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三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)已知函数$y=-(x-1)(x-3)$.
(1)指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；
(2)选取适当的数据填入表格,并在如图所示的直角坐标系内描点,画出该函数的图象.
16.(6分)已知函数$y=-(x-1)(x-3)$.
(1)指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；
(2)选取适当的数据填入表格,并在如图所示的直角坐标系内描点,画出该函数的图象.
答案
解：
(1) 将函数解析式整理为顶点式：
$y=-(x-1)(x-3) = -(x^2-4x+3) = -(x-2)^2 + 1$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴该函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,1)$。
该函数图象的对称轴为直线$x=2$：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 选取合适的对应值填入表格：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
|-----|---------|---|---|---|---|---|---------|
| $y$ | $\dots$ | -3 | 0 | 1 | 0 | -3 | $\dots$ |
在直角坐标系中描出点$(0,-3)$、$(1,0)$、$(2,1)$、$(3,0)$、$(4,-3)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(1) 将函数解析式整理为顶点式：
$y=-(x-1)(x-3) = -(x^2-4x+3) = -(x-2)^2 + 1$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴该函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,1)$。
该函数图象的对称轴为直线$x=2$：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 选取合适的对应值填入表格：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
|-----|---------|---|---|---|---|---|---------|
| $y$ | $\dots$ | -3 | 0 | 1 | 0 | -3 | $\dots$ |
在直角坐标系中描出点$(0,-3)$、$(1,0)$、$(2,1)$、$(3,0)$、$(4,-3)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：第(1)问首先将给定的交点式函数解析式转化为顶点式，通过二次项系数的正负判断开口方向，从顶点式中直接提取顶点坐标，再以对称轴为分界点，分别讨论x在对称轴两侧时y随x的变化规律；第(2)问绘制二次函数图像时，优先选取顶点、与坐标轴的交点以及关于对称轴对称的点，计算对应坐标填入表格后，描点并用平滑曲线连接即可得到函数图像。
【解析】
(1) 将函数解析式整理为顶点式：
$y=-(x-1)(x-3) = -(x^2-4x+3) = -(x-2)^2 + 1$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴该函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,1)$。
该函数图象的对称轴为直线$x=2$：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 选取顶点、与x轴交点和对称点计算对应值，填入表格：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
|-----|---------|---|---|---|---|---|---------|
| $y$ | $\dots$ | -3 | 0 | 1 | 0 | -3 | $\dots$ |
在直角坐标系中描出点$(0,-3)$、$(1,0)$、$(2,1)$、$(3,0)$、$(4,-3)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
【答案】
(1) 图象开口向下，顶点坐标为$(2,1)$；当$x＜2$时$y$随$x$的增大而增大，当$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小。
(2) 表格如上，按描点法画出对应图象即可。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数解析式转化，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查二次函数基本性质的应用和图像绘制方法，解题核心是掌握交点式向顶点式的转化技巧，讨论函数增减性时要注意以对称轴为分界点，不能笼统描述变化规律。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：第(1)问首先将给定的交点式函数解析式转化为顶点式，通过二次项系数的正负判断开口方向，从顶点式中直接提取顶点坐标，再以对称轴为分界点，分别讨论x在对称轴两侧时y随x的变化规律；第(2)问绘制二次函数图像时，优先选取顶点、与坐标轴的交点以及关于对称轴对称的点，计算对应坐标填入表格后，描点并用平滑曲线连接即可得到函数图像。
【解析】
(1) 将函数解析式整理为顶点式：
$y=-(x-1)(x-3) = -(x^2-4x+3) = -(x-2)^2 + 1$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴该函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,1)$。
