登录
22.(9分)将抛物线$y=-x^2$平移后得到的抛物线如图所示，其对称轴为$x=1$，与x轴的一个交点为$A(-1,0)$，另一交点为B，与y轴交点为C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点N为抛物线上一点，且$BC⊥NC$，求点N的坐标.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点N为抛物线上一点，且$BC⊥NC$，求点N的坐标.
答案
解：(1) 由题意，平移后抛物线的二次项系数为$-1$，且对称轴为$x=1$，设抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2 + k$。
将点$A(-1,0)$代入解析式，得：
$0=-(-1-1)^2 +k$
解得$k=4$。
展开得抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故点$B$的坐标为$(3,0)$。
令$x=0$，得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=mx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3m+n=0\\n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
因为$BC⊥ NC$，所以直线$NC$的斜率为$1$，又直线$NC$过点$C(0,3)$，因此直线$NC$的解析式为$y=x+3$。
联立直线$NC$与抛物线的方程：
$\begin{cases}y=x+3\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2-x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
$x=0$对应点$C$，舍去；将$x=1$代入$y=x+3$得$y=4$。
综上，(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；(2) 点$N$的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$。
将点$A(-1,0)$代入解析式，得：
$0=-(-1-1)^2 +k$
解得$k=4$。
展开得抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故点$B$的坐标为$(3,0)$。
令$x=0$，得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=mx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3m+n=0\\n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
因为$BC⊥ NC$，所以直线$NC$的斜率为$1$，又直线$NC$过点$C(0,3)$，因此直线$NC$的解析式为$y=x+3$。
联立直线$NC$与抛物线的方程：
$\begin{cases}y=x+3\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2-x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
$x=0$对应点$C$，舍去；将$x=1$代入$y=x+3$得$y=4$。
综上，(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；(2) 点$N$的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$。
解析
【分析】
(1) 抛物线平移时二次项系数保持不变，已知平移后抛物线对称轴为$x=1$，可先设顶点式的抛物线解析式，再将已知点$A(-1,0)$代入求解参数，即可得到抛物线的解析式。
(2) 求解点$N$坐标的思路：首先通过抛物线解析式分别令$y=0$、$x=0$求出$B$、$C$两点的坐标；再用待定系数法求出直线$BC$的解析式，根据互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$，推导得到直线$NC$的斜率，结合点$C$的坐标写出直线$NC$的解析式；最后联立直线$NC$与抛物线的解析式，解方程后舍去与点$C$重合的解，即可得到点$N$的坐标。
【解析】
(1) 平移后抛物线的二次项系数为$-1$，且对称轴为$x=1$，设抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2 + k$。
将点$A(-1,0)$代入解析式，得：
$0=-(-1-1)^2 +k$
解得$k=4$。
展开得抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故点$B$的坐标为$(3,0)$。
令$x=0$，得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=mx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3m+n=0\\n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
因为$BC⊥ NC$，所以直线$NC$的斜率为$1$，又直线$NC$过点$C(0,3)$，因此直线$NC$的解析式为$y=x+3$。
联立直线$NC$与抛物线的方程：
$\begin{cases}y=x+3\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2-x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
$x=0$对应点$C$，舍去；将$x=1$代入$y=x+3$得$y=4$，即点$N$坐标为$(1,4)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；(2) $\boldsymbol{(1,4)}$
【知识点】
