD与BC所在直线不垂直，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题时要紧扣高的两个核心特征：过对应顶点、垂直于对边所在直线，注意钝角三角形夹钝角的两条边上的高会落在三角形外部，不要错误认为高必须在三角形内部。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是△ABC的BC边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。BC边对应的顶点是A，因此BC边上的高需要满足两个条件：①过点A；②与BC所在的直线垂直，垂足在BC所在直线上。接下来我们逐一排查选项：首先排除不是过点A作垂线的A、B选项，再排除没有垂直关系的D选项，就能选出正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
要作△ABC中BC边上的高，需过顶点A作BC所在直线的垂线：
选项A：所作线段是过点C垂直于AB的线段，是AB边上的高，不符合要求，错误；
选项B：所作线段CD没有过顶点A，不符合高的定义，错误；
选项C：过点A向BC的延长线作垂线，垂足为D，AD满足BC边上高的要求，正确；
选项D：所作线段AD与BC所在直线不垂直，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题时要紧扣高的两个核心特征：过对应顶点、垂直于对边所在直线，注意钝角三角形夹钝角的两条边上的高会落在三角形外部，不要错误认为高必须在三角形内部。
【难度系数】
0.8
任务三 认识三角形的角平分线
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究：什么叫作三角形的角平分线？
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
即时测评
三角形的角平分线是
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究：什么叫作三角形的角平分线？
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间
的线段叫作三角形的角平分线。即时测评
三角形的角平分线是
线段
。（填“射线”“线段”或“直线”）答案
探究：这个角的顶点与交点之间
即时测评：线段
即时测评：线段
解析
【分析】
解题时先围绕三角形角平分线的定义展开思考：1. 填写探究空时，要明确内角的角平分线本身是射线，但和对边相交后，只有角的顶点到交点的部分属于三角形的角平分线，需要准确描述这一段的范围。2. 做即时测评时，结合线段、射线、直线的特征判断：线段有两个端点，射线只有1个端点，直线无端点，三角形的角平分线有两个明确的端点，以此确定它的类型。
【解析】
1. 探究部分：根据三角形角平分线的官方定义，在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线，所以此处填写“这个角的顶点与交点之间”。
2. 即时测评部分：由定义可知，三角形的角平分线有两个固定端点（角的顶点、对边上的交点），符合线段的特征，注意普通角的平分线是射线，但三角形的角平分线是线段，所以此处填“线段”。
【答案】
探究：这个角的顶点与交点之间；即时测评：线段
【知识点】
三角形角平分线的定义；线段射线直线的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考点是区分三角形的角平分线和普通角平分线的差异，熟记相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先围绕三角形角平分线的定义展开思考：1. 填写探究空时，要明确内角的角平分线本身是射线，但和对边相交后，只有角的顶点到交点的部分属于三角形的角平分线，需要准确描述这一段的范围。2. 做即时测评时，结合线段、射线、直线的特征判断：线段有两个端点，射线只有1个端点，直线无端点，三角形的角平分线有两个明确的端点，以此确定它的类型。
【解析】
1. 探究部分：根据三角形角平分线的官方定义，在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线，所以此处填写“这个角的顶点与交点之间”。
2. 即时测评部分：由定义可知，三角形的角平分线有两个固定端点（角的顶点、对边上的交点），符合线段的特征，注意普通角的平分线是射线，但三角形的角平分线是线段，所以此处填“线段”。
【答案】
探究：这个角的顶点与交点之间；即时测评：线段
【知识点】
三角形角平分线的定义；线段射线直线的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考点是区分三角形的角平分线和普通角平分线的差异，熟记相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
任务四 探索三角形三条中线的位置关系
探究：任意画一个三角形，并画出它的三条中线。观察所画图形，三条中线有怎样的位置关系？
新知生成：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
探究：任意画一个三角形，并画出它的三条中线。观察所画图形，三条中线有怎样的位置关系？
新知生成：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
答案
解：如图，线段AD，BE，CF就是所画△ABC的三条中线。观察可知，三角形的三条中线交于一点。
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。首先我们分别找到△ABC三边的中点：BC边中点D、AC边中点E、AB边中点F；再分别连接顶点和对应的对边中点，得到三条中线AD、BE、CF；最后观察三条中线的位置，就能总结出它们的交点特征。
