平方差公式
两个数的平方差,等于这两个数的
与这两个数的的积.用字母表示为$a^2 - b^2 =$.

两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.用字母表示为$a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$

【分析】
本题考查平方差公式的基础定义，属于纯记忆类题目，解题时只需回忆教材中平方差公式的内容即可作答。首先明确平方差公式的文字逻辑：两个数的平方差对应的乘积形式，是这两个数的和乘这两个数的差，再对应写出用字母表示的表达式即可，无运算难度。
【解析】
根据平方差公式的定义：
1. 文字表述部分：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积；
2. 字母表示部分：若用a、b分别代表两个数，可写出对应的表达式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.用字母表示为$a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式；公式法因式分解
【点评】
本题是基础概念识记类题目，是后续运用平方差公式进行因式分解、整式化简、简便运算的核心基础，属于必须熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.9

典例 把下列各式分解因式：
(1)$4a^2 - \frac{1}{9}b^2$；
(2)$x^4 - 4y^2$；
(3)$-9(x+y)^2 + (x-y)^2$。

解：
(1) 原式$=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) 原式$=(x^2)^2 - (2y)^2$
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) 原式$=(x-y)^2 - [3(x+y)]^2$
$=[(x-y) + 3(x+y)][(x-y) - 3(x+y)]$
$=(x - y + 3x + 3y)(x - y - 3x - 3y)$
$=(4x + 2y)(-2x - 4y)$
$=2(2x + y)·[-2(x + 2y)]$
$=-4(2x + y)(x + 2y)$

【分析】
这三道因式分解题均适用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路为：①先将原式变形为两个整式平方相减的形式，准确识别公式中的$a$和$b$；②代入平方差公式展开；③对展开后的式子合并同类项，提取公因式，化简到不能再分解为止。
第(1)题：先把$4a^2$写成$(2a)^2$，$\frac{1}{9}b^2$写成$(\frac{1}{3}b)^2$，直接套用公式即可；
第(2)题：把$x^4$写成$(x^2)^2$，$4y^2$写成$(2y)^2$，套用公式后检查剩余因式是否能继续分解，本题中$x^2-2y$无法再分解，即完成分解；
第(3)题：先交换两项位置，将$-9(x+y)^2 + (x-y)^2$改写为$(x-y)^2 - [3(x+y)]^2$，确定$a=x-y$，$b=3(x+y)$，代入公式后先去括号合并同类项，再提取公因式化简，注意符号运算不要出错。
【解析】
(1) 先将原式转化为平方差形式：
原式$=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) 同理转化为平方差形式：
原式$=(x^2)^2 - (2y)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) 先调整项的顺序，转化为平方差形式：
原式$=(x-y)^2 - [3(x+y)]^2$
套用平方差公式得：
$=[(x-y) + 3(x+y)][(x-y) - 3(x+y)]$
去括号合并同类项：
$=(x - y + 3x + 3y)(x - y - 3x - 3y)$
$=(4x + 2y)(-2x - 4y)$
提取公因式化简：
$=2(2x + y)·[-2(x + 2y)]$
$=-4(2x + y)(x + 2y)$
【答案】
(1) $(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) $(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) $-4(2x + y)(x + 2y)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 提公因式法
3. 整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确将原式变形为两个整式平方相减的形式，分解完成后需注意检查是否提尽公因式、因式是否还能再分解，运算过程中要注意符号的正确性，避免因符号处理失误失分。
【难度系数】
0.7

举一反三 把下列各式分解因式：
(1)$16 - x^2$；
(2)$(a - b)^2 - 1$；
(3)$(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$。

解 (1)$16-x^2$
$=4^2-x^2$
$=(4+x)(4-x).$
(2)$(a-b)^2-1$
$=[(a-b)+1][(a-b)-1]$
$=(a-b+1)(a-b-1).$
(3)$(2x+y)^2-(x+2y)^2$
$=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)$
$=(3x+3y)(x-y)$
$=3(x+y)(x-y).$

【分析】
这三道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步先识别式子为两个平方项相减的形式，回忆平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$；第二步确定公式中对应的$a$和$b$，可将多项式看作整体当作公式里的$a$或$b$；第三步代入公式展开后，合并同类项，若还有公因式要继续提取，保证因式分解彻底。
【解析】
(1) $16-x^2$
$=4^2-x^2$
$=(4+x)(4-x)$
(2) $(a-b)^2-1$
$=[(a-b)+1][(a-b)-1]$
$=(a-b+1)(a-b-1)$
(3) $(2x+y)^2-(x+2y)^2$
$=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)$
$=(3x+3y)(x-y)$
$=3(x+y)(x-y)$
【答案】
(1) $(4+x)(4-x)$
(2) $(a-b+1)(a-b-1)$
(3) $3(x+y)(x-y)$
【知识点】
平方差公式因式分解、整体代换、提公因式法
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，核心是准确识别平方差的结构特征，将多项式视为整体代入的方法能有效降低解题难度，分解完成后要注意检查结果是否分解彻底，避免出现未提公因式、未合并同类项的错误。
【难度系数】
0.8