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7.设二次函数$y=a(x-m)(x-m-k)(a＞0,m,k$是实数),则 （）
A.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-a$
B.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-2a$
C.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-a$
D.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-2a$
A.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-a$
B.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-2a$
C.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-a$
D.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-2a$
答案
A
解析
【分析】
本题给出二次函数的交点式，且已知a＞0，说明函数开口向上，存在最小值。解题时可先根据交点式确定函数与x轴的两个交点坐标，利用二次函数的对称性求出对称轴，再将对称轴对应的x值代入解析式算出最小值，最后分别代入k=2、k=4的情况和选项对比即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=a(x-m)(x-m-k)$（$a＞0$），令$y=0$，可得函数与x轴的两个交点横坐标为$x_1=m$，$x_2=m+k$。
根据二次函数的对称性，函数的对称轴为两根的中点，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m+m+k}{2}=m+\frac{k}{2}$
因为$a＞0$，函数开口向上，所以当$x=m+\frac{k}{2}$时，$y$取得最小值，将其代入解析式得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{min}}&=a·(m+\frac{k}{2}-m)·(m+\frac{k}{2}-m-k)\\&=a·\frac{k}{2}·(-\frac{k}{2})\\&=-\frac{ak^2}{4}\end{aligned}$
当$k=2$时，$y_{\mathrm{min}}=-\frac{a×2^2}{4}=-a$，故A正确，B错误；
当$k=4$时，$y_{\mathrm{min}}=-\frac{a×4^2}{4}=-4a$，故C、D错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点式；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数基本性质的应用，利用交点式快速确定对称轴是解题的突破口，解题过程中要注意开口方向对最值的影响，属于常规基础题型，熟练掌握二次函数的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
本题给出二次函数的交点式，且已知a＞0，说明函数开口向上，存在最小值。解题时可先根据交点式确定函数与x轴的两个交点坐标，利用二次函数的对称性求出对称轴，再将对称轴对应的x值代入解析式算出最小值，最后分别代入k=2、k=4的情况和选项对比即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=a(x-m)(x-m-k)$（$a＞0$），令$y=0$，可得函数与x轴的两个交点横坐标为$x_1=m$，$x_2=m+k$。
根据二次函数的对称性，函数的对称轴为两根的中点，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m+m+k}{2}=m+\frac{k}{2}$
因为$a＞0$，函数开口向上，所以当$x=m+\frac{k}{2}$时，$y$取得最小值，将其代入解析式得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{min}}&=a·(m+\frac{k}{2}-m)·(m+\frac{k}{2}-m-k)\\&=a·\frac{k}{2}·(-\frac{k}{2})\\&=-\frac{ak^2}{4}\end{aligned}$
当$k=2$时，$y_{\mathrm{min}}=-\frac{a×2^2}{4}=-a$，故A正确，B错误；
当$k=4$时，$y_{\mathrm{min}}=-\frac{a×4^2}{4}=-4a$，故C、D错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点式；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数基本性质的应用，利用交点式快速确定对称轴是解题的突破口，解题过程中要注意开口方向对最值的影响，属于常规基础题型，熟练掌握二次函数的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
8. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，现有以下结论：①$a＜0$；②$abc＞0$；③$a-b+c＜0$；④$b^2-4ac＜0$。其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解决这类二次函数图像与结论判断的问题，可按照以下思路逐步分析：第一步根据抛物线开口方向判断a的符号；第二步根据对称轴位置结合a的符号判断b的符号，再根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，进而判断abc的正负；第三步取特殊值x=-1，结合对应点的位置判断a-b+c的符号；第四步根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式b²-4ac的符号，最后汇总正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个判断4个结论：
1. 判断结论①：抛物线开口向下，根据二次函数性质，开口向下时$a＜0$，故①正确；
2. 判断结论②：抛物线对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，两边同乘$2a$（负数，不等号方向改变）得$-b＜0$，即$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$；因此$abc=负数×正数×正数＜0$，故②错误；
3. 判断结论③：当$x=-1$时，二次函数值$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，由图像可知$x=-1$时对应的点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，故③正确；
