9.有一道数学题:两个多项式$A,B,B=2x^2-4x-6$,试求$A-2B$。某同学做题时,把“$A-2B$”看成了“$A+2B$”,结果求出的答案是$7x^2-8x-11$,那么$A-2B$的正确答案是什么?

解：
由题意得 $A + 2B = 7x^2 - 8x - 11$，
因此 $A = 7x^2 - 8x - 11 - 2B$。
将 $B=2x^2-4x-6$ 代入上式：
$\begin{aligned}A&=7x^2 -8x -11 -2(2x^2 -4x -6)\\&=7x^2 -8x -11 -4x^2 +8x +12\\&=3x^2 +1\end{aligned}$
再计算$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=3x^2 +1 -2(2x^2 -4x -6)\\&=3x^2 +1 -4x^2 +8x +12\\&=-x^2 +8x +13\end{aligned}$
答：$A-2B$的正确答案是$-x^2 +8x +13$。

1. (2024·哈尔滨)如图3,用棋子摆出一组形如正方形的图形,按照这种方法摆下去,摆出第5个图形需要棋子 ()


A.16枚
B.20枚
C.24枚
D.25枚

B

先统计前3个图形的棋子数量：第1个图形棋子数为4，第2个图形棋子数为8，第3个图形棋子数为12。推导规律：第n个图形的棋子数可表示为$(n+1)^2-(n-1)^2$，去括号展开得：
$(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=n^2+2n+1-n^2+2n-1=4n$
将n=5代入，得$4×5=20$，即第5个图形需要20枚棋子。

2. 如图4,第①个图形中一共有1个正方形,第②个图形中一共有3个正方形,第③个图形中一共有5个正方形……则第⑳个图形中正方形的个数是 ()


A.38
B.39
C.40
D.41

B

观察已知图形的正方形个数：第①个图形正方形个数为1=2×1-1，第②个图形为3=2×2-1，第③个图形为5=2×3-1，由此归纳得到第n个图形的正方形个数的代数式为2n-1。将n=20代入该式，计算得2×20-1=39。

3. (2025·河南)观察$2x,4x^2,6x^3,8x^4,\dots,$根据这些式子的变化规律，可得第$n$个式子为。

解：
观察已知式子的系数：第1个式子系数为2=2×1，第2个式子系数为4=2×2，第3个式子系数为6=2×3，第4个式子系数为8=2×4，由此可得第n个式子的系数为2n；
观察已知式子中x的次数：第1个式子x的次数为1，第2个式子x的次数为2，第3个式子x的次数为3，第4个式子x的次数为4，由此可得第n个式子中x的次数为n。
因此第n个式子为$2nx^n$。