该函数图象的对称轴为直线$x=2$：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 选取顶点、与x轴交点和对称点计算对应值，填入表格：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\dots$ |
|-----|---------|---|---|---|---|---|---------|
| $y$ | $\dots$ | -3 | 0 | 1 | 0 | -3 | $\dots$ |
在直角坐标系中描出点$(0,-3)$、$(1,0)$、$(2,1)$、$(3,0)$、$(4,-3)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
【答案】
(1) 图象开口向下，顶点坐标为$(2,1)$；当$x＜2$时$y$随$x$的增大而增大，当$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小。
(2) 表格如上，按描点法画出对应图象即可。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数解析式转化，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查二次函数基本性质的应用和图像绘制方法，解题核心是掌握交点式向顶点式的转化技巧，讨论函数增减性时要注意以对称轴为分界点，不能笼统描述变化规律。
【难度系数】
0.8
17.(6分)若函数$y=x^2+(m-3)x+1-2m$（m为常数），不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标。
答案
解：将函数解析式整理，合并含参数m的项，得：
$y = x^2 - 3x + 1 + m(x - 2)$
若不论m为何值，函数图象都经过定点，则该点坐标与m的取值无关，因此令m的系数为0：
$x - 2 = 0$，解得$x=2$
把$x=2$代入$y = x^2 - 3x + 1$，得：
$y = 2^2 - 3×2 + 1 = -1$
将$(2,-1)$代入原函数解析式验证：
右边$=2^2 + (m-3)×2 + 1 - 2m = 4 + 2m -6 +1 -2m = -1$，与左边y值恒相等，等式恒成立。
因此该函数图象经过的定点坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。
$y = x^2 - 3x + 1 + m(x - 2)$
若不论m为何值，函数图象都经过定点，则该点坐标与m的取值无关，因此令m的系数为0：
$x - 2 = 0$，解得$x=2$
把$x=2$代入$y = x^2 - 3x + 1$，得：
$y = 2^2 - 3×2 + 1 = -1$
将$(2,-1)$代入原函数解析式验证：
右边$=2^2 + (m-3)×2 + 1 - 2m = 4 + 2m -6 +1 -2m = -1$，与左边y值恒相等，等式恒成立。
因此该函数图象经过的定点坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。
解析
【分析】
要解决含参数的二次函数过定点问题，核心是明确定点的坐标不受参数m取值的影响。我们首先可以将函数解析式中含m的项合并整理，要让整个函数值不受m的影响，只需令m的系数为0，即可先求出定点的横坐标，再代入化简后的解析式求出纵坐标，最后验证该点恒满足原函数解析式即可。
【解析】
解：将函数解析式整理，合并含参数m的项，得：
$y = x^2 - 3x + 1 + m(x - 2)$
因为不论m为何值，函数图象都经过定点，即该点坐标与m的取值无关，因此令m的系数为0：
$x - 2 = 0$，解得$x=2$
把$x=2$代入$y = x^2 - 3x + 1$，得：
$y = 2^2 - 3×2 + 1 = -1$
将$(2,-1)$代入原函数解析式验证：
右边$=2^2 + (m-3)×2 + 1 - 2m = 4 + 2m -6 +1 -2m = -1$，与左边y值恒相等，等式恒成立。
因此该函数图象经过的定点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(2,-1)}$
【知识点】
二次函数过定点、代数式恒成立、点与函数解析式的关系
【点评】
本题是含参数函数求定点的典型题型，解题关键是抓住“函数值与参数无关”的核心特点，通过分离参数令参数的系数为0求解，该方法通用性较强，可推广到各类含参数的函数定点求解问题。
【难度系数】
0.7
要解决含参数的二次函数过定点问题，核心是明确定点的坐标不受参数m取值的影响。我们首先可以将函数解析式中含m的项合并整理，要让整个函数值不受m的影响，只需令m的系数为0，即可先求出定点的横坐标，再代入化简后的解析式求出纵坐标，最后验证该点恒满足原函数解析式即可。
【解析】
解：将函数解析式整理，合并含参数m的项，得：
$y = x^2 - 3x + 1 + m(x - 2)$
因为不论m为何值，函数图象都经过定点，即该点坐标与m的取值无关，因此令m的系数为0：
$x - 2 = 0$，解得$x=2$
把$x=2$代入$y = x^2 - 3x + 1$，得：
$y = 2^2 - 3×2 + 1 = -1$
将$(2,-1)$代入原函数解析式验证：
右边$=2^2 + (m-3)×2 + 1 - 2m = 4 + 2m -6 +1 -2m = -1$，与左边y值恒相等，等式恒成立。
因此该函数图象经过的定点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(2,-1)}$
【知识点】
二次函数过定点、代数式恒成立、点与函数解析式的关系
【点评】
本题是含参数函数求定点的典型题型，解题关键是抓住“函数值与参数无关”的核心特点，通过分离参数令参数的系数为0求解，该方法通用性较强，可推广到各类含参数的函数定点求解问题。
【难度系数】
0.7
18. (8分)已知抛物线$y=ax^2$经过点$A(-2,-8)$.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点$B(1,4)$是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为$-6$的点的坐标.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点$B(1,4)$是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为$-6$的点的坐标.