4. 判断结论④：抛物线与x轴有2个交点，根据二次函数判别式的意义，此时$b^2-4ac＞0$，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的函数值；二次函数判别式的意义
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数各项系数、特殊点函数值、判别式与图像特征的对应关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图像与结论判断的问题，可按照以下思路逐步分析：第一步根据抛物线开口方向判断a的符号；第二步根据对称轴位置结合a的符号判断b的符号，再根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，进而判断abc的正负；第三步取特殊值x=-1，结合对应点的位置判断a-b+c的符号；第四步根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式b²-4ac的符号，最后汇总正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个判断4个结论：
1. 判断结论①：抛物线开口向下，根据二次函数性质，开口向下时$a＜0$，故①正确；
2. 判断结论②：抛物线对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，两边同乘$2a$（负数，不等号方向改变）得$-b＜0$，即$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$；因此$abc=负数×正数×正数＜0$，故②错误；
3. 判断结论③：当$x=-1$时，二次函数值$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，由图像可知$x=-1$时对应的点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，故③正确；
4. 判断结论④：抛物线与x轴有2个交点，根据二次函数判别式的意义，此时$b^2-4ac＞0$，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的函数值；二次函数判别式的意义
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数各项系数、特殊点函数值、判别式与图像特征的对应关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 黄冈市罗田县依托电商助农平台售卖地标特产罗田板栗.每斤进价为10元,若按每斤15元出售,每天可售出200斤;若每斤提价1元,每天的销售量就减少10斤.设每斤售价为x元(x≥15),每天的利润为y元,则y与x的函数解析式为 ()
第8小题图
A.$y=(x-10)(200-10x)$
B.$y=(x-10)(350-10x)$
C.$y=(x-15)(200-10x)$
D.$y=(x-15)(350-10x)$
第8小题图
A.$y=(x-10)(200-10x)$
B.$y=(x-10)(350-10x)$
C.$y=(x-15)(200-10x)$
D.$y=(x-15)(350-10x)$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题的核心是牢记销售问题的基本等量关系：总利润=单件商品的利润×销售总数量。我们可以分两步推导：第一步，先算每斤板栗的利润，用售价减去进价即可；第二步，推导售价为x元时的日销售量：已知售价15元时销量200斤，每提价1元销量减少10斤，先算出售价比15元高了多少，就能算出减少的销量，用原销量减去减少的销量就得到实际销量，最后把两个量相乘就能得到函数解析式。
【解析】
1. 计算单件利润：每斤进价为10元，售价为x元，因此每斤的利润为$\boxed{x-10}$元。
2. 计算日销售量：
售价x元比15元提价了$(x-15)$元，因此销量减少了$10(x-15)$斤。
即日销售量为：
$200 - 10(x-15) = 200 -10x + 150 = \boxed{350 - 10x}$斤。
3. 推导函数解析式：
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$y=(x-10)(350-10x)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式，代数式化简
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查对利润等量关系的理解和运用，解题的关键是准确表示出不同售价对应的销售量，这类题型是实际应用类问题的常考方向，掌握基本等量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是牢记销售问题的基本等量关系：总利润=单件商品的利润×销售总数量。我们可以分两步推导：第一步，先算每斤板栗的利润，用售价减去进价即可；第二步，推导售价为x元时的日销售量：已知售价15元时销量200斤，每提价1元销量减少10斤，先算出售价比15元高了多少，就能算出减少的销量，用原销量减去减少的销量就得到实际销量，最后把两个量相乘就能得到函数解析式。
【解析】
1. 计算单件利润：每斤进价为10元，售价为x元，因此每斤的利润为$\boxed{x-10}$元。
2. 计算日销售量：
售价x元比15元提价了$(x-15)$元，因此销量减少了$10(x-15)$斤。
即日销售量为：
$200 - 10(x-15) = 200 -10x + 150 = \boxed{350 - 10x}$斤。
3. 推导函数解析式：
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$y=(x-10)(350-10x)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式，代数式化简
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查对利润等量关系的理解和运用，解题的关键是准确表示出不同售价对应的销售量，这类题型是实际应用类问题的常考方向，掌握基本等量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图，足球训练中，小明从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为$y=a(x-2)^2+2.8$。已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（）
A.$-0.8$
B.$-0.1$
C.$-0.05$
D.$-0.01$
第10小题图
A.$-0.8$
B.$-0.1$
C.$-0.05$
D.$-0.01$
第10小题图
答案
解析
【分析】
要判断足球能否射进球门，需明确球门位置对应x=0，此时足球的高度y需满足0＜y＜2.44（既低于球门高度，又未落地）。我们可以将x=0代入抛物线顶点式，得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围后，对比选项即可得到正确答案。
【解析】
将x=0代入抛物线解析式$y=a(x-2)^2+2.8$，可得：