【解析】
1. 回忆三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。
2. 画中线：先找到BC边的中点D，连接AD，AD就是BC边上的中线；再找到AC边的中点E，连接BE，BE就是AC边上的中线；最后找到AB边的中点F，连接CF，CF就是AB边上的中线。
3. 观察位置：观察画出的三条中线AD、BE、CF，可以看到三条线段相交于同一个点，该点就是三角形的重心。
【答案】
解：如图，线段AD，BE，CF就是所画△ABC的三条中线。观察可知，三角形的三条中线交于一点。
【知识点】
三角形中线的定义；三角形重心的概念
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过动手画图观察即可得到结论，需熟练掌握三角形中线的画法，牢记三角形三条中线交于重心这一特性。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。首先我们分别找到△ABC三边的中点：BC边中点D、AC边中点E、AB边中点F；再分别连接顶点和对应的对边中点，得到三条中线AD、BE、CF；最后观察三条中线的位置，就能总结出它们的交点特征。
【解析】
1. 回忆三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。
2. 画中线：先找到BC边的中点D，连接AD，AD就是BC边上的中线；再找到AC边的中点E，连接BE，BE就是AC边上的中线；最后找到AB边的中点F，连接CF，CF就是AB边上的中线。
3. 观察位置：观察画出的三条中线AD、BE、CF，可以看到三条线段相交于同一个点，该点就是三角形的重心。
【答案】
解：如图，线段AD，BE，CF就是所画△ABC的三条中线。观察可知，三角形的三条中线交于一点。
【知识点】
三角形中线的定义；三角形重心的概念
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过动手画图观察即可得到结论，需熟练掌握三角形中线的画法，牢记三角形三条中线交于重心这一特性。
【难度系数】
0.9
如图为一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起。若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是
（
A.N点
B.M点
C.P点
D.Q点
（
A
）A.N点
B.M点
C.P点
D.Q点
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆相关知识：厚薄均匀的三角形的重心是三条中线的交点，位于三角形内部，是三角形重力的等效作用点。当悬挂三角形硬纸板平衡时，悬挂线一定经过重心，所以我们先排除位于三角形边上的点，再对比内部的两个点，选择更接近重心位置的点即可。
【解析】
质地均匀、厚薄均匀的三角形硬纸板的重心为三条中线的交点，位于三角形内部。当通过某点悬挂硬纸板并保持平衡时，说明该点所在的悬挂线经过重心：
1. 观察选项中的点，P点、Q点在三角形的边上，不符合重心位于内部的特点，排除C、D选项；
2. 对比三角形内部的M点和N点，N点位置更接近三角形的重心位置，M点过于靠近底边，距离重心较远，因此符合要求的是N点。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心；重心性质；平衡条件
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，既考查了三角形重心的位置特点，也考查了学生对平衡现象的理解，引导学生学会用所学知识解释生活中的常见问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相关知识：厚薄均匀的三角形的重心是三条中线的交点，位于三角形内部，是三角形重力的等效作用点。当悬挂三角形硬纸板平衡时，悬挂线一定经过重心，所以我们先排除位于三角形边上的点，再对比内部的两个点，选择更接近重心位置的点即可。
【解析】
质地均匀、厚薄均匀的三角形硬纸板的重心为三条中线的交点，位于三角形内部。当通过某点悬挂硬纸板并保持平衡时，说明该点所在的悬挂线经过重心：
1. 观察选项中的点，P点、Q点在三角形的边上，不符合重心位于内部的特点，排除C、D选项；
2. 对比三角形内部的M点和N点，N点位置更接近三角形的重心位置，M点过于靠近底边，距离重心较远，因此符合要求的是N点。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心；重心性质；平衡条件
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，既考查了三角形重心的位置特点，也考查了学生对平衡现象的理解，引导学生学会用所学知识解释生活中的常见问题。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
解：
1. 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
性质：任意三角形都有三条中线，全部位于三角形内部，三条中线交于同一点；三角形的任意一条中线都可以将原三角形分成两个面积相等的小三角形。
2. 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；
直角三角形的两条直角边本身就是它的两条高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
