21. 洋洋和乐乐想从数学角度分析如何让同学们的广播操动作更标准。他们将广播操动作抽象为几何模型，如图所示。两手手心位置分别记为点A，B，两脚脚跟位置分别记为点C，D。若点A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似地看作A，B，C，D绕平面内的一个定点O转动。(本题中的角均大于$0°$且小于或等于$180°$)
(1) 如图①所示，若A，O，B三点共线，且$∠AOC = ∠BOC$，则$∠AOC$的大小为°。
(2) 在第三节踢腿运动中，如图②所示，洋洋发现A，O，B三点共线，但不在水平方向上。若$∠COD = 62°$，$∠AOD : ∠BOC = 6 : 5$，求$∠AOC$的大小。
(3) 在第四节体侧运动中，如图③所示，乐乐发现运动前A，O，B三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，且$∠COD = 30°$，OE平分$∠COD$，$∠AOE = 90°$。运动时，OA，OB绕点O顺时针旋转，OA的旋转速度为每秒$50°$，OB的旋转速度为每秒$25°$。当OB旋转到与OD重合时运动停止。
① 当运动停止时，$∠AOD = $°。
② 在运动过程中，是否存在常数m，使得$∠AOC + m∠BOE$为定值？若存在，求出常数m及该定值；若不存在，请说明理由。

(1)90
解：​
(2)​因为​∠AOD：∠BOC = 6：5，​
所以设​∠AOD = 6α，​则​∠BOC = 5α。​
因为​A，​​O，​​B​三点共线，
所以​∠AOD + ∠BOC - ∠COD = 180°，​
所以​6α + 5α - 62° = 180°，​
解得​α = 22°。​
所以​∠AOD = 6α = 6×22° = 132°，​
所以​∠AOC = ∠AOD - ∠COD ​
​= 132°-62° = 70°。​
​
(3)①105
②​当​A，​​O，​​C​三点共线时，
$​t=(180°-75°)÷50°=2.1(\mathrm {s})，$​
所以当$​0\leqslant t\leqslant 2.1​$时，
​∠AOC = 75°+50°t，
​​∠BOE = 90°-25°t，​
所以​∠AOC + 2∠BOE ​
​= 75°+50°t + 2(90°-25°t)=255°，​
此时​m = 2；​
当$​2.1时，
​∠AOC = 180°-50°(t - 2.1)​
​=285°-50°t，​​∠BOE = 90°-25°t，​
所以​∠AOC - 2∠BOE ​
​= 285°-50°t - 2(90°-25°t)=105°，​
此时​m = - 2。​
综上所述，当$​0\leqslant t\leqslant 2.1​$时，存在常
数​m = 2，​使得​∠AOC + m∠BOE​为
定值​255°；​
当$​2.1时，存在常数​m = - 2，
​使得​∠AOC + m∠BOE​为定值​105°。​