1.将多项式$3a + 6a^2b$进行因式分解，得到的结果是().

A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$

A

【分析】
这是一道用提公因式法进行因式分解的基础题，解题思路分两步走：第一步先确定多项式的公因式，公因式的确定方法是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，将多项式的每一项都除以公因式，把得到的结果放在括号里，公因式放在括号外，最后对照选项选出结果即可。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$3a + 6a^2b$的两项系数分别是3和6，最大公约数是3；两项都含有的相同字母是a，a的最低次幂是1次，因此公因式为$3a$。
第二步：提取公因式
将每一项除以公因式$3a$：
$3a÷3a=1$，$6a^2b÷3a=2ab$
因此$3a + 6a^2b=3a(1+2ab)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确确定公因式，提取公因式时要注意不要漏写原式中与公因式相同的项，同时注意运算的准确性。
【难度系数】
0.9

2.把多项式$m^2(a-2)+m(2-a)$分解因式的结果是().

A.$(a-2)(m^2+m)$
B.$(a-2)(m^2 - m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$

C

【分析】
首先观察多项式的两项，发现含有$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一公因式的形式；再确定两项的公因式为$m(a-2)$，提取公因式后检查是否分解彻底（即每个因式都不能再分解），即可得到正确结果。解题时要注意避免符号变换错误、公因式提取不彻底的问题。
【解析】
1. 对原式中的$(2-a)$进行符号变形：
因为$2-a=-(a-2)$，所以原式可改写为：
$m^2(a-2)-m(a-2)$
2. 提取公因式$m(a-2)$：
将公因式提出后，剩余部分分别为$m$和$1$，即：
$m(a-2)· m - m(a-2)·1 = m(a-2)(m-1)$
3. 检查分解结果：因式$m$、$(a-2)$、$(m-1)$均无法继续分解，符合因式分解的要求。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，多项式符号变换
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点集中在两处：一是处理互为相反数的多项式时符号变换出错，容易误选D；二是公因式提取不彻底，未将剩余部分的公因式全部提出，容易误选A、B。解题时按照“统一形式→提取公因式→检查分解是否彻底”的步骤操作即可规避错误。
【难度系数】
0.8

3.已知$x(y-1)+(\_\_\_\_\_\_)=(y-1)(x+3)$，若括号内所填的式子记为$A$，则$A=\_\_\_\_\_\_$。

$3y-3$

【分析】
要求式子A，可根据等式的基本性质对原式变形，得到$A=(y-1)(x+3)-x(y-1)$。观察变形后的式子，两项都含有公因式$(y-1)$，可提取公因式化简，也可以将左右两边的整式展开后合并同类项，两种方法都能求出A的表达式。
【解析】
根据题意对原式移项可得：
$A=(y-1)(x+3)-x(y-1)$
观察发现两项均含有公因式$(y-1)$，提取公因式得：
$A=(y-1)[(x+3)-x]$
化简括号内的算式：$(x+3)-x=3$
因此$A=3(y-1)=3y-3$
（也可通过展开整式验证：右边$(y-1)(x+3)=xy+3y-x-3$，左边已知项$x(y-1)=xy-x$，两式相减得$xy+3y-x-3-(xy-x)=3y-3$，结果一致）
【答案】
$3y-3$
【知识点】
等式的性质、提公因式法、整式的运算
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，重点考查对公因式为多项式的提公因式法的掌握，解题方法灵活，既能通过提取公因式快速求解，也可以通过整式的加减运算推导结果，有助于巩固因式分解的基础方法。
【难度系数】
0.8

4. 分解因式：
(1) $-2x^2 + 32x$；
(2) $6x(x+y) - 4y(x+y)$；
(3) $a(x-a) + b(a-x) - c(x-a)$。

解 (1) $-2x^2 + 32x = -2x(x-16)$。
(2)$6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y)$。
(3)$a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c)$。

