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典例3 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1) $-2+5=3$；
(2) $3x-2=7$；
(3) $m=5$；
(4) $x+y=6$；
(5) $2x^2 -5x +1=0$；
(6) $x=3$。
典例解析
(1) $-2+5=3$；
(2) $3x-2=7$；
(3) $m=5$；
(4) $x+y=6$；
(5) $2x^2 -5x +1=0$；
(6) $x=3$。
典例解析
答案
解：
含有未知数的等式叫做方程，因此是方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$。
只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程，因此是一元一次方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
含有未知数的等式叫做方程，因此是方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$。
只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程，因此是一元一次方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心定义：①方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是不是方程，要同时满足“是等式、含有未知数”两个条件，二者缺一不可；②一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，判断时需要在方程的基础上，额外满足“单个未知数、未知数次数为1、整式方程”三个条件。解题时先根据方程的定义逐个判断所有式子，筛选出所有方程，再从方程中根据一元一次方程的定义筛选出符合要求的式子即可。
【解析】
第一步：根据方程的定义逐个判断：
(1) $-2+5=3$是等式，但不含未知数，因此不是方程；
(2) $3x-2=7$是含有未知数$x$的等式，属于方程；
(3) $m=5$是含有未知数$m$的等式，属于方程；
(4) $x+y=6$是含有未知数$x、y$的等式，属于方程；
(5) $2x^2 -5x +1=0$是含有未知数$x$的等式，属于方程；
(6) $x=3$是含有未知数$x$的等式，属于方程。
第二步：从筛选出的方程中判断一元一次方程：
(2) $3x-2=7$：只含1个未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程；
(3) $m=5$：只含1个未知数$m$，$m$的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程；
(4) $x+y=6$：含有2个未知数，不符合一元一次方程的判定要求；
(5) $2x^2 -5x +1=0$：未知数$x$的最高次数为2，不符合一元一次方程的判定要求；
(6) $x=3$：只含1个未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程。
【答案】
方程：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$；
一元一次方程：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是紧扣相关定义的判定条件，注意不要误将仅含单个未知数的等式（如$x=3$、$m=5$）排除在一元一次方程之外，也不要将不含未知数的等式判定为方程。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确两个核心定义：①方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是不是方程，要同时满足“是等式、含有未知数”两个条件，二者缺一不可；②一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，判断时需要在方程的基础上，额外满足“单个未知数、未知数次数为1、整式方程”三个条件。解题时先根据方程的定义逐个判断所有式子，筛选出所有方程，再从方程中根据一元一次方程的定义筛选出符合要求的式子即可。
【解析】
第一步：根据方程的定义逐个判断：
(1) $-2+5=3$是等式，但不含未知数，因此不是方程；
(2) $3x-2=7$是含有未知数$x$的等式，属于方程；
(3) $m=5$是含有未知数$m$的等式，属于方程；
(4) $x+y=6$是含有未知数$x、y$的等式，属于方程；
(5) $2x^2 -5x +1=0$是含有未知数$x$的等式，属于方程；
(6) $x=3$是含有未知数$x$的等式，属于方程。
第二步：从筛选出的方程中判断一元一次方程：
(2) $3x-2=7$：只含1个未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程；
(3) $m=5$：只含1个未知数$m$，$m$的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程；
(4) $x+y=6$：含有2个未知数，不符合一元一次方程的判定要求；
(5) $2x^2 -5x +1=0$：未知数$x$的最高次数为2，不符合一元一次方程的判定要求；
(6) $x=3$：只含1个未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程。
【答案】
方程：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$；
一元一次方程：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是紧扣相关定义的判定条件，注意不要误将仅含单个未知数的等式（如$x=3$、$m=5$）排除在一元一次方程之外，也不要将不含未知数的等式判定为方程。
【难度系数】
0.8
举一反三 方程:①$2x + y = 0$;②$\frac{1}{x}=3$;③$5 + 2x = 4$;④$x = 2$;⑤$x^2 + x = 0$中,是一元一次方程的是(
A. ①⑤
B. ②④
C. ③⑤
D. ③④
方程左、右两边的值不相等,所以$x = 3$不是方程$4x + 5 = 8x - 3$的解.
