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1. 下列函数属于二次函数的是（）
A.$y=x-\frac{1}{x}$
B.$y=(x-3)^2 - x^2$
C.$y=ax^2 + bx + c$
D.$y=2(x+1)^2 -1$
A.$y=x-\frac{1}{x}$
B.$y=(x-3)^2 - x^2$
C.$y=ax^2 + bx + c$
D.$y=2(x+1)^2 -1$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，需紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，判定需满足三个要点：①函数表达式的右边是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们按照这三个要点逐个排查选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$y=x-\frac{1}{x}$中含有分式$\frac{1}{x}$，右边不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项B：先化简表达式，$y=(x-3)^2 - x^2 = x^2-6x+9-x^2=-6x+9$，化简后最高次数为1，属于一次函数，排除；
选项C：表达式$y=ax^2+bx+c$未注明$a≠0$，若$a=0$则不是二次函数，不符合要求，排除；
选项D：化简得$y=2(x+1)^2 -1=2(x^2+2x+1)-1=2x^2+4x+1$，满足$a=2≠0$，最高次数为2且右边是整式，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义，整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时要注意先对函数表达式化简后再判断次数，同时不能忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，需紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，判定需满足三个要点：①函数表达式的右边是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们按照这三个要点逐个排查选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$y=x-\frac{1}{x}$中含有分式$\frac{1}{x}$，右边不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项B：先化简表达式，$y=(x-3)^2 - x^2 = x^2-6x+9-x^2=-6x+9$，化简后最高次数为1，属于一次函数，排除；
选项C：表达式$y=ax^2+bx+c$未注明$a≠0$，若$a=0$则不是二次函数，不符合要求，排除；
选项D：化简得$y=2(x+1)^2 -1=2(x^2+2x+1)-1=2x^2+4x+1$，满足$a=2≠0$，最高次数为2且右边是整式，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义，整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时要注意先对函数表达式化简后再判断次数，同时不能忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=x^2$，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的解析式是（）
A.$y=(x+1)^2+2$
B.$y=(x+1)^2-2$
C.$y=(x-1)^2+2$
D.$y=(x-1)^2-2$
A.$y=(x+1)^2+2$
B.$y=(x+1)^2-2$
C.$y=(x-1)^2+2$
D.$y=(x-1)^2-2$
答案
B
解析
【分析】
解题核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律。首先明确平移操作的对象：左右平移是对自变量x进行变换，向左平移则给x加上平移单位，向右平移则给x减去平移单位；上下平移是对整个函数值进行变换，向上平移则给函数整体加上平移单位，向下平移则给函数整体减去平移单位。我们按照题目给出的平移顺序，先处理向左平移，再处理向下平移，逐步推导解析式即可。
【解析】
原二次函数解析式为$y=x^2$。
第一步：将图象向左平移1个单位，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$x+1$，得到平移后的解析式为$y=(x+1)^2$；
第二步：再将所得图象向下平移2个单位，根据“上加下减”的规律，给函数整体减去2，得到最终解析式为$y=(x+1)^2-2$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查平移规律的应用，解题关键是区分左右平移针对自变量x、上下平移针对函数整体的变换规则，熟练掌握规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律。首先明确平移操作的对象：左右平移是对自变量x进行变换，向左平移则给x加上平移单位，向右平移则给x减去平移单位；上下平移是对整个函数值进行变换，向上平移则给函数整体加上平移单位，向下平移则给函数整体减去平移单位。我们按照题目给出的平移顺序，先处理向左平移，再处理向下平移，逐步推导解析式即可。
【解析】
原二次函数解析式为$y=x^2$。
第一步：将图象向左平移1个单位，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$x+1$，得到平移后的解析式为$y=(x+1)^2$；
第二步：再将所得图象向下平移2个单位，根据“上加下减”的规律，给函数整体减去2，得到最终解析式为$y=(x+1)^2-2$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查平移规律的应用，解题关键是区分左右平移针对自变量x、上下平移针对函数整体的变换规则，熟练掌握规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 关于二次函数$y=-2x^2 -2$，下列说法正确的是 （）
A.图象开口向上
B.图象的对称轴是直线$x=1$
C.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.当$x=0$时，$y$取得最大值$-2$
A.图象开口向上
B.图象的对称轴是直线$x=1$
