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任务一
探究三角形三条角平分线的位置关系
探究：任意画一个三角形，并画出它的三条角平分线。观察所画图形，三条角平分线之间有怎样的位置关系？
归纳总结
三角形的三条角平分线交于一点。
即时测评
探究三角形三条角平分线的位置关系
探究：任意画一个三角形，并画出它的三条角平分线。观察所画图形，三条角平分线之间有怎样的位置关系？
归纳总结
三角形的三条角平分线交于一点。
即时测评
答案
解：如图，线段AD，BE，CF就是所画△ABC的三条角平分线。观察可知，三角形的三条角平分线交于一点。
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段就是该三角形的角平分线。首先我们需要分别画出△ABC三个内角的角平分线，再观察三条角平分线的位置特征，就能总结出对应的规律。
【解析】
1. 画角平分线：作∠BAC的角平分线，交BC边于点D，得到线段AD；作∠ABC的角平分线，交AC边于点E，得到线段BE；作∠ACB的角平分线，交AB边于点F，得到线段CF。线段AD、BE、CF就是△ABC的三条角平分线。
2. 观察图形：可以看到AD、BE、CF三条线段相交于同一个点。
由此可得结论：三角形的三条角平分线交于一点。
【答案】
解：如图，线段AD，BE，CF就是所画△ABC的三条角平分线。观察可知，三角形的三条角平分线交于一点。
【知识点】
1. 三角形角平分线的定义
2. 三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过动手画图、观察总结的方式引导学生掌握三角形三条角平分线的位置特征，能帮助学生直观理解相关几何性质，为后续三角形相关知识的学习打下基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段就是该三角形的角平分线。首先我们需要分别画出△ABC三个内角的角平分线，再观察三条角平分线的位置特征，就能总结出对应的规律。
【解析】
1. 画角平分线：作∠BAC的角平分线，交BC边于点D，得到线段AD；作∠ABC的角平分线，交AC边于点E，得到线段BE；作∠ACB的角平分线，交AB边于点F，得到线段CF。线段AD、BE、CF就是△ABC的三条角平分线。
2. 观察图形：可以看到AD、BE、CF三条线段相交于同一个点。
由此可得结论：三角形的三条角平分线交于一点。
【答案】
解：如图，线段AD，BE，CF就是所画△ABC的三条角平分线。观察可知，三角形的三条角平分线交于一点。
【知识点】
1. 三角形角平分线的定义
2. 三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过动手画图、观察总结的方式引导学生掌握三角形三条角平分线的位置特征，能帮助学生直观理解相关几何性质，为后续三角形相关知识的学习打下基础。
【难度系数】
0.9
如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD⊥BC，AE是△ABC的角平分线，求∠DAE的度数。
答案
解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，
所以∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−30°=90°。
因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠BAE=1/2∠BAC=45°。
因为AD⊥BC，
所以∠ADB=90°。
所以在△ADB中，∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°。
所以∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°。
所以∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−30°=90°。
因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠BAE=1/2∠BAC=45°。
因为AD⊥BC，
所以∠ADB=90°。
所以在△ADB中，∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°。
所以∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°。
解析
【分析】
解题思路：首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC的顶角∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，算出AE分出的∠BAE的度数；接着由AD是BC边上的高，可知△ADB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAD的度数；最后根据角的和差关系，用∠BAE减去∠BAD就能得到∠DAE的度数。
【解析】
在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−30°=90°。
因为AE是△ABC的角平分线，
所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠BAD和∠B互余，因此：
∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°。
所以∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形基础计算的典型题，综合考查了三角形的高、角平分线的性质以及内角和定理，解题核心是理清各角之间的数量关系，按步骤逐步推导即可，能很好地巩固三角形相关基础概念。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC的顶角∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，算出AE分出的∠BAE的度数；接着由AD是BC边上的高，可知△ADB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAD的度数；最后根据角的和差关系，用∠BAE减去∠BAD就能得到∠DAE的度数。
【解析】
在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−30°=90°。
因为AE是△ABC的角平分线，
所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠BAD和∠B互余，因此：
∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°。
所以∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形基础计算的典型题，综合考查了三角形的高、角平分线的性质以及内角和定理，解题核心是理清各角之间的数量关系，按步骤逐步推导即可，能很好地巩固三角形相关基础概念。
【难度系数】
0.8
任务二 探究三角形三条高的位置关系