答案
解析
【分析】
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含1个未知参数$a$，将已知点$A$的坐标代入解析式，即可得到关于$a$的一元一次方程，求解出$a$的值就能确定抛物线的解析式。
（2）判断点是否在抛物线上，只需将该点的横坐标代入已求出的解析式，计算对应的纵坐标，若计算结果与点给出的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
（3）已知抛物线上点的纵坐标，将$y=-6$代入解析式，得到关于$x$的一元二次方程，解方程求出$x$的值，即可得到对应点的坐标。
【解析】
（1）将点$A(-2,-8)$代入$y=ax^2$，可得：
$\begin{aligned}-8&=a×(-2)^2\\4a&=-8\\a&=-2\end{aligned}$
因此抛物线的函数解析式为$y=-2x^2$。
（2）将$x=1$代入$y=-2x^2$，计算得：
$y=-2×1^2=-2$
因为$-2≠4$，所以点$B(1,4)$不在此抛物线上。
（3）令$y=-6$，代入$y=-2x^2$可得：
$\begin{aligned}-2x^2&=-6\\x^2&=3\\x&=\pm\sqrt{3}\end{aligned}$
因此纵坐标为$-6$的点的坐标为$(\sqrt{3},-6)$和$(-\sqrt{3},-6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2}$；
(2) 点$B(1,4)$不在此抛物线上；
(3) $\boldsymbol{(\sqrt{3},-6)}$和$\boldsymbol{(-\sqrt{3},-6)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考察二次函数的基本性质和基础计算，核心方法是代入求值法，运算难度低，掌握二次函数的基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含1个未知参数$a$，将已知点$A$的坐标代入解析式，即可得到关于$a$的一元一次方程，求解出$a$的值就能确定抛物线的解析式。
（2）判断点是否在抛物线上，只需将该点的横坐标代入已求出的解析式，计算对应的纵坐标，若计算结果与点给出的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
（3）已知抛物线上点的纵坐标，将$y=-6$代入解析式，得到关于$x$的一元二次方程，解方程求出$x$的值，即可得到对应点的坐标。
【解析】
（1）将点$A(-2,-8)$代入$y=ax^2$，可得：
$\begin{aligned}-8&=a×(-2)^2\\4a&=-8\\a&=-2\end{aligned}$
因此抛物线的函数解析式为$y=-2x^2$。
（2）将$x=1$代入$y=-2x^2$，计算得：
$y=-2×1^2=-2$
因为$-2≠4$，所以点$B(1,4)$不在此抛物线上。
（3）令$y=-6$，代入$y=-2x^2$可得：
$\begin{aligned}-2x^2&=-6\\x^2&=3\\x&=\pm\sqrt{3}\end{aligned}$
因此纵坐标为$-6$的点的坐标为$(\sqrt{3},-6)$和$(-\sqrt{3},-6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2}$；
(2) 点$B(1,4)$不在此抛物线上；
(3) $\boldsymbol{(\sqrt{3},-6)}$和$\boldsymbol{(-\sqrt{3},-6)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考察二次函数的基本性质和基础计算，核心方法是代入求值法，运算难度低，掌握二次函数的基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
19. (6分)求出下列函数的最小值.
(1)$y=x^2 -2x -3$；
(2)$y=-x^2 -2x +3(-2≤ x≤2)$.
(1)$y=x^2 -2x -3$；
(2)$y=-x^2 -2x +3(-2≤ x≤2)$.
