4. 将下表补充完整，由下表可知方程$2x-1=x+2$的解是。
| $x$ | … | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $2x-1$ | … | | | | | … |
| $x+2$ | … | 3 | 4 | 5 | 6 | … |

4. $x=3$ 表中数据从左到右依次填:1 3 5 7

【分析】
解题思路分两步：1. 先将x=1、2、3、4分别代入代数式2x-1，计算出对应的值，补全表格；2. 方程2x-1=x+2的解是使左右两边代数式值相等的未知数x的值，因此观察补全的表格，找到两个代数式数值相等时对应的x，就是方程的解。
【解析】
首先计算2x-1对应的值：
当x=1时，$2x-1=2×1-1=1$；
当x=2时，$2x-1=2×2-1=3$；
当x=3时，$2x-1=2×3-1=5$；
当x=4时，$2x-1=2×4-1=7$；
因此2x-1所在行从左到右依次填1、3、5、7。
观察表格可知，当x=3时，$2x-1=5$，$x+2=5$，两个代数式的值相等，满足方程$2x-1=x+2$，因此方程的解为$x=3$。
【答案】
表中数据从左到右依次填:1、3、5、7；方程的解是$\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
代数式求值；方程的解的定义
【点评】
本题考查方程解的概念的应用，通过列表计算代数式的值来验证方程的解，是检验方程解的基础方法，解题关键是明确方程的解的含义。
【难度系数】
0.9

5. 按照下面表格中的步骤，估算方程$3(x+1)-7x=2.2$的解，第三次估算时$x$可以取的值是().
估算次数 | 估计的$x$的值 | $3(x+1)-7x$的值 | 与方程右边2.2比较
第一次 | 0 | 3 | 大了
第二次 | 1 | $-1$ | 小了
第三次 | 估计的$x$的值 | |

A.$-0.1$
B.2
C.$0.2$
D.$-1$

5. C 解析 当 $x=0$ 时,$3(x+1)-7x=3＞2.2$,当 $x=1$ 时,$3(x+1)-7x=-1＜2.2$,所以原方程的解 $x$ 取 0 和 1 之间的数,排除 A,B,D,故选 C.

【分析】
要估算一元一次方程的解，首先明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。观察前两次的估算结果：当x=0时，左边代数式的值3比右边2.2大；当x=1时，左边代数式的值-1比右边2.2小，说明方程的解一定在0和1之间，接下来只需判断四个选项中哪个数落在0~1的区间内即可。
【解析】
首先根据前两次估算的结果判断解的范围：
当$x=0$时，$3(x+1)-7x=3$，$3＞2.2$；
当$x=1$时，$3(x+1)-7x=-1$，$-1＜2.2$；
因此方程的解$x$的取值范围是$0＜x＜1$。
逐一分析选项：
A.$-0.1＜0$，不在取值范围内，排除；
B.$2＞1$，不在取值范围内，排除；
C.$0＜0.2＜1$，符合取值范围，可选；
D.$-1＜0$，不在取值范围内，排除。
【答案】
C
【知识点】
方程的解估算；一元一次方程的解
【点评】
本题考查方程解的估算方法，解题的核心是通过两次估算的结果利用“夹逼法”确定解的取值范围，再结合选项筛选答案，解题思路简单清晰。
【难度系数】
0.8

一般地,等式有以下性质:
等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果.用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b\pm c$.
等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=bc$;如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=$.

仍相等 $\frac{b}{c}$

【分析】
本题考查等式基本性质的识记，解题思路如下：1. 首先回忆课本中等式性质1的完整表述，明确等式两边加减同一个数或式子后的结果特征，即可填出第一个空；2. 再回忆等式性质2中关于除法运算的规则，等式两边同时除以同一个不为0的数时，等式仍然成立，据此推导即可得出第二个空的结果。
【解析】
1. 对应等式性质1的内容：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，因此第一个空填“仍相等”；
2. 根据等式性质2，当$a=b$且$c≠0$时，给等式两边同时除以$c$，等式仍然成立，因此左边为$\frac{a}{c}$，右边为$\frac{b}{c}$，第二个空填$\frac{b}{c}$。
【答案】
仍相等；$\frac{b}{c}$
【知识点】
1. 等式的性质1
2. 等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念识记题，是后续解方程的核心基础，需要熟练掌握等式两个性质的内容和适用条件，避免出现除以0的错误。
【难度系数】
0.9