二次函数平移性质，待定系数法求解析式，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问侧重考察二次函数平移的性质和待定系数法的应用，属于基础考点；第二问结合了直线垂直的性质、一次函数解析式求解以及联立方程求交点的方法，需要熟练掌握坐标运算的基本逻辑，对学生的推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 抛物线平移时二次项系数保持不变，已知平移后抛物线对称轴为$x=1$，可先设顶点式的抛物线解析式，再将已知点$A(-1,0)$代入求解参数，即可得到抛物线的解析式。
(2) 求解点$N$坐标的思路：首先通过抛物线解析式分别令$y=0$、$x=0$求出$B$、$C$两点的坐标；再用待定系数法求出直线$BC$的解析式，根据互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$，推导得到直线$NC$的斜率，结合点$C$的坐标写出直线$NC$的解析式；最后联立直线$NC$与抛物线的解析式，解方程后舍去与点$C$重合的解，即可得到点$N$的坐标。
【解析】
(1) 平移后抛物线的二次项系数为$-1$，且对称轴为$x=1$，设抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2 + k$。
将点$A(-1,0)$代入解析式，得：
$0=-(-1-1)^2 +k$
解得$k=4$。
展开得抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故点$B$的坐标为$(3,0)$。
令$x=0$，得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=mx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3m+n=0\\n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
因为$BC⊥ NC$，所以直线$NC$的斜率为$1$，又直线$NC$过点$C(0,3)$，因此直线$NC$的解析式为$y=x+3$。
联立直线$NC$与抛物线的方程：
$\begin{cases}y=x+3\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2-x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
$x=0$对应点$C$，舍去；将$x=1$代入$y=x+3$得$y=4$，即点$N$坐标为$(1,4)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；(2) $\boldsymbol{(1,4)}$
【知识点】
二次函数平移性质，待定系数法求解析式，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问侧重考察二次函数平移的性质和待定系数法的应用，属于基础考点；第二问结合了直线垂直的性质、一次函数解析式求解以及联立方程求交点的方法，需要熟练掌握坐标运算的基本逻辑，对学生的推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
23.(10分)加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，计划今年将其中1 000 m²的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m²)与其种植面积x(单位:m²)的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m².
(1)当x为多少m²时，y是35元/m²；
(2)设今年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
第23小题图
(1)当x为多少m²时，y是35元/m²；
(2)设今年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
第23小题图
答案
解：(1) 当200≤x≤600时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将(200,20)、(600,40)代入得：
$\begin{cases}200k+b=20\\600k+b=40\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{20}\\b=10\end{cases}$
即$y=0.05x+10$。
当600＜x≤700时，y=40。
令y=35，代入$y=0.05x+10$得：
$0.05x+10=35$
解得$x=500$。
故当x为$500\ \mathrm{m}^2$时，y是35元/$\mathrm{m}^2$。
(2) 乙种蔬菜的种植面积为$(1000-x)\ \mathrm{m}^2$，分两种情况讨论：
① 当$200≤ x≤600$时：
$W=x(0.05x+10)+50(1000-x)$
$=0.05x^2-40x+50000$
该二次函数开口向上，对称轴为$x=-\dfrac{-40}{2×0.05}=400$，在取值范围内。
当$x=400$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=0.05×400^2-40×400+50000=42000$。
② 当$600＜x≤700$时：
$W=40x+50(1000-x)=-10x+50000$
该一次函数$k=-10＜0$，W随x增大而减小，
当$x=700$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=-10×700+50000=43000$。
因为$42000＜43000$，所以当甲种蔬菜种植面积为$400\ \mathrm{m}^2$，乙种蔬菜种植面积为$1000-400=600\ \mathrm{m}^2$时，总种植成本W最小。
答：分配甲种蔬菜种植面积$400\ \mathrm{m}^2$，乙种蔬菜种植面积$600\ \mathrm{m}^2$时，总种植成本W最小。
