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1. 若关于 $x$ 的方程 $2(x - 1) - 6 = 0$ 与 $1 - \frac{3a - x}{3} = 0$ 的解互为相反数,则 $a$ 的值为(
A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$-1$
A
)。A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$-1$
答案
A
解析
解方程 $2(x - 1) - 6 = 0$：
$2x - 2 - 6 = 0$，
$2x = 8$，
$x = 4$。
根据题意，方程$1 - \frac{3a - x}{3} = 0$的解与$x = 4$互为相反数，即其解为$x = -4$。
将$x = -4$代入方程$1 - \frac{3a - x}{3} = 0$：
$1 - \frac{3a + 4}{3} = 0$，
$3 - (3a + 4) = 0$，
$3 - 3a - 4 = 0$，
$-3a = 1$，
$a = -\frac{1}{3}$。
故答案为：A. $-\frac{1}{3}$。
$2x - 2 - 6 = 0$，
$2x = 8$，
$x = 4$。
根据题意，方程$1 - \frac{3a - x}{3} = 0$的解与$x = 4$互为相反数，即其解为$x = -4$。
将$x = -4$代入方程$1 - \frac{3a - x}{3} = 0$：
$1 - \frac{3a + 4}{3} = 0$，
$3 - (3a + 4) = 0$，
$3 - 3a - 4 = 0$，
$-3a = 1$，
$a = -\frac{1}{3}$。
故答案为：A. $-\frac{1}{3}$。
2. 关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x = 1$ 的解(
A.$x = \frac{1}{m - 1}$
B.当 $m ≠ 1$ 时,$x = \frac{1}{m - 1}$；当 $m = 1$ 时,方程无解
C.无解
D.不能确定
B
)。A.$x = \frac{1}{m - 1}$
B.当 $m ≠ 1$ 时,$x = \frac{1}{m - 1}$；当 $m = 1$ 时,方程无解
C.无解
D.不能确定
答案
B
解析
对于方程 $(m - 1)x = 1$：
当 $m - 1 \neq 0$，即 $m \neq 1$ 时，方程有唯一解 $x = \frac{1}{m - 1}$；
当 $m - 1 = 0$，即 $m = 1$ 时，方程变为 $0 \cdot x = 1$，这是一个自相矛盾的方程，因此无解。
故答案为：B.
当 $m - 1 \neq 0$，即 $m \neq 1$ 时，方程有唯一解 $x = \frac{1}{m - 1}$；
当 $m - 1 = 0$，即 $m = 1$ 时，方程变为 $0 \cdot x = 1$，这是一个自相矛盾的方程，因此无解。
故答案为：B.
3. 已知 $y_1 = 3x + 2$,$y_2 = 4 - x$,若 $y_1 - y_2 = 4$,则 $x$ 的值为
1.5
。答案
1.5
解析
根据题意有：
$y_1 - y_2 = (3x + 2) - (4 - x) = 4$，
展开得：
$3x + 2 - 4 + x = 4$，
合并同类项：
$4x - 2 = 4$，
移项：
$4x = 6$，
解得：
$x = \frac{3}{2} = 1.5$。
故答案为：$1.5$。
$y_1 - y_2 = (3x + 2) - (4 - x) = 4$，
展开得：
$3x + 2 - 4 + x = 4$，
合并同类项：
$4x - 2 = 4$，
移项：
$4x = 6$，
解得：
$x = \frac{3}{2} = 1.5$。
故答案为：$1.5$。
4. 现定义一种新运算：对于任意有理数 $a$,$b$,$c$,$d$,$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$。若对于未知数 $x$,$\begin{vmatrix}2&x\\3&x + 1\end{vmatrix} = 3$,则未知数 $x = $
$-1$
。答案
$-1$
解析
根据新运算定义，有
$\begin{vmatrix}2 \quad x \\3 \quad x + 1\end{vmatrix} = 2(x + 1) - 3x$
已知这个表达式等于3，即
$2(x + 1) - 3x = 3$
展开得
$2x + 2 - 3x = 3$
合并同类项