典例1 下列条件:①$a + 2 = b + 2$；②$-3a = -3b$；③$-a - c = b + c$；④$ac - 1 = bc - 1$；⑤$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，其中根据等式的性质可以推导出$a = b$的条件有(填序号)。

答案 ①②⑤
解析 $a+2=b+2$，等式两边减2，得$a=b$，故①符合题意；
$-3a=-3b$，等式两边除以$-3$，得$a=b$，故②符合题意；
$-a - c = b + c$，利用等式的性质不能得到$a=b$，故③不符合题意；
$ac -1 = bc -1$，等式两边加1，得$ac=bc$，当$c≠0$时，可以得到$a=b$；当$c=0$时，不一定有$a=b$，故④不符合题意；
$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，则$c≠0$，等式两边乘$c$，得$a=b$，故⑤符合题意,故答案为①②⑤.

【分析】
解题时首先要牢记等式的两条基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来逐个分析每个条件，判断是否符合等式性质，能否推导出$a=b$，特别要注意：当等式两边同时除以含参数的式子时，必须确认这个式子不为0，否则变形不成立。
【解析】
①对等式$a + 2 = b + 2$，两边同时减去2，可得$a = b$，符合题意；
②对等式$-3a = -3b$，两边同时除以不为0的$-3$，可得$a = b$，符合题意；
③对等式$-a - c = b + c$，整理可得$-a - b = 2c$，无法直接推出$a = b$，不符合题意；
④对等式$ac - 1 = bc - 1$，两边先同时加1得$ac = bc$，当$c = 0$时，无论$a、b$取何值等式都成立，无法推出$a = b$，不符合题意；
⑤对等式$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，由分母有意义可知$c≠0$，两边同时乘$c$，可得$a = b$，符合题意。
【答案】
①②⑤
【知识点】
1.等式的性质1 2.等式的性质2
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边除以同一个数时，该数不能为0的限制条件，判断含参数的等式变形时要考虑参数为0的特殊情况，避免误判。
【难度系数】
0.7

举一反三 根据等式的性质填空：
（1）若 $3x + 5 = 8$，则 $3x = 8 - \_\_\_\_\_\_$，根据 ______，等式的两边 ______；
（2）若 $-4x = \frac{1}{4}$，则 $x = \_\_\_\_\_\_$，根据 ______，等式的两边 ______。

(1) 5 等式的性质1 减5
(2) $-\frac{1}{16}$ 等式的性质2 除以$-4$

【分析】
解决这类题的核心思路是先观察等式左侧从原式到目标式做了什么运算，再根据等式的性质，让等式右侧做完全相同的运算即可。
第（1）问：原式左边是$3x+5$，要得到$3x$，需要把左边的$+5$去掉，也就是给左边减5，根据等式的性质，右边也要做相同的减法运算。
第（2）问：原式左边是$-4x$，要得到$x$，需要给左边除以$-4$，根据等式的性质，右边也要除以同一个不为0的数$-4$，计算出结果即可。
【解析】
（1）已知$3x+5=8$，要使左边变为$3x$，需给等式两边同时减去5，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。此时右边变为$8-5$，因此依次填5、等式的性质1、减5。
（2）已知$-4x=\frac{1}{4}$，要使左边变为$x$，需给等式两边同时除以$-4$，依据是等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。此时右边为$\frac{1}{4}÷(-4)=-\frac{1}{16}$，因此依次填$-\frac{1}{16}$、等式的性质2、除以$-4$。
【答案】
(1) 5 等式的性质1 减5
(2) $-\frac{1}{16}$ 等式的性质2 除以$-4$
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题属于等式性质的基础应用类题目，解题关键是准确判断等式一侧的变形方式，再对另一侧做相同的合法变形，注意运用等式的性质2时，除数不能为0。
【难度系数】
0.85