当$x = 2$时,方程$4x + 5 = 8x - 3$的左边$=4×2 +5=13$,右边$=8×2 -3=13$,
方程左、右两边的值相等,所以$x = 2$是方程$4x +5=8x -3$的解.
典例3
解 (2)(3)(4)(5)(6)是方程.
(2)(3)(6)是一元一次方程.
D
).A. ①⑤
B. ②④
C. ③⑤
D. ③④
方程左、右两边的值不相等,所以$x = 3$不是方程$4x + 5 = 8x - 3$的解.
当$x = 2$时,方程$4x + 5 = 8x - 3$的左边$=4×2 +5=13$,右边$=8×2 -3=13$,
方程左、右两边的值相等,所以$x = 2$是方程$4x +5=8x -3$的解.
典例3
解 (2)(3)(4)(5)(6)是方程.
(2)(3)(6)是一元一次方程.
答案
举一反三 D
解析
【分析】
要判断给定方程中哪些是一元一次方程，首先需明确一元一次方程的三个必备判定条件：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次数为1；3. 等号两边都是整式（即分母不含未知数）。解题时带着这三个条件逐一验证每个方程，排除不符合条件的选项，即可得出正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，逐个判断如下：
1. 方程①$2x + y = 0$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
2. 方程②$\frac{1}{x}=3$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
3. 方程③$5 + 2x = 4$：只含未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
4. 方程④$x = 2$：只含未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
5. 方程⑤$x^2 + x = 0$：未知数$x$的最高次数为2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程。
综上，属于一元一次方程的是③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元一次方程判定条件的掌握，解题时需紧扣“单未知数、次数为1、整式方程”三个核心要素，避免将分式方程、多元方程、高次方程误判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8
要判断给定方程中哪些是一元一次方程，首先需明确一元一次方程的三个必备判定条件：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次数为1；3. 等号两边都是整式（即分母不含未知数）。解题时带着这三个条件逐一验证每个方程，排除不符合条件的选项，即可得出正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，逐个判断如下：
1. 方程①$2x + y = 0$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
2. 方程②$\frac{1}{x}=3$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
3. 方程③$5 + 2x = 4$：只含未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
4. 方程④$x = 2$：只含未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
5. 方程⑤$x^2 + x = 0$：未知数$x$的最高次数为2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程。
综上，属于一元一次方程的是③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元一次方程判定条件的掌握，解题时需紧扣“单未知数、次数为1、整式方程”三个核心要素，避免将分式方程、多元方程、高次方程误判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8
1. 下列方程中,解为$x=3$的是(
A.$x+1=2$
B.$3x-2=4+x$
C.$5x+7=7-2x$
D.$\frac{1}{3}x+2=5$
B
).A.$x+1=2$
B.$3x-2=4+x$
C.$5x+7=7-2x$
D.$\frac{1}{3}x+2=5$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题有两种常用思路：一是将$x=3$分别代入每个选项的方程，计算左右两边是否相等，相等的即为正确选项；二是分别求解每个选项中的一元一次方程，看哪个方程的解是$x=3$，其中代入验证的方法更快捷。
【解析】
我们用代入验证法逐一判断：
选项A：把$x=3$代入方程，左边$=3+1=4$，右边$=2$，左边≠右边，故$x=3$不是该方程的解，A错误；