3. 三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
性质：任意三角形都有三条角平分线，全部位于三角形内部，三条角平分线交于三角形内同一点。
1. 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
性质：任意三角形都有三条中线，全部位于三角形内部，三条中线交于同一点；三角形的任意一条中线都可以将原三角形分成两个面积相等的小三角形。
2. 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；
直角三角形的两条直角边本身就是它的两条高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
3. 三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
性质：任意三角形都有三条角平分线，全部位于三角形内部，三条角平分线交于三角形内同一点。
解析
【分析】
这道题要求构建三角形的中线、高、角平分线的知识体系，解题时可按照分类梳理的思路，先将三类线段分开，每一类分别从定义、性质两个维度归纳内容；归纳性质时要注意区分不同类型三角形的线段特点，尤其要明确三角形的高在锐角、直角、钝角三角形中的位置、交点位置的差异，保证知识梳理完整清晰。
【解析】
我们按照三类线段分别梳理知识点：
1. 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
性质：任意三角形都有三条中线，全部位于三角形内部，三条中线交于同一点；三角形的任意一条中线都可以将原三角形分成两个面积相等的小三角形。
2. 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；
直角三角形的两条直角边本身就是它的两条高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
3. 三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
性质：任意三角形都有三条角平分线，全部位于三角形内部，三条角平分线交于三角形内同一点。
【答案】
1. 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
性质：任意三角形都有三条中线，全部位于三角形内部，三条中线交于同一点；三角形的任意一条中线都可以将原三角形分成两个面积相等的小三角形。
2. 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；
直角三角形的两条直角边本身就是它的两条高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
3. 三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
性质：任意三角形都有三条角平分线，全部位于三角形内部，三条角平分线交于三角形内同一点。
【知识点】
三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念梳理类题目，核心考查对三角形三类重要线段的定义、性质的掌握情况，需要注意区分不同类型三角形的高的特点，通过梳理可以帮助学生理清易混概念，夯实几何基础。
【难度系数】
0.8
这道题要求构建三角形的中线、高、角平分线的知识体系，解题时可按照分类梳理的思路，先将三类线段分开，每一类分别从定义、性质两个维度归纳内容；归纳性质时要注意区分不同类型三角形的线段特点，尤其要明确三角形的高在锐角、直角、钝角三角形中的位置、交点位置的差异，保证知识梳理完整清晰。
【解析】
我们按照三类线段分别梳理知识点：
1. 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
性质：任意三角形都有三条中线，全部位于三角形内部，三条中线交于同一点；三角形的任意一条中线都可以将原三角形分成两个面积相等的小三角形。
2. 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；
直角三角形的两条直角边本身就是它的两条高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
3. 三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
性质：任意三角形都有三条角平分线，全部位于三角形内部，三条角平分线交于三角形内同一点。
【答案】
1. 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
性质：任意三角形都有三条中线，全部位于三角形内部，三条中线交于同一点；三角形的任意一条中线都可以将原三角形分成两个面积相等的小三角形。
2. 三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；
直角三角形的两条直角边本身就是它的两条高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
3. 三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
性质：任意三角形都有三条角平分线，全部位于三角形内部，三条角平分线交于三角形内同一点。
【知识点】
三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念梳理类题目，核心考查对三角形三类重要线段的定义、性质的掌握情况，需要注意区分不同类型三角形的高的特点，通过梳理可以帮助学生理清易混概念，夯实几何基础。
【难度系数】
0.8
