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同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数，指数.用字母表示为 $a^m · a^n = $$(m,n都是正整数).$
同底数幂相乘，底数，指数.用字母表示为 $a^m · a^n = $$(m,n都是正整数).$
答案
不变 相加 $a^{m+n}$
解析
【分析】
这道题属于概念识记类题目，考查同底数幂乘法的基本运算法则。解题时可结合具体实例理解规律：比如计算$2^3 × 2^2$，$2^3$是3个2相乘，$2^2$是2个2相乘，二者相乘后共有$3+2=5$个2相乘，结果为$2^5$，由此可总结出同底数幂相乘的规律，再推广到一般字母形式即可得到对应公式。
【解析】
根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
由于$a^m$表示m个a相乘，$a^n$表示n个a相乘，二者相乘后共有$(m+n)$个a相乘，因此用字母表示该法则为$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。
综上三个空依次对应填写：不变、相加、$a^{m+n}$。
【答案】
不变 相加 $a^{m+n}$
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对同底数幂乘法运算法则的记忆，该法则是幂的运算、整式乘法的重要基础，需要准确掌握。
【难度系数】
0.9
这道题属于概念识记类题目，考查同底数幂乘法的基本运算法则。解题时可结合具体实例理解规律：比如计算$2^3 × 2^2$，$2^3$是3个2相乘，$2^2$是2个2相乘，二者相乘后共有$3+2=5$个2相乘，结果为$2^5$，由此可总结出同底数幂相乘的规律，再推广到一般字母形式即可得到对应公式。
【解析】
根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
由于$a^m$表示m个a相乘，$a^n$表示n个a相乘，二者相乘后共有$(m+n)$个a相乘，因此用字母表示该法则为$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。
综上三个空依次对应填写：不变、相加、$a^{m+n}$。
【答案】
不变 相加 $a^{m+n}$
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对同底数幂乘法运算法则的记忆，该法则是幂的运算、整式乘法的重要基础，需要准确掌握。
【难度系数】
0.9
典例1 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)$a^2 · a^4$；
(2)$2^2 × 2^3 × 2$；
(3)$(x-2y)^2(x-2y)^3$。
温馨提示 (1)不要忽略指数是1的因式，如$c · c^6 ≠ c^{0+6}$。
(2)底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解。
举一反三 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)$x · x^5 + x^2 · x^4$；
(2)$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3$；
(3)$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6$。
(1)$a^2 · a^4$；
(2)$2^2 × 2^3 × 2$；
(3)$(x-2y)^2(x-2y)^3$。
温馨提示 (1)不要忽略指数是1的因式，如$c · c^6 ≠ c^{0+6}$。
(2)底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解。
举一反三 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)$x · x^5 + x^2 · x^4$；
(2)$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3$；
(3)$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6$。
答案
解 (1)$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$.
(2)$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$.
(3)$(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$.
(1)$x · x^5 + x^2 · x^4 =x^{1+5}+x^{2+4}=x^6+x^6=2x^6$.
(2)$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 =(-\frac{1}{2})^{1+2+3}=(-\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}$.
(3)$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6=(2m-n)^{4+3+6}=(2m-n)^{13}$.
(2)$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$.
(3)$(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$.
(1)$x · x^5 + x^2 · x^4 =x^{1+5}+x^{2+4}=x^6+x^6=2x^6$.
(2)$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 =(-\frac{1}{2})^{1+2+3}=(-\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}$.
(3)$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6=(2m-n)^{4+3+6}=(2m-n)^{13}$.
解析
【分析】
解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题思路如下：
1. 先确认运算中各因式的底数是否相同：底数为单项式可直接判定，底数为多项式时将其看作一个整体处理；
2. 注意没有标注指数的单独数或字母，默认指数为1，计算时不能遗漏；
3. 按同底数幂乘法法则计算后，若存在同类项需要合并同类项得到最终结果；
4. 若底数为负数，可根据乘方的符号法则化简最终结果。
【解析】
典例计算
(1) 两个因式底数均为$a$，属于同底数幂相乘，直接运用法则计算：
$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$
(2) 三个因式底数均为2，最后一个因式$2$的指数为1，累加指数计算：
$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$
(3) 底数为多项式$(x-2y)$，将其看作整体运用同底数幂乘法法则：
$(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$
举一反三计算
(1) 先分别计算两组同底数幂的乘法，再合并同类项：
$x · x^5 + x^2 · x^4 =x^{1+5}+x^{2+4}=x^6+x^6=2x^6$
(2) 三个因式底数均为$-\frac{1}{2}$，第一个因式指数为1，累加指数后化简符号：
$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 =(-\frac{1}{2})^{1+2+3}=(-\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}$
(3) 底数为多项式$(2m-n)$，将其看作整体累加指数计算：
$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6=(2m-n)^{4+3+6}=(2m-n)^{13}$
【答案】