【分析】
这三道题均考查用提公因式法分解因式，解题核心是先准确找到各项的公因式，再提取公因式完成分解，具体思路如下：
1. 第(1)题：先观察两项的系数和字母，首项系数为负，优先提取负号，系数的最大公约数是2，相同字母为x且最低次数为1，因此公因式为-2x，提取后计算剩余项即可。
2. 第(2)题：两项都含有整体因式(x+y)，系数6和4的最大公约数是2，因此公因式为2(x+y)，提取后化简剩余项。
3. 第(3)题：先将中间项的(a-x)变形为-(x-a)，即可发现三项的公因式为(x-a)，提取公因式后合并剩余项即可。
【解析】
(1) 确定公因式为$-2x$，提取公因式：
$-2x^2 + 32x = -2x · x + (-2x) · (-16) = -2x(x - 16)$
(2) 确定公因式为$2(x+y)$，提取公因式：
$6x(x+y) - 4y(x+y) = 2(x+y) · 3x - 2(x+y) · 2y = 2(x+y)(3x - 2y)$
(3) 先将$b(a-x)$变形为$-b(x-a)$，确定公因式为$(x-a)$，提取公因式：
$a(x-a) + b(a-x) - c(x-a) = a(x-a) - b(x-a) - c(x-a) = (x-a)(a - b - c)$
【答案】
(1) $-2x(x-16)$；(2) $2(x+y)(3x-2y)$；(3) $(x-a)(a-b-c)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的识别能力，尤其是将多项式视为整体提取公因式的方法，以及变形过程中的符号处理规则，熟练掌握提公因式的基本步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 把多项式$-8a^2b^3c + 16a^2b^2c^2 - 24a^3bc^3$因式分解，应提的公因式是().

A.$-8a^2bc$
B.$2a^2b^2c^3$
C.$-4abc$
D.$24a^3b^3c^3$

A

【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按三步规则判断：①看系数：取各项系数的最大公约数，若多项式首项符号为负，要将负号一起提出；②看字母：取各项都含有的相同字母；③看指数：取相同字母的最低次幂，将三部分组合即可得到公因式，按该规则逐步分析题干多项式即可。
【解析】
1. 确定公因式的系数部分：多项式各项系数为-8、16、-24，三者的最大公约数是8，且首项系数为负，因此系数部分取-8；
2. 确定公因式的字母部分：观察三项的组成，均含有a、b、c三个字母，因此公因式包含a、b、c；
3. 确定相同字母的最低次幂：a的次数分别为2、2、3，最低次为2；b的次数分别为3、2、1，最低次为1；c的次数分别为1、2、3，最低次为1。
将三部分组合，可得公因式为$-8a^2bc$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握该方法是后续学习复杂因式分解的重要前提。
【难度系数】
0.8

6.如图,边长为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则$a^2b + ab^2$的值为().

A.24
B.70
C.40
D.140

B 解析 由题意,得$2(a+b)=14$，$ab=10$，
$\therefore a+b=7$，
$\therefore a^2b + ab^2 = ab(a+b)=10×7=70$，故选B。

【分析】
首先梳理已知条件：根据长方形的周长公式可得到$a+b$的数值，根据长方形面积公式可直接得到$ab$的数值。再观察待求代数式$a^2b+ab^2$，发现两项都含有公因式$ab$，用提公因式法因式分解后，式子可变形为$ab(a+b)$，正好可以代入前面得到的两个数值计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：根据长方形周长、面积公式，结合题意可得：
$2(a+b)=14$，$ab=10$
整理得：$a+b=7$
对所求代数式提取公因式$ab$进行因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
将$ab=10$，$a+b=7$代入上式：
原式$=10×7=70$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、长方形周长与面积计算、代数式求值
【点评】
本题是基础的代数几何结合类题目，核心考查提公因式法因式分解的应用，解题关键是从几何条件中提炼出$a+b$和$ab$的值，再对待求式变形后代入计算，避免了单独求解$a$、$b$的繁琐步骤，掌握提公因式法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. 先分解因式，再求值：
$4a(b-2)+3a(2-b)^2$，其中$a=\dfrac{3}{2},b=6.$