答案
解：
(1) 对函数配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
∵二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，
∴该函数的最小值为$-4$。
(2) 对函数配方得：
$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，自变量取值范围为$-2≤ x≤2$，
∴在给定区间内，当$x=2$时函数取得最小值，
将$x=2$代入得$y=-(2+1)^2+4=-5$，
∴该函数在$-2≤ x≤2$上的最小值为$-5$。
(1) 对函数配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
∵二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，
∴该函数的最小值为$-4$。
(2) 对函数配方得：
$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，自变量取值范围为$-2≤ x≤2$，
∴在给定区间内，当$x=2$时函数取得最小值，
将$x=2$代入得$y=-(2+1)^2+4=-5$，
∴该函数在$-2≤ x≤2$上的最小值为$-5$。
解析
【分析】
求解二次函数的最值，首先用配方法将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标，再结合自变量的取值范围判断最值位置：①若自变量取值为全体实数，开口向上时顶点处取最小值；②若自变量有区间限制，需结合开口方向，比较顶点和区间端点的函数值确定最值。第(1)问自变量为全体实数，配方后结合开口方向即可得最小值；第(2)问有区间限制且抛物线开口向下，顶点处为最大值，最小值出现在离对称轴更远的区间端点，代入计算即可。
【解析】
(1) 对函数配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
∵二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，
∴该函数的最小值为$-4$。
(2) 对函数配方得：
$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，自变量取值范围为$-2≤ x≤2$，
∴在给定区间内，当$x=2$时函数取得最小值，
将$x=2$代入得$y=-(2+1)^2+4=-5$，
∴该函数在$-2≤ x≤2$上的最小值为$-5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
配方法、二次函数的性质、二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，重点考查配方法的应用和不同取值范围下最值的判断，解题时需注意开口方向、自变量取值范围对最值位置的影响，避免忽略限定区间直接将顶点函数值作为最值的错误。
【难度系数】
0.8
求解二次函数的最值，首先用配方法将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标，再结合自变量的取值范围判断最值位置：①若自变量取值为全体实数，开口向上时顶点处取最小值；②若自变量有区间限制，需结合开口方向，比较顶点和区间端点的函数值确定最值。第(1)问自变量为全体实数，配方后结合开口方向即可得最小值；第(2)问有区间限制且抛物线开口向下，顶点处为最大值，最小值出现在离对称轴更远的区间端点，代入计算即可。
【解析】
(1) 对函数配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
∵二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，
∴该函数的最小值为$-4$。
(2) 对函数配方得：
$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，自变量取值范围为$-2≤ x≤2$，
∴在给定区间内，当$x=2$时函数取得最小值，
将$x=2$代入得$y=-(2+1)^2+4=-5$，
∴该函数在$-2≤ x≤2$上的最小值为$-5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
配方法、二次函数的性质、二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，重点考查配方法的应用和不同取值范围下最值的判断，解题时需注意开口方向、自变量取值范围对最值位置的影响，避免忽略限定区间直接将顶点函数值作为最值的错误。
【难度系数】
0.8
20.(8分)已知二次函数$y=x^2+mx+m-2$.
(1)求证:无论m为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点；
(2)若此函数图象与x轴的一个交点为$(-3,0)$,求此函数图象与x轴的另一个交点坐标.
(1)求证:无论m为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点；
(2)若此函数图象与x轴的一个交点为$(-3,0)$,求此函数图象与x轴的另一个交点坐标.