$y=a×(0-2)^2+2.8=4a+2.8$
若足球能直接射进球门，则需满足$0＜y＜2.44$，代入得不等式组：
$\begin{cases}4a+2.8＜2.44 \\4a+2.8＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：
$4a＜2.44-2.8$
$4a＜-0.36$
$a＜-0.09$
解第二个不等式：
$4a＞-2.8$
$a＞-0.7$
综上，a的取值范围为$-0.7＜a＜-0.09$，对比选项，只有$-0.1$在该范围内。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题转化为函数的取值问题，通过建立不等式组求解参数范围，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.6
要判断足球能否射进球门，需明确球门位置对应x=0，此时足球的高度y需满足0＜y＜2.44（既低于球门高度，又未落地）。我们可以将x=0代入抛物线顶点式，得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围后，对比选项即可得到正确答案。
【解析】
将x=0代入抛物线解析式$y=a(x-2)^2+2.8$，可得：
$y=a×(0-2)^2+2.8=4a+2.8$
若足球能直接射进球门，则需满足$0＜y＜2.44$，代入得不等式组：
$\begin{cases}4a+2.8＜2.44 \\4a+2.8＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：
$4a＜2.44-2.8$
$4a＜-0.36$
$a＜-0.09$
解第二个不等式：
$4a＞-2.8$
$a＞-0.7$
综上，a的取值范围为$-0.7＜a＜-0.09$，对比选项，只有$-0.1$在该范围内。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题转化为函数的取值问题，通过建立不等式组求解参数范围，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.6
11. 如果二次函数$y=x^2 -2x +k -3$的图象经过原点，那么$k$的值是。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。已知二次函数图象经过原点，原点坐标为(0,0)，因此只需将x=0、y=0代入给定的二次函数解析式，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -2x +k -3$的图象经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入函数解析式，得：
$0=0^2 - 2×0 + k - 3$
整理得：$k-3=0$
解得：$k=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题思路清晰，计算难度低，熟练掌握代入法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。已知二次函数图象经过原点，原点坐标为(0,0)，因此只需将x=0、y=0代入给定的二次函数解析式，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -2x +k -3$的图象经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入函数解析式，得：
$0=0^2 - 2×0 + k - 3$
整理得：$k-3=0$
解得：$k=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题思路清晰，计算难度低，熟练掌握代入法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
12.若二次函数$y=x^2 -4x +c$的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{c＞4}$
解析
【分析】
二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的判别式$\Delta$的关系是本题的解题核心。首先明确：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴无交点，等价于对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$无实数根，此时判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$。接下来只需提取本题中二次函数的二次项系数、一次项系数，代入判别式列出关于$c$的不等式，求解即可得到$c$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -4x +c$，其中$a=1$，$b=-4$。
$\because$ 二次函数图象与x轴没有交点，
$\therefore$ 对应的一元二次方程$x^2 -4x +c=0$无实数根，即判别式$\Delta＜0$。
代入$a、b$的值可得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× c ＜ 0$
计算得：$16 - 4c ＜ 0$
移项得：$-4c ＜ -16$
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$c＞4$
【答案】
$c＞4$
【知识点】
二次函数与x轴交点、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，解题关键是牢记判别式的不同取值对应的交点个数规律，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的判别式$\Delta$的关系是本题的解题核心。首先明确：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴无交点，等价于对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$无实数根，此时判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$。接下来只需提取本题中二次函数的二次项系数、一次项系数，代入判别式列出关于$c$的不等式，求解即可得到$c$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -4x +c$，其中$a=1$，$b=-4$。
$\because$ 二次函数图象与x轴没有交点，
$\therefore$ 对应的一元二次方程$x^2 -4x +c=0$无实数根，即判别式$\Delta＜0$。
代入$a、b$的值可得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× c ＜ 0$
计算得：$16 - 4c ＜ 0$
移项得：$-4c ＜ -16$
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$c＞4$
