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19. 3月14日是国际数学日，也称“π日”。2025年3月14日某校组织七年级共300名学生参加华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛。比赛采取积分制，每参加一项可获得10～20分，达到90分及以上的学生可获得纪念徽章。学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生的积分x进行整理、描述，并绘制成下面的统计图(数据分为5组：$20≤x ＜ 40$，$40≤x ＜ 60$，$60≤x ＜ 80$，$80≤x ＜ 100$，$100≤x≤120$)。
根据以上信息，解答下列问题。
(1) 下列抽取样本的方式中，最合理的是
① 从七年级学生中抽取m名男生；
② 从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；
③ 从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生。
(2) 求m的值，并补全频数直方图。
(3) 求$100≤x≤120$这一组所对应的扇形的圆心角度数。
根据以上信息，解答下列问题。
(1) 下列抽取样本的方式中，最合理的是
③
(填序号)。① 从七年级学生中抽取m名男生；
② 从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；
③ 从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生。
(2) 求m的值，并补全频数直方图。
(3) 求$100≤x≤120$这一组所对应的扇形的圆心角度数。
答案
③
解：(2)依题意，得
m = 4÷10\% = 40
积分为100≤x≤120的人数为
40 - 4 - 11 - 7 - 9 = 9
补全频数直方图如图所示。
(3)100≤x≤120这一组所对应的扇
形的圆心角度数是$360°×\frac {9}{40}=81°$
20. 如图所示，在直角三角形ABC中，$∠B = 90°$，$AB = 6 cm$，$BC = 8 cm$，$AC = 10 cm$。点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿$B→C→A$的方向运动，终点为A；点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿$A→B→C$的方向运动，终点为C。已知点P，Q同时出发，运动时间为t s。
(1) 点P到达终点时所需的时间为
(2) 若点P在线段AC上运动，点Q在线段BC上运动，试求出当t为何值时，$BQ = AP$。
(3) 试求出当t为何值时，三角形QAC的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{3}$。
(1) 点P到达终点时所需的时间为
9
s，点Q到达终点时所需的时间为14
s。(2) 若点P在线段AC上运动，点Q在线段BC上运动，试求出当t为何值时，$BQ = AP$。
(3) 试求出当t为何值时，三角形QAC的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{3}$。
答案
$9$
$14$
$14$
$ $解：$(2)$当点$P$在线段$AC$上运动，点$Q$在线段$BC$上运动时，$BQ = (t - 6)cm，$$AP = (18 - 2t)cm。$
$ $因为$BQ = AP，$
$ $所以$t - 6 = 18 - 2t，$解得$t = 8$
$ $所以当$t = 8$时，$BQ = AP。$
$ (3)$当点$Q$在$AB$上时，$AQ = tcm。$
$ $因为三角形$QAC$的面积等于三角形$ABC$面积的$\frac{1}{3}，$即$S_{三角形QAC}=\frac{1}{3}S_{三角形ABC}，$
$ $所以$\frac{1}{2}×t×8 = \frac{1}{2}×6×8×\frac{1}{3}，$
解得$t = 2。$
$ $当点$Q$在$BC$上时，$CQ = BC - BQ = 8 - (t - 6) = (14 - t)cm。$
$ $因为$S_{三角形QAC}=\frac{1}{3}S_{三角形ABC}，$
$ $所以$\frac{1}{2}×(14 - t)×6 = \frac{1}{2}×8×6×\frac{1}{3}，$
解得$t = \frac{34}{3}。$
$ $综上所述，当$t = \frac{34}{3}$或$t = 2$时，三角形$QAC$的面积等于三角形$ABC$面积的$\frac{1}{3}。$
