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典例2 把下列各式分解因式:
(1)$(x-y)^3 - 3z(y-x)^2$；
(2)$a(a-b-c) + b(b+c-a) + c(c-a+b)$；
(3)$m(5ax + ay -1) - m(3ax - ay -1)$。
温馨提示 提公因式法分解因式的一般步骤:
(1)确定公因式并把每项改写成公因式乘某个整式的积的形式,若第一项的系数是负数,通常先提出负号；
(2)提取公因式,即把原式写成若干个因式的积的形式.
注意:用提公因式法分解因式后,剩下的因式中不能再有公因式.
(1)$(x-y)^3 - 3z(y-x)^2$；
(2)$a(a-b-c) + b(b+c-a) + c(c-a+b)$；
(3)$m(5ax + ay -1) - m(3ax - ay -1)$。
温馨提示 提公因式法分解因式的一般步骤:
(1)确定公因式并把每项改写成公因式乘某个整式的积的形式,若第一项的系数是负数,通常先提出负号；
(2)提取公因式,即把原式写成若干个因式的积的形式.
注意:用提公因式法分解因式后,剩下的因式中不能再有公因式.
答案
解：
(1) 原式$=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)-3z]$
$=(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) 原式$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a - b - c)$
$=(a-b-c)^2$
(3) 原式$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$
(1) 原式$=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)-3z]$
$=(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) 原式$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a - b - c)$
$=(a-b-c)^2$
(3) 原式$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：
(1) 首先观察到$(y-x)^2$是偶次幂，和$(x-y)^2$相等，先统一底数，确定公因式为$(x-y)^2$，提取公因式后化简剩余的整式即可；
(2) 先对后两项的括号变形：$b+c-a=-(a-b-c)$、$c-a+b=-(a-b-c)$，可发现三项的公因式为$(a-b-c)$，提取公因式后整理即可；
(3) 首先确定两项的公因式为$m$，先提取$m$，再对括号内的整式去括号、合并同类项，检查合并后的式子仍有公因式$2a$，继续提取直至不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再提取公因式：
原式$=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)-3z]$
$=(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) 先统一后两项括号的形式，再提取公因式：
原式$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a - b - c)$
$=(a-b-c)^2$
(3) 先提取公因式$m$，再化简括号内的式子，最后提取剩余公因式：
原式$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$
【答案】
(1) $(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) $(a-b-c)^2$
(3) $2am(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，偶次幂的符号性质，整式的加减运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，解题的关键是准确识别公因式，注意底数互为相反数的偶次幂相等的规律，提取公因式后要检查剩余因式是否仍含有公因式，确保分解彻底，同时去括号时注意符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：
(1) 首先观察到$(y-x)^2$是偶次幂，和$(x-y)^2$相等，先统一底数，确定公因式为$(x-y)^2$，提取公因式后化简剩余的整式即可；
(2) 先对后两项的括号变形：$b+c-a=-(a-b-c)$、$c-a+b=-(a-b-c)$，可发现三项的公因式为$(a-b-c)$，提取公因式后整理即可；
(3) 首先确定两项的公因式为$m$，先提取$m$，再对括号内的整式去括号、合并同类项，检查合并后的式子仍有公因式$2a$，继续提取直至不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再提取公因式：
原式$=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)-3z]$
$=(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) 先统一后两项括号的形式，再提取公因式：
原式$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a - b - c)$
$=(a-b-c)^2$
(3) 先提取公因式$m$，再化简括号内的式子，最后提取剩余公因式：
原式$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$
【答案】
(1) $(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) $(a-b-c)^2$
(3) $2am(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，偶次幂的符号性质，整式的加减运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，解题的关键是准确识别公因式，注意底数互为相反数的偶次幂相等的规律，提取公因式后要检查剩余因式是否仍含有公因式，确保分解彻底，同时去括号时注意符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
典例1
解 (1)$3x^2y - 6xy = 3xy(x - 2)$.
(2)$5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2(y - 5x)$.