$-x = 1$
解得
$x = -1$
故答案为：$-1$。
$\begin{vmatrix}2 \quad x \\3 \quad x + 1\end{vmatrix} = 2(x + 1) - 3x$
已知这个表达式等于3，即
$2(x + 1) - 3x = 3$
展开得
$2x + 2 - 3x = 3$
合并同类项
$-x = 1$
解得
$x = -1$
故答案为：$-1$。
5. 若关于 $x$ 的方程 $ax + 3 = 2x - 1$ 的解为正整数,则所有满足条件的整数 $a$ 的值为
$-2$或0或1
。答案
$-2$或0或1
解析
首先，将方程$ax + 3 = 2x - 1$整理为$(a - 2)x = - 4$。
当$a \neq 2$时，可以解得$x = - \frac{4}{a - 2}$。
由于方程的解$x$需要为正整数，那么分母$a - 2$必须是$-4$的负因数，即$a - 2$的值可以为$-1$，$-2$，$-4$。
当$a - 2 = -1$时，$a = 1$；
当$a - 2 = -2$时，$a = 0$；
当$a - 2 = -4$时，$a = -2$。
所以，满足条件的整数$a$的值为$-2$，$0$，$1$。
当$a \neq 2$时，可以解得$x = - \frac{4}{a - 2}$。
由于方程的解$x$需要为正整数，那么分母$a - 2$必须是$-4$的负因数，即$a - 2$的值可以为$-1$，$-2$，$-4$。
当$a - 2 = -1$时，$a = 1$；
当$a - 2 = -2$时，$a = 0$；
当$a - 2 = -4$时，$a = -2$。
所以，满足条件的整数$a$的值为$-2$，$0$，$1$。
6. 解下列方程：
(1) $\frac{5(x + 5)}{6} - \frac{x - 1}{12} = 5$；
(2) $x - \frac{1}{6}[12 - 6(\frac{3}{5}x + 1)] = \frac{3}{7}x - 2$；
(3) $\frac{5 - 0.1x}{1.2} - \frac{x - 0.1}{2.4} = 1$；
(4) $\frac{0.2(0.2 - x)}{0.01} + 1.2x = 0.12 + 20x$。
(1) $\frac{5(x + 5)}{6} - \frac{x - 1}{12} = 5$；
(2) $x - \frac{1}{6}[12 - 6(\frac{3}{5}x + 1)] = \frac{3}{7}x - 2$；
(3) $\frac{5 - 0.1x}{1.2} - \frac{x - 0.1}{2.4} = 1$；
(4) $\frac{0.2(0.2 - x)}{0.01} + 1.2x = 0.12 + 20x$。
答案
（1）$x=1$；（2）$x=-\frac{35}{41}$；（3）$x=\frac{77}{12}$；（4）$x=\frac{1}{10}$
解析
(1)
方程两边同时乘以$12$去分母得：
$10(x + 5) - (x - 1) = 60$
$10x+50 - x + 1 = 60$
$9x=60 - 50 - 1$
$9x = 9$
$x = 1$
(2)
先去中括号内的小括号：
$x-\frac{1}{6}(12 - \frac{18}{5}x - 6)=\frac{3}{7}x - 2$
$x-\frac{1}{6}(6-\frac{18}{5}x)=\frac{3}{7}x - 2$
$x - 1+\frac{3}{5}x=\frac{3}{7}x - 2$
方程两边同时乘以$35$去分母得：
$35x-35 + 21x = 15x-70$
$35x+21x-15x=-70 + 35$
$41x=-35$
$x=-\frac{35}{41}$
(3)
方程$\frac{5 - 0.1x}{1.2}-\frac{x - 0.1}{2.4}=1$分子分母同时乘以$10$化为整数得：
$\frac{50 - x}{12}-\frac{10x - 1}{24}=1$
方程两边同时乘以$24$去分母得：
$2(50 - x)-(10x - 1)=24$
$100-2x-10x + 1 = 24$
$-2x-10x=24 - 100 - 1$
$-12x=-77$
$x=\frac{77}{12}$
(4)
方程$\frac{0.2(0.2 - x)}{0.01}+1.2x = 0.12+20x$可化为：
$\frac{20(0.2 - x)}{1}+1.2x = 0.12+20x$
$4 - 20x+1.2x=0.12+20x$
$-20x+1.2x-20x=0.12 - 4$
$-38.8x=-3.88$
$x=\frac{1}{10}$