【答案】
$c＞4$
【知识点】
二次函数与x轴交点、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，解题关键是牢记判别式的不同取值对应的交点个数规律，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
13.用“描点法”画二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象时，列出了如下表格：
那么当$x=5$时，该二次函数$y$的值为。
那么当$x=5$时，该二次函数$y$的值为。
答案
$\boldsymbol{-8}$
解析
【分析】
观察表格给出的二次函数对应值，我们可以选取3组已知的x、y值，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将x=5代入解析式即可计算出对应的y值；也可先通过表格中对称的函数值确定抛物线对称轴，利用二次函数的对称性求解，这里用待定系数法更直观，符合当前学段的解题要求。
【解析】
选取表格中三组值$(0,-3)$、$(1,0)$、$(2,1)$代入$y=ax^2+bx+c$：
1. 把$x=0,y=-3$代入得：$c=-3$；
2. 把$x=1,y=0,c=-3$代入得：$a+b-3=0$，即$a+b=3$ ①；
3. 把$x=2,y=1,c=-3$代入得：$4a+2b-3=1$，化简得$2a+b=2$ ②；
用②-①消去$b$：$(2a+b)-(a+b)=2-3$，解得$a=-1$；
将$a=-1$代入①得：$-1+b=3$，解得$b=4$；
因此二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$；
将$x=5$代入解析式：
$y=-5^2+4×5-3=-25+20-3=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值；二次函数性质
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，既可以通过待定系数法求解析式求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到结果，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
观察表格给出的二次函数对应值，我们可以选取3组已知的x、y值，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将x=5代入解析式即可计算出对应的y值；也可先通过表格中对称的函数值确定抛物线对称轴，利用二次函数的对称性求解，这里用待定系数法更直观，符合当前学段的解题要求。
【解析】
选取表格中三组值$(0,-3)$、$(1,0)$、$(2,1)$代入$y=ax^2+bx+c$：
1. 把$x=0,y=-3$代入得：$c=-3$；
2. 把$x=1,y=0,c=-3$代入得：$a+b-3=0$，即$a+b=3$ ①；
3. 把$x=2,y=1,c=-3$代入得：$4a+2b-3=1$，化简得$2a+b=2$ ②；
用②-①消去$b$：$(2a+b)-(a+b)=2-3$，解得$a=-1$；
将$a=-1$代入①得：$-1+b=3$，解得$b=4$；
因此二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$；
将$x=5$代入解析式：
$y=-5^2+4×5-3=-25+20-3=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值；二次函数性质
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，既可以通过待定系数法求解析式求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到结果，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
14. 如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度。他先测出门的宽度$AB=8\ \mathrm{m}$，然后用一根长为$4\ \mathrm{m}$的小竹竿$CD$竖直地接触地面和门的内壁，并测得$AC=2\ \mathrm{m}$，则门高$OE$为$\mathrm{m}$.
答案
解析
【分析】
要解决这个抛物线形大门的高度问题，我们可以利用题目给出的平面直角坐标系，通过待定系数法求出抛物线的解析式，再计算顶点的纵坐标即可得到门高OE。首先根据已知的线段长度确定抛物线上两个点的坐标：因为门宽AB=8m，对称轴为y轴，可得A点坐标为(-4,0)；再根据AC=2m、CD=4m，可求出D点坐标为(-2,4)。接下来设对称轴为y轴的抛物线解析式为y=ax²+c，代入两个点的坐标解出参数c，就是OE的长度。
【解析】
由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，AB=8m，因此OA=OB=4m，即点A的坐标为(-4, 0)，点B的坐标为(4, 0)。
已知AC=2m，因此OC=OA-AC=4-2=2m，又CD=4m且CD垂直x轴，所以点D的坐标为(-2, 4)。
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 + c $（a≠0），将A(-4,0)和D(-2,4)代入解析式得方程组：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\4a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$ 12a = -4 $，解得$ a = -\frac{1}{3} $。
将$ a = -\frac{1}{3} $代入$ 4a + c = 4 $，得：$ 4×(-\frac{1}{3}) + c = 4 $，解得$ c = \frac{16}{3} $。
门高OE是抛物线顶点的纵坐标，即当x=0时，$ y = c = \frac{16}{3} $，因此OE的长度为$\frac{16}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{16}{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是结合坐标系和已知线段长度得到抛物线上点的坐标，再利用待定系数法求出解析式，最终通过顶点纵坐标得到所求高度，侧重考查对二次函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个抛物线形大门的高度问题，我们可以利用题目给出的平面直角坐标系，通过待定系数法求出抛物线的解析式，再计算顶点的纵坐标即可得到门高OE。首先根据已知的线段长度确定抛物线上两个点的坐标：因为门宽AB=8m，对称轴为y轴，可得A点坐标为(-4,0)；再根据AC=2m、CD=4m，可求出D点坐标为(-2,4)。接下来设对称轴为y轴的抛物线解析式为y=ax²+c，代入两个点的坐标解出参数c，就是OE的长度。
【解析】