(3)$-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m(2m^2 - 8m + 13)$.
典例2
解 (1)$(x - y)^3 - 3z(y - x)^2$
$=(x - y)^3 - 3z(x - y)^2$
$=(x - y)^2(x - y - 3z)$.
(2)$a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
解 (1)$3x^2y - 6xy = 3xy(x - 2)$.
(2)$5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2(y - 5x)$.
(3)$-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m(2m^2 - 8m + 13)$.
典例2
解 (1)$(x - y)^3 - 3z(y - x)^2$
$=(x - y)^3 - 3z(x - y)^2$
$=(x - y)^2(x - y - 3z)$.
(2)$a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
答案
解：
(2) $a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a - b - c)$
$=(a-b-c)^2$
(2) $a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a - b - c)$
$=(a-b-c)^2$
解析
【分析】
本题属于因式分解类题目，采用提公因式法求解。解题时先观察式子各项的多项式部分：后两项的$(b+c-a)$、$(c-a+b)$均与第一项的$(a-b-c)$互为相反数，因此可先对后两项提取负号，将三项的公因式统一为$(a-b-c)$，再提取公因式，最后整理剩余部分即可得到结果。
【解析】
对原式变形，将后两项的多项式转化为与第一项相同的因式：
$\begin{aligned}&\phantom{=}a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)\\&=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)\\&=(a-b-c)(a - b - c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
【答案】
$(a-b-c)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式恒等变形、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题关键是识别出隐藏的公因式，当式子中出现互为相反数的多项式因子时，可通过提取负号统一公因式，变形过程中要注意符号变化，避免因符号写错失分。
【难度系数】
0.7
本题属于因式分解类题目，采用提公因式法求解。解题时先观察式子各项的多项式部分：后两项的$(b+c-a)$、$(c-a+b)$均与第一项的$(a-b-c)$互为相反数，因此可先对后两项提取负号，将三项的公因式统一为$(a-b-c)$，再提取公因式，最后整理剩余部分即可得到结果。
【解析】
对原式变形，将后两项的多项式转化为与第一项相同的因式：
$\begin{aligned}&\phantom{=}a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)\\&=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)\\&=(a-b-c)(a - b - c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
【答案】
$(a-b-c)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式恒等变形、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题关键是识别出隐藏的公因式，当式子中出现互为相反数的多项式因子时，可通过提取负号统一公因式，变形过程中要注意符号变化，避免因符号写错失分。
【难度系数】
0.7
举一反三 把下列各式分解因式:
(1)$2(a-3)^2 -a +3$;
(2)$3m(x-y)-2(y-x)^2$;
(3)$18b(a-b)^2 -12(a-b)^3$.
$=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$.
(3)$m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)$
$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$.
(1)$2(a-3)^2 -a +3$;
(2)$3m(x-y)-2(y-x)^2$;
(3)$18b(a-b)^2 -12(a-b)^3$.
$=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$.
(3)$m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)$
$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$.