典例：(1)$a^6$；(2)$2^6$；(3)$(x-2y)^5$
举一反三：(1)$2x^6$；(2)$\frac{1}{2^6}$；(3)$(2m-n)^{13}$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、整体思想
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，重点考查对同底数幂乘法法则的掌握，解题时要注意不要遗漏指数为1的因式，底数为多项式时运用整体思想简化运算，运算后有同类项的要合并，熟练掌握法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题思路如下：
1. 先确认运算中各因式的底数是否相同：底数为单项式可直接判定，底数为多项式时将其看作一个整体处理；
2. 注意没有标注指数的单独数或字母，默认指数为1，计算时不能遗漏；
3. 按同底数幂乘法法则计算后，若存在同类项需要合并同类项得到最终结果；
4. 若底数为负数，可根据乘方的符号法则化简最终结果。
【解析】
典例计算
(1) 两个因式底数均为$a$，属于同底数幂相乘，直接运用法则计算：
$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$
(2) 三个因式底数均为2，最后一个因式$2$的指数为1，累加指数计算：
$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$
(3) 底数为多项式$(x-2y)$，将其看作整体运用同底数幂乘法法则：
$(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$
举一反三计算
(1) 先分别计算两组同底数幂的乘法，再合并同类项：
$x · x^5 + x^2 · x^4 =x^{1+5}+x^{2+4}=x^6+x^6=2x^6$
(2) 三个因式底数均为$-\frac{1}{2}$，第一个因式指数为1，累加指数后化简符号：
$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 =(-\frac{1}{2})^{1+2+3}=(-\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}$
(3) 底数为多项式$(2m-n)$，将其看作整体累加指数计算：
$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6=(2m-n)^{4+3+6}=(2m-n)^{13}$
【答案】
典例：(1)$a^6$；(2)$2^6$；(3)$(x-2y)^5$
举一反三：(1)$2x^6$；(2)$\frac{1}{2^6}$；(3)$(2m-n)^{13}$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、整体思想
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，重点考查对同底数幂乘法法则的掌握，解题时要注意不要遗漏指数为1的因式，底数为多项式时运用整体思想简化运算，运算后有同类项的要合并，熟练掌握法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
典例2 已知$ x^m =5, x^n=7 $，求$ x^{2m+n} $的值。
答案
解 $\because x^m =5, x^n=7,$
$\therefore x^{2m+n}=x^m · x^m · x^n$
$=5 ×5 ×7$
$=175.$
$\therefore x^{2m+n}=x^m · x^m · x^n$
$=5 ×5 ×7$
$=175.$
解析
【分析】
解题时首先观察待求式$x^{2m+n}$的指数特征，指数为$2m+n$，是两个部分的和，因此可以先逆用同底数幂的乘法法则：$a^{p+q}=a^p· a^q$，把$x^{2m+n}$拆分为$x^{2m}· x^n$；再看$x^{2m}$，指数是2倍的$m$，逆用幂的乘方法则：$a^{pq}=(a^p)^q$，可得$x^{2m}=(x^m)^2=x^m· x^m$，最终将待求式转化为仅含$x^m$、$x^n$的乘法形式，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：$\because x^m =5, x^n=7,$
$\therefore x^{2m+n}=x^m · x^m · x^n$
$=5 ×5 ×7$
$=175$
【答案】
$175$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的逆用能力，解题关键是将待求幂的指数合理拆分，匹配已知条件的指数形式后代入求值，熟练掌握幂的运算法则的正、逆应用是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察待求式$x^{2m+n}$的指数特征，指数为$2m+n$，是两个部分的和，因此可以先逆用同底数幂的乘法法则：$a^{p+q}=a^p· a^q$，把$x^{2m+n}$拆分为$x^{2m}· x^n$；再看$x^{2m}$，指数是2倍的$m$，逆用幂的乘方法则：$a^{pq}=(a^p)^q$，可得$x^{2m}=(x^m)^2=x^m· x^m$，最终将待求式转化为仅含$x^m$、$x^n$的乘法形式，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：$\because x^m =5, x^n=7,$
$\therefore x^{2m+n}=x^m · x^m · x^n$
$=5 ×5 ×7$
$=175$
【答案】
$175$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的逆用能力，解题关键是将待求幂的指数合理拆分，匹配已知条件的指数形式后代入求值，熟练掌握幂的运算法则的正、逆应用是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
举一反三 已知 $a^m = 4, a^n = 16$, 求 $a^{m+n}$ 的值.
答案
解 $\because a^m =4,a^n =16,$
$\therefore a^{m+n}=a^m · a^n=4×16=64.$
$\therefore a^{m+n}=a^m · a^n=4×16=64.$
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子$a^{m+n}$的指数是两个数相加的形式，对应回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$。我们可以逆用这个法则，把$a^{m+n}$拆分为$a^m$和$a^n$的乘积，再代入题目给出的$a^m$、$a^n$的数值计算即可。
【解析】
$\because a^m =4,a^n =16,$
$\therefore$ 逆用同底数幂的乘法法则可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n=4×16=64$
【答案】
$64$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的灵活运用能力，熟练掌握幂运算相关法则的正用、逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子$a^{m+n}$的指数是两个数相加的形式，对应回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$。我们可以逆用这个法则，把$a^{m+n}$拆分为$a^m$和$a^n$的乘积，再代入题目给出的$a^m$、$a^n$的数值计算即可。
【解析】
$\because a^m =4,a^n =16,$
$\therefore$ 逆用同底数幂的乘法法则可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n=4×16=64$
【答案】
$64$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的灵活运用能力，熟练掌握幂运算相关法则的正用、逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.9
