1. 中国文化博大精深,源远流长,其中一些诗歌、对联里所蕴含的数学知识也十分丰富有趣,例如,笼中装满鹅和兔,七十二双眼睛露；数脚正好二百六,多少鹅来多少兔？这首诗歌所含的问题中,如果设鹅有 $ x $ 只,兔有 $ y $ 只,根据题意可列方程组为()。
A.$\begin{cases}x + y = 72,\\x - y = 26\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 72,\\2x + 2y = 260\end{cases} $
C.$\begin{cases}x - y = 72,\\2x + 4y = 260\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 72,\\2x + 4y = 260\end{cases} $

D

设鹅有$x$只，兔有$y$只。
因为每只鹅和兔都有一双眼睛，所以眼睛总数为$x + y = 72$；
每只鹅有$2$只脚，每只兔有$4$只脚，所以脚的总数为$2x + 4y = 260$。
可列方程组为$\begin{cases}x + y = 72\\2x + 4y = 260\end{cases}$。
D

2. 《孙子算经》中记载：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺,木长几何?”(“尺”“寸”为长度单位,$ 1 $ 尺 $ = 10 $ 寸)意思是用一根绳子去量一根长木,绳子还剩 $ 4.5 $ 尺,将绳子对折再量长木,长木还剩余 $ 1 $ 尺,问木长多少尺。现设绳长 $ x $ 尺,木长 $ y $ 尺,则可列二元一次方程组是()。
A.$\begin{cases}y - x = 4.5,\\y - \dfrac{1}{2}x = 1\end{cases} $
B.$\begin{cases}x - y = 4.5,\\y - \dfrac{1}{2}x = 1\end{cases} $
C.$\begin{cases}x - y = 4.5,\\\dfrac{1}{2}x - y = 1\end{cases} $
D.$\begin{cases}y - x = 4.5,\\\dfrac{1}{2}x - y = 1\end{cases} $

B

设绳长为$x$尺，木长为$y$尺。
“引绳度之，余绳四尺五寸”，即绳长比木长长$4.5$尺，可得方程：$x - y = 4.5$；
“屈绳量之，不足一尺”，将绳子对折后长度为$\frac{1}{2}x$尺，此时木长比对折后的绳长长$1$尺，可得方程：$y - \frac{1}{2}x = 1$。
综上，可列二元一次方程组为$\begin{cases}x - y = 4.5\\y - \dfrac{1}{2}x = 1\end{cases}$。
B

3. 某养殖场有 $ 50 $ 只鹿,需建造一些圈舍。小圈舍可以容纳 $ 4 $ 头鹿,大圈舍可以容纳 $ 6 $ 头鹿,求所需圈舍的间数。设大圈舍的间数是 $ x $,小圈舍的间数是 $ y $ 间,用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $：。

$y=\frac{25-3x}{2}$

根据题意，大圈舍容纳鹿的数量为$6x$头，小圈舍容纳鹿的数量为$4y$头，可列方程：$6x + 4y=50$，化简得$4y = 50 - 6x$，两边同时除以$4$，$y=\frac{50 - 6x}{4}=\frac{25 - 3x}{2}$
$y=\frac{25-3x}{2}$

4. 创建文明城市,构建美好家园。为提高垃圾分类意识,幸福社区决定采购 $ A $,$ B $ 两种型号的新型垃圾桶。已知购买 $ 4 $ 个 $ A $ 型垃圾桶和 $ 3 $ 个 $ B $ 型垃圾桶共需要 $ 540 $ 元；购买 $ 6 $ 个 $ A $ 型垃圾桶和 $ 5 $ 个 $ B $ 型垃圾桶共需要 $ 860 $ 元。设 $ A $ 型垃圾桶的单价为 $ x $ 元/个,$ B $ 型垃圾桶的单价为 $ y $ 元/个,则可列方程组为。

$\begin{cases} 4x+3y=540, \\ 6x+5y=860 \end{cases}$

5. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一问题：“今有黄金九枚,白银十一枚,称之重适等。交易其一,金轻十三两。问金、银一枚各重几何。”(“两”为质量单位)意思是甲袋中装有质量相同的黄金 $ 9 $ 枚,乙袋中装有质量相同的白银 $ 11 $ 枚,且两袋的总质量相等。两袋互相交换 $ 1 $ 枚后,甲袋比乙袋轻了 $ 13 $ 两。问黄金、白银每枚各重多少两。设每枚黄金重 $ x $ 两,每枚白银重 $ y $ 两,已经列出一个方程 $ 9x = 11y $,则另一个方程是。

$(10y+x)-(8x+y)=13$

6. 有大小两种船,$ 1 $ 艘大船与 $ 4 $ 艘小船一次可载乘客 $ 46 $ 名,$ 2 $ 艘大船与 $ 3 $ 艘小船一次可载乘客 $ 57 $ 名。$ 3 $ 艘大船与 $ 6 $ 艘小船一次可载乘客多少名?

解：设1艘大船一次可载乘客x名，1艘小船一次可载乘客y名。根据题意得$\begin{cases} x+4y=46, \\ 2x+3y=57, \end{cases}$解这个方程组得$\begin{cases} x=18, \\ y=7, \end{cases}$所以$3x+6y=3×18+6×7=96$，所以3艘大船与6艘小船一次可载乘客96名。