将(200,20)、(600,40)代入得：
$\begin{cases}200k+b=20\\600k+b=40\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{20}\\b=10\end{cases}$
即$y=0.05x+10$。
当600＜x≤700时，y=40。
令y=35，代入$y=0.05x+10$得：
$0.05x+10=35$
解得$x=500$。
故当x为$500\ \mathrm{m}^2$时，y是35元/$\mathrm{m}^2$。
(2) 乙种蔬菜的种植面积为$(1000-x)\ \mathrm{m}^2$，分两种情况讨论：
① 当$200≤ x≤600$时：
$W=x(0.05x+10)+50(1000-x)$
$=0.05x^2-40x+50000$
该二次函数开口向上，对称轴为$x=-\dfrac{-40}{2×0.05}=400$，在取值范围内。
当$x=400$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=0.05×400^2-40×400+50000=42000$。
② 当$600＜x≤700$时：
$W=40x+50(1000-x)=-10x+50000$
该一次函数$k=-10＜0$，W随x增大而减小，
当$x=700$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=-10×700+50000=43000$。
因为$42000＜43000$，所以当甲种蔬菜种植面积为$400\ \mathrm{m}^2$，乙种蔬菜种植面积为$1000-400=600\ \mathrm{m}^2$时，总种植成本W最小。
答：分配甲种蔬菜种植面积$400\ \mathrm{m}^2$，乙种蔬菜种植面积$600\ \mathrm{m}^2$时，总种植成本W最小。
解析
【分析】
(1) 观察图像可知甲的种植成本y和种植面积x是分段函数：200≤x≤600时为一次函数，600＜x≤700时为常函数。先利用待定系数法求出200≤x≤600区间的一次函数解析式，由于y=35＜40，因此只需将y=35代入第一段解析式求解即可。
(2) 总种植成本W=甲的总种植成本+乙的总种植成本，其中乙的种植面积为(1000-x)m²，分200≤x≤600、600＜x≤700两种情况分别列出W关于x的函数，再结合二次函数的最值性质、一次函数的单调性分别求出两个区间内W的最小值，最后比较两个最小值，选择成本最低的分配方案即可。
【解析】
(1) 当200≤x≤600时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将(200,20)、(600,40)代入得：
$\begin{cases}200k+b=20\\600k+b=40\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{20}\\b=10\end{cases}$，即$y=0.05x+10$。
当600＜x≤700时，y=40。
令y=35，代入$y=0.05x+10$得：
$0.05x+10=35$，解得$x=500$。
(2) 乙种蔬菜的种植面积为$(1000-x)\ \mathrm{m}^2$，分两种情况讨论：
① 当$200≤ x≤600$时：
$W=x(0.05x+10)+50(1000-x)$
$=0.05x^2-40x+50000$
该二次函数开口向上，对称轴为$x=-\dfrac{-40}{2×0.05}=400$，在取值范围内，
当$x=400$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=0.05×400^2-40×400+50000=42000$。
② 当$600＜x≤700$时：
$W=40x+50(1000-x)=-10x+50000$
该一次函数中k=-10＜0，W随x增大而减小，
当$x=700$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=-10×700+50000=43000$。
因为$42000＜43000$，所以当x=400时总种植成本最小，此时乙种蔬菜种植面积为$1000-400=600\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当x为$\boldsymbol{500\ \mathrm{m}^2}$时，y是35元/$\mathrm{m}^2$；
(2) 分配甲种蔬菜种植面积$\boldsymbol{400\ \mathrm{m}^2}$，乙种蔬菜种植面积$\boldsymbol{600\ \mathrm{m}^2}$时，总种植成本W最小。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；分段函数应用
【点评】
本题结合劳动实践的实际场景命题，考查分段函数的实际应用，需要学生具备从函数图像提取有效信息的能力，同时运用分类讨论思想，结合一次函数、二次函数的性质求解最值，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图像可知甲的种植成本y和种植面积x是分段函数：200≤x≤600时为一次函数，600＜x≤700时为常函数。先利用待定系数法求出200≤x≤600区间的一次函数解析式，由于y=35＜40，因此只需将y=35代入第一段解析式求解即可。
(2) 总种植成本W=甲的总种植成本+乙的总种植成本，其中乙的种植面积为(1000-x)m²，分200≤x≤600、600＜x≤700两种情况分别列出W关于x的函数，再结合二次函数的最值性质、一次函数的单调性分别求出两个区间内W的最小值，最后比较两个最小值，选择成本最低的分配方案即可。
【解析】
(1) 当200≤x≤600时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将(200,20)、(600,40)代入得：
$\begin{cases}200k+b=20\\600k+b=40\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{20}\\b=10\end{cases}$，即$y=0.05x+10$。