答案
解析
【分析】
第(1)问：要证明二次函数图象与x轴总有两个交点，可转化为证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，只需计算根的判别式$\Delta$，证明$\Delta$恒大于0即可。具体步骤为：令$y=0$得到关于x的一元二次方程，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断其取值范围即可得证。
第(2)问：已知函数过点$(-3,0)$，先将该点坐标代入函数解析式求出m的值，得到完整的二次函数表达式，再令$y=0$解一元二次方程，即可得到另一个交点的横坐标，也可直接用一元二次方程根与系数的关系求另一个根，简化计算。
【解析】
(1) 证明：令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2 + mx + m - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
$= m^2 -4m +8 = (m-2)^2 +4$，
∵无论m取任意实数，都有$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴$(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴无论m为何实数，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即此函数图象与x轴总有两个交点。
(2) 解：将点$(-3,0)$代入二次函数解析式$y=x^2 + mx + m -2$，得：
$(-3)^2 -3m + m -2 = 0$，
整理得：$7 - 2m = 0$，解得$m = \frac{7}{2}$，
∴二次函数解析式为$y = x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{2}$，
令$y=0$，即$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$，两边同乘2得$2x^2 +7x +3 =0$，
因式分解得$(2x+1)(x+3)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-\frac{1}{2}$，
∴函数图象与x轴的另一个交点坐标为$(-\frac{1}{2},0)$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $(-\dfrac{1}{2},0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的关联，第(1)问侧重对根的判别式应用的考查，第(2)问既可以通过代入求参数再解方程求解，也可以用根与系数的关系简化计算，侧重对基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
第(1)问：要证明二次函数图象与x轴总有两个交点，可转化为证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，只需计算根的判别式$\Delta$，证明$\Delta$恒大于0即可。具体步骤为：令$y=0$得到关于x的一元二次方程，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断其取值范围即可得证。
第(2)问：已知函数过点$(-3,0)$，先将该点坐标代入函数解析式求出m的值，得到完整的二次函数表达式，再令$y=0$解一元二次方程，即可得到另一个交点的横坐标，也可直接用一元二次方程根与系数的关系求另一个根，简化计算。
【解析】
(1) 证明：令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2 + mx + m - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
$= m^2 -4m +8 = (m-2)^2 +4$，
∵无论m取任意实数，都有$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴$(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴无论m为何实数，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即此函数图象与x轴总有两个交点。
(2) 解：将点$(-3,0)$代入二次函数解析式$y=x^2 + mx + m -2$，得：
$(-3)^2 -3m + m -2 = 0$，
整理得：$7 - 2m = 0$，解得$m = \frac{7}{2}$，
∴二次函数解析式为$y = x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{2}$，
令$y=0$，即$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$，两边同乘2得$2x^2 +7x +3 =0$，
因式分解得$(2x+1)(x+3)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-\frac{1}{2}$，
∴函数图象与x轴的另一个交点坐标为$(-\frac{1}{2},0)$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $(-\dfrac{1}{2},0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的关联，第(1)问侧重对根的判别式应用的考查，第(2)问既可以通过代入求参数再解方程求解，也可以用根与系数的关系简化计算，侧重对基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
21.(10分)如图,用长为24 m的篱笆和墙(墙的最大可用长度a为9 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x m,面积为S m².
(1)求S与x的函数解析式及x的取值范围;
(2)要围成面积为45 m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)当AB的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?
(1)求S与x的函数解析式及x的取值范围;
(2)要围成面积为45 m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)当AB的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?
答案
解：
(1) 由题意可知，平行于墙的边长BC为$(24-3x)\ \mathrm{m}$，
则花圃面积$S = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$。
根据墙的最大可用长度为$9\ \mathrm{m}$，可得不等式组：
$\begin{cases}24-3x ＞ 0 \\24-3x ≤ 9\end{cases}$
解得$5 ≤ x ＜ 8$。
因此$S$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$，$x$的取值范围是$\boldsymbol{5 ≤ x ＜ 8}$。
(2) 令$S=45$，得：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理得$x^2 - 8x + 15 = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore x=3$不符合取值范围，舍去。
答：AB的长是$5$米。
(3) 将函数解析式配方得：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2 + 48$