选项B：把$x=3$代入方程，左边$=3×3-2=7$，右边$=4+3=7$，左边=右边，故$x=3$是该方程的解，B正确；
验证剩余选项确保结果准确：
选项C：把$x=3$代入方程，左边$=5×3+7=22$，右边$=7-2×3=1$，左边≠右边，C错误；
选项D：把$x=3$代入方程，左边$=\frac{1}{3}×3+2=3$，右边$=5$，左边≠右边，D错误。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程的解的含义，采用代入法验证可以快速得出结果，避免逐个解方程的繁琐。
【难度系数】
0.9
这道题考查方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题有两种常用思路：一是将$x=3$分别代入每个选项的方程，计算左右两边是否相等，相等的即为正确选项；二是分别求解每个选项中的一元一次方程，看哪个方程的解是$x=3$，其中代入验证的方法更快捷。
【解析】
我们用代入验证法逐一判断：
选项A：把$x=3$代入方程，左边$=3+1=4$，右边$=2$，左边≠右边，故$x=3$不是该方程的解，A错误；
选项B：把$x=3$代入方程，左边$=3×3-2=7$，右边$=4+3=7$，左边=右边，故$x=3$是该方程的解，B正确；
验证剩余选项确保结果准确：
选项C：把$x=3$代入方程，左边$=5×3+7=22$，右边$=7-2×3=1$，左边≠右边，C错误；
选项D：把$x=3$代入方程，左边$=\frac{1}{3}×3+2=3$，右边$=5$，左边≠右边，D错误。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程的解的含义，采用代入法验证可以快速得出结果，避免逐个解方程的繁琐。
【难度系数】
0.9
2. 下列等式:①$4+8=12$;②$5x+3=4$;③$2x+3y=0$;④$2a -1=3+5a$;⑤$2r^2=2+x-1$. 其中,一元一次方程的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
要判断一元一次方程的个数，首先要明确一元一次方程的判定标准：首先必须是含有未知数的等式（即方程），其次满足三个条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式。接下来我们逐个分析所给的5个等式，统计符合条件的数量即可。
【解析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
逐个判断各等式：
①$4+8=12$：不含未知数，属于普通等式，不是方程，排除；
②$5x+3=4$：仅含未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
③$2x+3y=0$：含有$x、y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，排除；
④$2a -1=3+5a$：仅含未知数$a$，$a$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
⑤$2r^2=2+x-1$：含有$r、x$两个未知数，且$r$的次数为2，不符合要求，排除。
综上，符合一元一次方程的是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义、方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确把握一元一次方程的判定要素，排查时要依次检查是否为方程、未知数的个数、未知数的最高次数、是否为整式，避免因漏看条件出现误判。
【难度系数】
0.8
要判断一元一次方程的个数，首先要明确一元一次方程的判定标准：首先必须是含有未知数的等式（即方程），其次满足三个条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式。接下来我们逐个分析所给的5个等式，统计符合条件的数量即可。
【解析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
逐个判断各等式：
①$4+8=12$：不含未知数，属于普通等式，不是方程，排除；
②$5x+3=4$：仅含未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
③$2x+3y=0$：含有$x、y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，排除；
④$2a -1=3+5a$：仅含未知数$a$，$a$的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
⑤$2r^2=2+x-1$：含有$r、x$两个未知数，且$r$的次数为2，不符合要求，排除。
综上，符合一元一次方程的是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义、方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确把握一元一次方程的判定要素，排查时要依次检查是否为方程、未知数的个数、未知数的最高次数、是否为整式，避免因漏看条件出现误判。