C.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.当$x=0$时，$y$取得最大值$-2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题时先明确二次函数各项系数的意义，再依次对四个选项逐一验证：首先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，再确定对称轴，接着结合开口方向和对称轴分析增减性，最后判断最值即可得出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 -2$：
1. 验证A选项：二次项系数$a=-2＜0$，图象开口向下，因此A选项错误；
2. 验证B选项：该函数为$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），因此B选项错误；
3. 验证C选项：因图象开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，因此C选项错误；
4. 验证D选项：因图象开口向下，顶点坐标为$(0,-2)$，所以当$x=0$时，$y$取得最大值$-2$，因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查顶点在$y$轴上的二次函数的图象与性质，熟练掌握开口方向、对称轴、增减性、最值与函数系数的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题时先明确二次函数各项系数的意义，再依次对四个选项逐一验证：首先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，再确定对称轴，接着结合开口方向和对称轴分析增减性，最后判断最值即可得出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 -2$：
1. 验证A选项：二次项系数$a=-2＜0$，图象开口向下，因此A选项错误；
2. 验证B选项：该函数为$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），因此B选项错误；
3. 验证C选项：因图象开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，因此C选项错误；
4. 验证D选项：因图象开口向下，顶点坐标为$(0,-2)$，所以当$x=0$时，$y$取得最大值$-2$，因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查顶点在$y$轴上的二次函数的图象与性质，熟练掌握开口方向、对称轴、增减性、最值与函数系数的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.85
4. 如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的一个交点为$A(1,0)$，对称轴是直线$x=-1$，则方程$ax^2+bx+c=0$的解是 （）
A.$x_1=-3,x_2=1$
B.$x_1=3,x_2=1$
C.$x_1=x_2=-3$
D.$x_1=x_2=-2$
第4小题图 第5小题图
A.$x_1=-3,x_2=1$
B.$x_1=3,x_2=1$
C.$x_1=x_2=-3$
D.$x_1=x_2=-2$
第4小题图 第5小题图
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。已知抛物线的一个交点横坐标为1，再结合抛物线是轴对称图形，两个交点关于对称轴$x=-1$对称，利用中点坐标公式即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个解。
【解析】
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，
∴ 已知抛物线与$x$轴的一个交点为$A(1,0)$，可得方程的一个解为$x_2=1$。
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为$x_1$，根据中点坐标公式可得：$\frac{x_1 + 1}{2} = -1$，
解得$x_1 = -2 -1 = -3$。
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-3,x_2=1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，结合二次函数的对称性即可快速求解，熟练掌握二次函数的基本性质是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。已知抛物线的一个交点横坐标为1，再结合抛物线是轴对称图形，两个交点关于对称轴$x=-1$对称，利用中点坐标公式即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个解。
【解析】
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，
∴ 已知抛物线与$x$轴的一个交点为$A(1,0)$，可得方程的一个解为$x_2=1$。
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为$x_1$，根据中点坐标公式可得：$\frac{x_1 + 1}{2} = -1$，
解得$x_1 = -2 -1 = -3$。
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-3,x_2=1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，结合二次函数的对称性即可快速求解，熟练掌握二次函数的基本性质是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 抛物线$y=ax^2+bx-3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$OB=OC=3OA$，则抛物线的解析式为（）
A.$y=x^2-2x-3$
B.$y=x^2-2x+3$
C.$y=x^2-2x-4$
D.$y=x^2-2x-5$
A.$y=x^2-2x-3$
B.$y=x^2-2x+3$
C.$y=x^2-2x-4$
D.$y=x^2-2x-5$
答案
A
解析
【分析】
要确定抛物线的解析式，已知常数项为-3，只需求出系数a、b的值即可。解题思路如下：第一步，先求抛物线与y轴的交点C的坐标，得到OC的长度；第二步，根据OB=OC=3OA的线段关系，计算出OA、OB的长度，结合抛物线的性质确定x轴上A、B两点的坐标；第三步，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组求出a、b的值，即可得到解析式，对应选项选出答案。
【解析】