答案
解 (1)原式$=2(a-3)^2-(a-3)=(a-3)(2a-7)$。
(2)原式$=3m(x-y)-2(x-y)^2=(x-y)(3m-2x+2y)$。
(3)原式$=6(a-b)^2(5b-2a)$。
(2)原式$=3m(x-y)-2(x-y)^2=(x-y)(3m-2x+2y)$。
(3)原式$=6(a-b)^2(5b-2a)$。
解析
【分析】
这三道题都属于公因式为多项式的因式分解题，解题核心是先通过恒等变形找到式子中隐藏的公因式，再用提公因式法分解。①第(1)题：先将后两项$-a+3$变形为$-(a-3)$，即可发现公因式为$(a-3)$，提取后化简剩余部分即可；②第(2)题：根据平方的性质，$(y-x)^2=(x-y)^2$，因此公因式为$(x-y)$，提取后展开化简剩余项；③第(3)题：先找系数的最大公约数为6，相同多项式因式的最低次幂是$(a-b)^2$，因此公因式为$6(a-b)^2$，提取后化简括号内的整式，确保分解彻底即可。
【解析】
(1) 先对原式变形，将后两项整理为含$(a-3)$的形式：
原式$=2(a-3)^2 - (a-3)$
提取公因式$(a-3)$，得：
$=(a-3)[2(a-3) - 1]$
化简括号内的部分：$2(a-3)-1=2a-6-1=2a-7$
因此结果为$(a-3)(2a-7)$。
(2) 利用$(y-x)^2=(x-y)^2$变形原式：
原式$=3m(x-y) - 2(x-y)^2$
提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)[3m - 2(x-y)]$
化简括号内的部分：$3m-2(x-y)=3m-2x+2y$
因此结果为$(x-y)(3m-2x+2y)$。
(3) 先确定公因式：系数18和12的最大公约数是6，多项式部分的公因式为$(a-b)^2$，因此公因式为$6(a-b)^2$，提取公因式：
原式$=6(a-b)^2[3b - 2(a-b)]$
化简括号内的部分：$3b-2(a-b)=3b-2a+2b=5b-2a$
因此结果为$6(a-b)^2(5b-2a)$。
【答案】
(1)$(a-3)(2a-7)$；(2)$(x-y)(3m-2x+2y)$；(3)$6(a-b)^2(5b-2a)$
【知识点】
提公因式法因式分解；多项式公因式提取；整式恒等变形
【点评】
本题考查公因式为多项式类型的因式分解，解题关键是熟练掌握常见的代数式恒等变形技巧，准确找出隐藏的公因式，提取公因式后要注意化简剩余部分，保证因式分解彻底，是因式分解模块的基础题型，需熟练掌握对应方法。
【难度系数】
0.8
这三道题都属于公因式为多项式的因式分解题，解题核心是先通过恒等变形找到式子中隐藏的公因式，再用提公因式法分解。①第(1)题：先将后两项$-a+3$变形为$-(a-3)$，即可发现公因式为$(a-3)$，提取后化简剩余部分即可；②第(2)题：根据平方的性质，$(y-x)^2=(x-y)^2$，因此公因式为$(x-y)$，提取后展开化简剩余项；③第(3)题：先找系数的最大公约数为6，相同多项式因式的最低次幂是$(a-b)^2$，因此公因式为$6(a-b)^2$，提取后化简括号内的整式，确保分解彻底即可。
【解析】
(1) 先对原式变形，将后两项整理为含$(a-3)$的形式：
原式$=2(a-3)^2 - (a-3)$
提取公因式$(a-3)$，得：
$=(a-3)[2(a-3) - 1]$
化简括号内的部分：$2(a-3)-1=2a-6-1=2a-7$
因此结果为$(a-3)(2a-7)$。
(2) 利用$(y-x)^2=(x-y)^2$变形原式：
原式$=3m(x-y) - 2(x-y)^2$
提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)[3m - 2(x-y)]$
化简括号内的部分：$3m-2(x-y)=3m-2x+2y$
因此结果为$(x-y)(3m-2x+2y)$。
(3) 先确定公因式：系数18和12的最大公约数是6，多项式部分的公因式为$(a-b)^2$，因此公因式为$6(a-b)^2$，提取公因式：
原式$=6(a-b)^2[3b - 2(a-b)]$
化简括号内的部分：$3b-2(a-b)=3b-2a+2b=5b-2a$
因此结果为$6(a-b)^2(5b-2a)$。
【答案】
(1)$(a-3)(2a-7)$；(2)$(x-y)(3m-2x+2y)$；(3)$6(a-b)^2(5b-2a)$
【知识点】
提公因式法因式分解；多项式公因式提取；整式恒等变形
【点评】
本题考查公因式为多项式类型的因式分解，解题关键是熟练掌握常见的代数式恒等变形技巧，准确找出隐藏的公因式，提取公因式后要注意化简剩余部分，保证因式分解彻底，是因式分解模块的基础题型，需熟练掌握对应方法。
【难度系数】
0.8