【难度系数】
0.8
3. (1) 判断 $x=6$ 和 $x=4$ 是不是方程 $2x - 3 = 5(x - 3)$ 的解，并说明理由。
(2) 判断 $x=3$ 和 $x=4$ 是不是方程 $3x + 2 = 5x - 6$ 的解，并说明理由。
(2) 判断 $x=3$ 和 $x=4$ 是不是方程 $3x + 2 = 5x - 6$ 的解，并说明理由。
答案
解 (1)当 $x=6$ 时,方程 $2x-3=5(x-3)$ 的左边$=12-3=9$,右边$=5×3=15$,方程左、右两边的值不相等,所以 $x=6$ 不是方程 $2x-3=5(x-3)$ 的解。
当 $x=4$ 时,方程 $2x-3=5(x-3)$ 的左边$=8-3=5$,右边$=5×1=5$,方程左、右两边的值相等,所以 $x=4$ 是方程 $2x-3=5(x-3)$ 的解。
(2)当 $x=3$ 时,方程 $3x+2=5x-6$ 的左边$=9+2=11$,右边$=15-6=9$,方程左、右两边的值不相等,所以 $x=3$ 不是方程 $3x+2=5x-6$ 的解。
当 $x=4$ 时,方程 $3x+2=5x-6$ 的左边$=12+2=14$,右边$=20-6=14$,方程左、右两边的值相等,所以 $x=4$ 是方程 $3x+2=5x-6$ 的解。
当 $x=4$ 时,方程 $2x-3=5(x-3)$ 的左边$=8-3=5$,右边$=5×1=5$,方程左、右两边的值相等,所以 $x=4$ 是方程 $2x-3=5(x-3)$ 的解。
(2)当 $x=3$ 时,方程 $3x+2=5x-6$ 的左边$=9+2=11$,右边$=15-6=9$,方程左、右两边的值不相等,所以 $x=3$ 不是方程 $3x+2=5x-6$ 的解。
当 $x=4$ 时,方程 $3x+2=5x-6$ 的左边$=12+2=14$,右边$=20-6=14$,方程左、右两边的值相等,所以 $x=4$ 是方程 $3x+2=5x-6$ 的解。
解析
【分析】
判断一个未知数的值是否为方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。解题步骤固定为：①将给定的x值分别代入方程的左边和右边；②分别计算两边的结果；③比较两边结果是否相等，相等则为方程的解，否则不是。
【解析】
(1) 对于方程$2x - 3 = 5(x - 3)$：
当$x=6$时，左边$=2×6 - 3=12-3=9$，右边$=5×(6-3)=5×3=15$，左边≠右边，因此$x=6$不是该方程的解。
当$x=4$时，左边$=2×4 -3=8-3=5$，右边$=5×(4-3)=5×1=5$，左边=右边，因此$x=4$是该方程的解。
(2) 对于方程$3x + 2 = 5x - 6$：
当$x=3$时，左边$=3×3 +2=9+2=11$，右边$=5×3 -6=15-6=9$，左边≠右边，因此$x=3$不是该方程的解。
当$x=4$时，左边$=3×4 +2=12+2=14$，右边$=5×4 -6=20-6=14$，左边=右边，因此$x=4$是该方程的解。
【答案】
(1) $x=6$不是方程$2x - 3 = 5(x - 3)$的解，$x=4$是该方程的解；
(2) $x=3$不是方程$3x + 2 = 5x - 6$的解，$x=4$是该方程的解。
【知识点】
方程的解的判定、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程解的判定方法，掌握“代入求值、比较左右、得出结论”的固定步骤即可轻松解答，该方法也是后续解方程后验证根是否正确的核心方法。
【难度系数】
0.85
判断一个未知数的值是否为方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。解题步骤固定为：①将给定的x值分别代入方程的左边和右边；②分别计算两边的结果；③比较两边结果是否相等，相等则为方程的解，否则不是。
【解析】
(1) 对于方程$2x - 3 = 5(x - 3)$：
当$x=6$时，左边$=2×6 - 3=12-3=9$，右边$=5×(6-3)=5×3=15$，左边≠右边，因此$x=6$不是该方程的解。
当$x=4$时，左边$=2×4 -3=8-3=5$，右边$=5×(4-3)=5×1=5$，左边=右边，因此$x=4$是该方程的解。
(2) 对于方程$3x + 2 = 5x - 6$：
当$x=3$时，左边$=3×3 +2=9+2=11$，右边$=5×3 -6=15-6=9$，左边≠右边，因此$x=3$不是该方程的解。
当$x=4$时，左边$=3×4 +2=12+2=14$，右边$=5×4 -6=20-6=14$，左边=右边，因此$x=4$是该方程的解。
【答案】
(1) $x=6$不是方程$2x - 3 = 5(x - 3)$的解，$x=4$是该方程的解；
(2) $x=3$不是方程$3x + 2 = 5x - 6$的解，$x=4$是该方程的解。
【知识点】
方程的解的判定、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程解的判定方法，掌握“代入求值、比较左右、得出结论”的固定步骤即可轻松解答，该方法也是后续解方程后验证根是否正确的核心方法。
【难度系数】
0.85