由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，AB=8m，因此OA=OB=4m，即点A的坐标为(-4, 0)，点B的坐标为(4, 0)。
已知AC=2m，因此OC=OA-AC=4-2=2m，又CD=4m且CD垂直x轴，所以点D的坐标为(-2, 4)。
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 + c $（a≠0），将A(-4,0)和D(-2,4)代入解析式得方程组：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\4a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$ 12a = -4 $，解得$ a = -\frac{1}{3} $。
将$ a = -\frac{1}{3} $代入$ 4a + c = 4 $，得：$ 4×(-\frac{1}{3}) + c = 4 $，解得$ c = \frac{16}{3} $。
门高OE是抛物线顶点的纵坐标，即当x=0时，$ y = c = \frac{16}{3} $，因此OE的长度为$\frac{16}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{16}{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是结合坐标系和已知线段长度得到抛物线上点的坐标，再利用待定系数法求出解析式，最终通过顶点纵坐标得到所求高度，侧重考查对二次函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
15.体育测试时,九年级一名男生抛实心球.已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.如果实心球出手处A距离地面的高度是2米,当球运动的水平距离为6米时,到达最大高度5米的B处,则该男生本次抛实心球的成绩是米.(结果保留根号)
第14小题图
第14小题图
答案
解：以实心球出手处A的水平位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得：$A(0,2)$，抛物线顶点$B(6,5)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+5$，
将$A(0,2)$代入解析式得：
$2=a·(0-6)^2+5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
令$y=0$，则：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
整理得$(x-6)^2=60$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$（不符合实际，舍去）。
故答案为：$6+2\sqrt{15}$。
由题意得：$A(0,2)$，抛物线顶点$B(6,5)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+5$，
将$A(0,2)$代入解析式得：
$2=a·(0-6)^2+5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
令$y=0$，则：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
整理得$(x-6)^2=60$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$（不符合实际，舍去）。
故答案为：$6+2\sqrt{15}$。
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题时先建立合适的平面直角坐标系，将实际场景中的点转化为坐标。因为已知抛物线的顶点坐标，所以优先选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知的出手点坐标求出解析式中的未知系数，最后实心球落地时高度为0，令解析式中y=0，解出x的正数值即为抛实心球的成绩，舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
以A点的水平投影为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，点A坐标为$(0,2)$，抛物线的顶点B坐标为$(6,5)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-6)^2+5$，
把$A(0,2)$代入解析式得：$2=a(0-6)^2+5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
当实心球落地时，高度$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
整理得$(x-6)^2=60$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$（不符合实际情况，舍去）。
【答案】
$6+2\sqrt{15}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题的核心是建立合适的坐标系将实际问题转化为二次函数问题，再结合实际意义求解，能很好地考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
这是二次函数的实际应用问题，解题时先建立合适的平面直角坐标系，将实际场景中的点转化为坐标。因为已知抛物线的顶点坐标，所以优先选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知的出手点坐标求出解析式中的未知系数，最后实心球落地时高度为0，令解析式中y=0，解出x的正数值即为抛实心球的成绩，舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
以A点的水平投影为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，点A坐标为$(0,2)$，抛物线的顶点B坐标为$(6,5)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-6)^2+5$，
把$A(0,2)$代入解析式得：$2=a(0-6)^2+5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
当实心球落地时，高度$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
整理得$(x-6)^2=60$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$（不符合实际情况，舍去）。
【答案】
$6+2\sqrt{15}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题的核心是建立合适的坐标系将实际问题转化为二次函数问题，再结合实际意义求解，能很好地考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