解 $4a(b-2)+3a(2-b)^2$
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2=(b-2)[4a+3a(b-2)]$
$=(b-2)(4a-6a+3ab)$
$=(b-2)(3ab-2a)$
$=a(b-2)(3b-2)$，
当 $a=\dfrac{3}{2},b=6$ 时，原式$=\dfrac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)=\dfrac{3}{2}×4×16=96$。

【分析】
本题要求先分解因式再求值，解题时先观察多项式的结构特征，发现两项中均含有与$(b-2)$相关的因式，注意到互为相反数的两个数的偶次幂相等，即$(2-b)^2=(b-2)^2$，因此可以先统一因式的形式，再提取公因式对多项式进行因式分解，化简为最简形式后代入$a$、$b$的数值计算，能有效降低运算量，避免直接代入计算的繁琐。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}&4a(b-2)+3a(2-b)^2\\=&4a(b-2)+3a(b-2)^2\\=&(b-2)[4a+3a(b-2)]\\=&(b-2)(4a+3ab-6a)\\=&(b-2)(3ab-2a)\\=&a(b-2)(3b-2)\end{aligned}$
再代入$a=\dfrac{3}{2},b=6$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)\\&=\dfrac{3}{2}×4×16\\&=6×16\\&=96\end{aligned}$
【答案】
$96$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是准确识别公因式，注意偶次幂下互为相反数的两个式子的等价变形，先分解因式再求值的思路能大幅简化计算，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.8

8. 如图，$△ ABC$是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点$O$是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即$OD=OE=OF=m$.$a,b,c$为$△ ABC$的三边$BC,AC,AB$的长，现测得$m=8.48\ \mathrm{m}$，$a=41\ \mathrm{m},b=34\ \mathrm{m},c=25\ \mathrm{m}$.
(1)这块空地的面积用含$a,b,c,m$的代数式表示为.
(2)利用因式分解求这块空地的面积.

解 (1)$\dfrac{1}{2}ma+\dfrac{1}{2}mb+\dfrac{1}{2}mc$
(2)$S_{\mathrm{空地}}=\dfrac{1}{2}ma+\dfrac{1}{2}mb+\dfrac{1}{2}mc=\dfrac{1}{2}m(a+b+c)$。
当 $m=8.48\ \mathrm{m},a=41\ \mathrm{m},b=34\ \mathrm{m}$，$c=25\ \mathrm{m}$ 时，
原式$=\dfrac{1}{2}×8.48×(41+34+25)=424(\mathrm{m^2})$。
故这块空地的面积为 $424\ \mathrm{m^2}$。

【分析】
(1) 求空地面积可采用分割法：点O到△ABC三边距离均为m，可将△ABC的面积拆分为△OBC、△OAC、△OAB三个小三角形的面积之和，每个小三角形的高都是m，底分别对应BC=a、AC=b、AB=c，根据三角形面积公式分别计算三个小三角形面积后相加，即可得到对应的代数式。
(2) 观察第一问得到的代数式，各项都含有公因式$\frac{1}{2}m$，用提公因式法先因式分解，再代入数值计算，能大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 由面积和的关系可得：
$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}+S_{△ OAB}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· OD=\frac{1}{2}ma$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}AC· OE=\frac{1}{2}mb$，$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· OF=\frac{1}{2}mc$
因此空地面积的代数式为$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$。
(2) 对代数式提取公因式$\frac{1}{2}m$因式分解：
$S_{\mathrm{空地}}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a+b+c)$
将$m=8.48\ \mathrm{m}$，$a=41\ \mathrm{m}$，$b=34\ \mathrm{m}$，$c=25\ \mathrm{m}$代入：
先计算$a+b+c=41+34+25=100\ \mathrm{m}$
则原式$=\frac{1}{2}×8.48×100=424(\mathrm{m^2})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}ma+\dfrac{1}{2}mb+\dfrac{1}{2}mc}$
(2) $\boldsymbol{424\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 三角形面积计算
3. 割补法求面积
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何计算与代数化简的结合，分割法求面积是几何中常用的解题思路，利用因式分解简化运算也体现了代数工具的实用性，整体难度较低，侧重基础方法的应用。
【难度系数】
0.8