$\because a=-3＜0$，二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=4$，
$\therefore$当$x＞4$时，$S$随$x$的增大而减小。
又$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore$当$x=5$时，$S$取得最大值。
答：当AB的长是$5$米时，围成的花圃的面积最大。
(1) 由题意可知，平行于墙的边长BC为$(24-3x)\ \mathrm{m}$，
则花圃面积$S = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$。
根据墙的最大可用长度为$9\ \mathrm{m}$，可得不等式组：
$\begin{cases}24-3x ＞ 0 \\24-3x ≤ 9\end{cases}$
解得$5 ≤ x ＜ 8$。
因此$S$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$，$x$的取值范围是$\boldsymbol{5 ≤ x ＜ 8}$。
(2) 令$S=45$，得：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理得$x^2 - 8x + 15 = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore x=3$不符合取值范围，舍去。
答：AB的长是$5$米。
(3) 将函数解析式配方得：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2 + 48$
$\because a=-3＜0$，二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=4$，
$\therefore$当$x＞4$时，$S$随$x$的增大而减小。
又$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore$当$x=5$时，$S$取得最大值。
答：当AB的长是$5$米时，围成的花圃的面积最大。
解析
【分析】
(1) 首先分析篱笆结构：垂直于墙的篱笆共3段，每段长度均为AB=x m，因此平行于墙的边BC的长度为总篱笆长减去3段垂直篱笆的长度，即(24-3x)m，根据长方形面积公式即可写出S与x的函数关系；再结合实际限制：BC长度需大于0，且不能超过墙的最大可用长度9m，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(2) 将S=45代入第一问得到的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围舍去不符合的解，即可得到AB的长度。
(3) 先将二次函数解析式配方，确定开口方向和对称轴，再结合x的取值范围，根据二次函数的增减性确定面积最大时x的取值。
【解析】
(1) 由题意可知，平行于墙的边长BC为$(24-3x)\ \mathrm{m}$，
则花圃面积$S = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$。
根据墙的最大可用长度为$9\ \mathrm{m}$，可得不等式组：
$\begin{cases}24-3x ＞ 0 \\24-3x ≤ 9\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜8$，解第二个不等式得$x≥5$，因此$5 ≤ x ＜ 8$。
因此$S$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$，$x$的取值范围是$\boldsymbol{5 ≤ x ＜ 8}$。
(2) 令$S=45$，得：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理得$x^2 - 8x + 15 = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore x=3$不符合取值范围，舍去。
答：AB的长是$5$米。
(3) 将函数解析式配方得：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2 + 48$
$\because a=-3＜0$，二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=4$，
$\therefore$当$x＞4$时，$S$随$x$的增大而减小。
又$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore$当$x=5$时，$S$取得最大值。
答：当AB的长是$5$米时，围成的花圃的面积最大。
【答案】
(1) $S=-3x^2+24x\ (5 ≤ x ＜ 8)$；
(2) 5米；
(3) 5米。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是结合实际限制确定自变量的取值范围，避免忽略实际意义出现错解，能较好考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先分析篱笆结构：垂直于墙的篱笆共3段，每段长度均为AB=x m，因此平行于墙的边BC的长度为总篱笆长减去3段垂直篱笆的长度，即(24-3x)m，根据长方形面积公式即可写出S与x的函数关系；再结合实际限制：BC长度需大于0，且不能超过墙的最大可用长度9m，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(2) 将S=45代入第一问得到的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围舍去不符合的解，即可得到AB的长度。
(3) 先将二次函数解析式配方，确定开口方向和对称轴，再结合x的取值范围，根据二次函数的增减性确定面积最大时x的取值。
【解析】
(1) 由题意可知，平行于墙的边长BC为$(24-3x)\ \mathrm{m}$，
则花圃面积$S = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$。
根据墙的最大可用长度为$9\ \mathrm{m}$，可得不等式组：
$\begin{cases}24-3x ＞ 0 \\24-3x ≤ 9\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜8$，解第二个不等式得$x≥5$，因此$5 ≤ x ＜ 8$。
因此$S$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$，$x$的取值范围是$\boldsymbol{5 ≤ x ＜ 8}$。
(2) 令$S=45$，得：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理得$x^2 - 8x + 15 = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore x=3$不符合取值范围，舍去。
答：AB的长是$5$米。
(3) 将函数解析式配方得：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2 + 48$
$\because a=-3＜0$，二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=4$，
$\therefore$当$x＞4$时，$S$随$x$的增大而减小。
又$\because 5 ≤ x ＜ 8$，
$\therefore$当$x=5$时，$S$取得最大值。
答：当AB的长是$5$米时，围成的花圃的面积最大。
【答案】
(1) $S=-3x^2+24x\ (5 ≤ x ＜ 8)$；
(2) 5米；
(3) 5米。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是结合实际限制确定自变量的取值范围，避免忽略实际意义出现错解，能较好考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