1. 求点C坐标：当x=0时，代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得$y=-3$，因此点C坐标为$(0,-3)$，可得$OC=3$。
2. 求OA、OB长度：由$OB=OC=3OA$，得$OB=3$，$3OA=3$，即$OA=1$。
3. 确定A、B坐标：抛物线二次项系数a＞0（选项中a均为1），且与y轴交于负半轴，因此抛物线与x轴的两个交点分别在负半轴、正半轴，即A为$(-1,0)$，B为$(3,0)$。
4. 代入求系数：将A$(-1,0)$、B$(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\a×3^2 + b×3 -3 = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加消去b，得$4a=4$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a - b =3$，得$1 - b =3$，解得$b=-2$。
因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是先通过与y轴交点得到线段OC的长度，再结合已知线段关系推出x轴交点坐标，最后用待定系数法求解即可，解题时要注意结合抛物线性质确定交点的正负位置，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的解析式，已知常数项为-3，只需求出系数a、b的值即可。解题思路如下：第一步，先求抛物线与y轴的交点C的坐标，得到OC的长度；第二步，根据OB=OC=3OA的线段关系，计算出OA、OB的长度，结合抛物线的性质确定x轴上A、B两点的坐标；第三步，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组求出a、b的值，即可得到解析式，对应选项选出答案。
【解析】
1. 求点C坐标：当x=0时，代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得$y=-3$，因此点C坐标为$(0,-3)$，可得$OC=3$。
2. 求OA、OB长度：由$OB=OC=3OA$，得$OB=3$，$3OA=3$，即$OA=1$。
3. 确定A、B坐标：抛物线二次项系数a＞0（选项中a均为1），且与y轴交于负半轴，因此抛物线与x轴的两个交点分别在负半轴、正半轴，即A为$(-1,0)$，B为$(3,0)$。
4. 代入求系数：将A$(-1,0)$、B$(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\a×3^2 + b×3 -3 = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加消去b，得$4a=4$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a - b =3$，得$1 - b =3$，解得$b=-2$。
因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是先通过与y轴交点得到线段OC的长度，再结合已知线段关系推出x轴交点坐标，最后用待定系数法求解即可，解题时要注意结合抛物线性质确定交点的正负位置，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.8
6. 坐落于黄冈市红安县高桥镇的高桥河桥为省级文保古石桥，桥身主拱横截面呈抛物线造型.如图，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降2.5 m，水面宽度增加 （）
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.6 m
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.6 m
答案
B
解析
【分析】
这是二次函数在实际拱桥问题中的应用，解题思路如下：首先合理建立平面直角坐标系，简化抛物线解析式的形式；其次利用已知条件，用待定系数法求出抛物线的解析式；最后根据水面下降的高度，代入解析式求出对应水面的横坐标，计算此时的水面宽度，再减去原水面宽度即可得到增加的宽度。
【解析】
解：以抛物线拱顶为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y=ax^2(a≠0) $。
由题意得，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上的点$(2,-2)$在抛物线上，代入解析式：
$-2 = a× 2^2$，解得$ a=-\frac{1}{2} $，
即抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^2 $。
当水面下降2.5m时，此时对应点的纵坐标为$ y=-2-2.5=-4.5 $，代入解析式：
$ -4.5 = -\frac{1}{2}x^2 $，解得$ x^2=9 $，即$ x=\pm3 $。
此时水面宽度为$ 3 - (-3) = 6\ \mathrm{m} $，
水面宽度增加了$ 6 - 4 = 2\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数的代数问题，重点考察学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际拱桥问题中的应用，解题思路如下：首先合理建立平面直角坐标系，简化抛物线解析式的形式；其次利用已知条件，用待定系数法求出抛物线的解析式；最后根据水面下降的高度，代入解析式求出对应水面的横坐标，计算此时的水面宽度，再减去原水面宽度即可得到增加的宽度。
【解析】
解：以抛物线拱顶为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y=ax^2(a≠0) $。
由题意得，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上的点$(2,-2)$在抛物线上，代入解析式：
$-2 = a× 2^2$，解得$ a=-\frac{1}{2} $，
即抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^2 $。
当水面下降2.5m时，此时对应点的纵坐标为$ y=-2-2.5=-4.5 $，代入解析式：
$ -4.5 = -\frac{1}{2}x^2 $，解得$ x^2=9 $，即$ x=\pm3 $。
此时水面宽度为$ 3 - (-3) = 6\ \mathrm{m} $，
水面宽度增加了$ 6 - 4 = 2\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数的代数问题，重点考察学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