阅读材料，完成下列探究。
在纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形。
探究1：用三角板分别画出三个三角形的三条高。
探究2：在每个三角形中，这三条高交于一点吗？它们所在的直线呢？
新知生成：三角形的三条高所在的
归纳总结
锐角三角形⇔三条高的交点在三角形内部；
直角三角形⇔三条高的交点是直角顶点；
钝角三角形⇔三条高所在直线的交点在三角形外部。
阅读材料，完成下列探究。
在纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形。
探究1：用三角板分别画出三个三角形的三条高。
探究2：在每个三角形中，这三条高交于一点吗？它们所在的直线呢？
新知生成：三角形的三条高所在的
直线
交于一点。归纳总结
锐角三角形⇔三条高的交点在三角形内部；
直角三角形⇔三条高的交点是直角顶点；
钝角三角形⇔三条高所在直线的交点在三角形外部。
答案
探究1 略
探究2 解：锐角三角形的三条高交于一点。直角三角形的三条高交于一点。钝角三角形的三条高不交于一点。所有三角形的三条高所在的直线均交于一点。
新知生成 直线
探究2 解：锐角三角形的三条高交于一点。直角三角形的三条高交于一点。钝角三角形的三条高不交于一点。所有三角形的三条高所在的直线均交于一点。
新知生成 直线
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型三角形高的画法：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部。先按要求画出三类三角形的三条高，再分别观察高本身的交点情况，接着将高延长为直线观察直线的交点情况，最后归纳所有三角形的共性规律即可得到结论。
【解析】
探究1：根据三角形高的定义，用三角板的直角边对齐三角形的边，过对顶点向对应边作垂线即可画出三条高，操作过程略。
探究2：观察画出的三个三角形的高可得：
1. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高本身交于三角形内部的一点；
2. 直角三角形的两条直角边互为对边上的高，斜边上的高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
3. 钝角三角形仅有钝角对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部，三条高本身没有公共交点，但将三条高分别延长为直线后，三条直线会交于三角形外部的一点。
综合三类三角形的规律可知，所有三角形的三条高所在的直线均交于一点，因此新知生成的横线处填“直线”。
【答案】
探究1 略
探究2 锐角三角形的三条高交于一点。直角三角形的三条高交于一点。钝角三角形的三条高不交于一点。所有三角形的三条高所在的直线均交于一点。
新知生成 直线
【知识点】
1. 三角形的高的定义
2. 三角形高的交点性质
【点评】
本题通过动手操作探究的形式，引导学生总结不同类型三角形高的交点规律，需要注意区分“高的交点”和“高所在直线的交点”的差异，尤其是钝角三角形的特殊情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确不同类型三角形高的画法：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部。先按要求画出三类三角形的三条高，再分别观察高本身的交点情况，接着将高延长为直线观察直线的交点情况，最后归纳所有三角形的共性规律即可得到结论。
【解析】
探究1：根据三角形高的定义，用三角板的直角边对齐三角形的边，过对顶点向对应边作垂线即可画出三条高，操作过程略。
探究2：观察画出的三个三角形的高可得：
1. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高本身交于三角形内部的一点；
2. 直角三角形的两条直角边互为对边上的高，斜边上的高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点；
3. 钝角三角形仅有钝角对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部，三条高本身没有公共交点，但将三条高分别延长为直线后，三条直线会交于三角形外部的一点。
综合三类三角形的规律可知，所有三角形的三条高所在的直线均交于一点，因此新知生成的横线处填“直线”。
【答案】
探究1 略
探究2 锐角三角形的三条高交于一点。直角三角形的三条高交于一点。钝角三角形的三条高不交于一点。所有三角形的三条高所在的直线均交于一点。
新知生成 直线
【知识点】
1. 三角形的高的定义
2. 三角形高的交点性质
【点评】
本题通过动手操作探究的形式，引导学生总结不同类型三角形高的交点规律，需要注意区分“高的交点”和“高所在直线的交点”的差异，尤其是钝角三角形的特殊情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
如图，在$△ ABC$中，AB边上的高为线段
CE
。答案
CE
解析
【分析】
要确定△ABC中AB边上的高，首先回忆三角形高的定义：三角形某条边上的高，是从这条边所对的顶点，向这条边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段。第一步先找到AB边所对的顶点为点C；第二步找从点C出发、垂直于AB所在直线的线段，观察图形可知CE垂直于AB的延长线，垂足为E，符合高的定义，而AD是BC边上的高，因此AB边上的高为CE。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
要找AB边上的高，需过AB的对顶点C，向AB所在直线作垂线：
图中CE⊥AB的延长线，垂足为E，因此线段CE是△ABC中AB边上的高。
【答案】
CE
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的识别，解题时要紧扣定义，注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，避免被“高在三角形内部”的固有思维误导，找准对应顶点和垂线段是解题关键。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC中AB边上的高，首先回忆三角形高的定义：三角形某条边上的高，是从这条边所对的顶点，向这条边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段。第一步先找到AB边所对的顶点为点C；第二步找从点C出发、垂直于AB所在直线的线段，观察图形可知CE垂直于AB的延长线，垂足为E，符合高的定义，而AD是BC边上的高，因此AB边上的高为CE。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
要找AB边上的高，需过AB的对顶点C，向AB所在直线作垂线：
图中CE⊥AB的延长线，垂足为E，因此线段CE是△ABC中AB边上的高。
【答案】
CE
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的识别，解题时要紧扣定义，注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，避免被“高在三角形内部”的固有思维误导，找准对应顶点和垂线段是解题关键。
【难度系数】
0.7
例 如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线。若AC=3，AB=5，BC=4，∠ACB=90°，求：
(1)CD的长；
(2)△EBC与△ACE的周长之差。
(1)CD的长；
(2)△EBC与△ACE的周长之差。
答案
解：(1)因为$\frac{1}{2}AB·CD = S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$，
所以$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)因为CE是△ABC的中线，
所以AE=BE。
所以△EBC与△ACE的周长之差为BE+CE+BC−(AC+CE+AE)=BC−AC=4−3=1。
所以$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)因为CE是△ABC的中线，
所以AE=BE。
所以△EBC与△ACE的周长之差为BE+CE+BC−(AC+CE+AE)=BC−AC=4−3=1。
解析
【分析】
(1)求斜边上的高CD时，已知直角三角形三边长度，可利用三角形面积的两种计算方式：一是两条直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，通过等面积法建立等式即可求解CD的长度。
(2)求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，再结合CE是中线可得AE=BE，两个周长中CE为公共边、AE和BE长度相等，两式相减后相同项可直接抵消，仅需计算BC与AC的差即可得到结果，简化计算过程。
【解析】
(1)
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
将AC=3，BC=4，AB=5代入得：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)
∵CE是△ABC的AB边上的中线，
∴AE=BE。
△EBC的周长为$BE+CE+BC$，△ACE的周长为$AE+CE+AC$，
二者周长差为：
$\begin{split}&(BE+CE+BC)-(AE+CE+AC)\\=&BC-AC\\=&4-3=1\end{split}$
【答案】
(1)$\frac{12}{5}$；(2)$1$
【知识点】
三角形中线与高的性质，等面积法，周长计算
【点评】
本题属于三角形线段性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形高和中线的性质，第一问用等面积法快速求高，第二问通过拆分周长消去相同项简化运算，无需计算未知线段长度即可得结果。
【难度系数】
0.8
(1)求斜边上的高CD时，已知直角三角形三边长度，可利用三角形面积的两种计算方式：一是两条直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，通过等面积法建立等式即可求解CD的长度。
(2)求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，再结合CE是中线可得AE=BE，两个周长中CE为公共边、AE和BE长度相等，两式相减后相同项可直接抵消，仅需计算BC与AC的差即可得到结果，简化计算过程。
【解析】
(1)
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
将AC=3，BC=4，AB=5代入得：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)
∵CE是△ABC的AB边上的中线，
∴AE=BE。
△EBC的周长为$BE+CE+BC$，△ACE的周长为$AE+CE+AC$，
二者周长差为：
$\begin{split}&(BE+CE+BC)-(AE+CE+AC)\\=&BC-AC\\=&4-3=1\end{split}$
【答案】
(1)$\frac{12}{5}$；(2)$1$
【知识点】
三角形中线与高的性质，等面积法，周长计算
【点评】
本题属于三角形线段性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形高和中线的性质，第一问用等面积法快速求高，第二问通过拆分周长消去相同项简化运算，无需计算未知线段长度即可得结果。
【难度系数】
0.8
如图，AD，BE分别是△ABC的高线、中线，若$S_{△ ABE}=8$，$BC=8$，则AD的长为（
A.2
B.4
C.6
D.8
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件BE是三角形的中线入手，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，可先求出△ABC的总面积；再结合AD是BC边上的高，利用三角形面积公式，代入已知的底BC的长度，即可求出高AD的长度。
【解析】
∵BE是△ABC的中线，
∴E为AC的中点，△ABE和△CBE等底同高，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×8=16$，
又
∵AD是△ABC的BC边上的高，$BC=8$，
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，
代入得：$16=\frac{1}{2}×8× AD$，
解得$AD=4$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式；三角形的高
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形中线的面积相关性质以及三角形面积公式的应用，牢记相关性质和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件BE是三角形的中线入手，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，可先求出△ABC的总面积；再结合AD是BC边上的高，利用三角形面积公式，代入已知的底BC的长度，即可求出高AD的长度。
【解析】
∵BE是△ABC的中线，
∴E为AC的中点，△ABE和△CBE等底同高，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×8=16$，
又
∵AD是△ABC的BC边上的高，$BC=8$，
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，
代入得：$16=\frac{1}{2}×8× AD$，
解得$AD=4$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式；三角形的高
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形中线的面积相关性质以及三角形面积公式的应用，牢记相关性质和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