当600＜x≤700时，y=40。
令y=35，代入$y=0.05x+10$得：
$0.05x+10=35$，解得$x=500$。
(2) 乙种蔬菜的种植面积为$(1000-x)\ \mathrm{m}^2$，分两种情况讨论：
① 当$200≤ x≤600$时：
$W=x(0.05x+10)+50(1000-x)$
$=0.05x^2-40x+50000$
该二次函数开口向上，对称轴为$x=-\dfrac{-40}{2×0.05}=400$，在取值范围内，
当$x=400$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=0.05×400^2-40×400+50000=42000$。
② 当$600＜x≤700$时：
$W=40x+50(1000-x)=-10x+50000$
该一次函数中k=-10＜0，W随x增大而减小，
当$x=700$时，W取得最小值：
$W_{\mathrm{min}}=-10×700+50000=43000$。
因为$42000＜43000$，所以当x=400时总种植成本最小，此时乙种蔬菜种植面积为$1000-400=600\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当x为$\boldsymbol{500\ \mathrm{m}^2}$时，y是35元/$\mathrm{m}^2$；
(2) 分配甲种蔬菜种植面积$\boldsymbol{400\ \mathrm{m}^2}$，乙种蔬菜种植面积$\boldsymbol{600\ \mathrm{m}^2}$时，总种植成本W最小。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；分段函数应用
【点评】
本题结合劳动实践的实际场景命题，考查分段函数的实际应用，需要学生具备从函数图像提取有效信息的能力，同时运用分类讨论思想，结合一次函数、二次函数的性质求解最值，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
24. (12分)如图,直线$y=-\dfrac{2}{3}x+c$与x轴交于点$A(3,0)$,与y轴交于点B,抛物线$y=-\dfrac{4}{3}x^2+bx+c$经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)$M(m,0)$为线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P,N.
①试用含$m$的代数式表示线段$PN$的长；
②求线段$PN$的最大值；
③连接$AN$,求$△ ABN$面积的最大值.
第24小题图
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)$M(m,0)$为线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P,N.
①试用含$m$的代数式表示线段$PN$的长；
②求线段$PN$的最大值；
③连接$AN$,求$△ ABN$面积的最大值.
第24小题图
答案
解：
(1) 将点$A(3,0)$代入直线$y=-\dfrac{2}{3}x+c$，得：
$0=-\dfrac{2}{3}×3 + c$，解得$c=2$。
因此直线解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x+2$。
令$x=0$，得$y=2$，故点$B$的坐标为$(0,2)$。
将$A(3,0)$、$c=2$代入抛物线$y=-\dfrac{4}{3}x^2+bx+c$，得：
$0=-\dfrac{4}{3}×9 + 3b + 2$，解得$b=\dfrac{10}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x+2$。
(2) ① 由题意，点$P$在直线$AB$上，横坐标为$m$，则$P(m,-\dfrac{2}{3}m+2)$；
点$N$在抛物线上，横坐标为$m$，则$N(m,-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)$。
因为$0≤ m≤3$，点$N$在点$P$上方，因此：
$\begin{aligned}PN&=(-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)-(-\dfrac{2}{3}m+2)\\&=-\dfrac{4}{3}m^2+4m\end{aligned}$
② 对$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{4}{3})}=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$PN_{\mathrm{max}}=-\dfrac{4}{3}×(\dfrac{3}{2})^2 +4×\dfrac{3}{2}=3$。
因此线段$PN$的最大值为$3$。
③ $△ ABN$的面积可表示为：
$\begin{aligned}S_{△ ABN}&=S_{△ BPN}+S_{△ APN}\\&=\dfrac{1}{2}· PN· m + \dfrac{1}{2}· PN·(3-m)\\&=\dfrac{3}{2}PN\end{aligned}$
将$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$代入得：
$S_{△ ABN}=-2m^2+6m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$S_{△ ABN\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{3}{2})^2 +6×\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$。
因此$△ ABN$面积的最大值为$\dfrac{9}{2}$。
(1) 将点$A(3,0)$代入直线$y=-\dfrac{2}{3}x+c$，得：
$0=-\dfrac{2}{3}×3 + c$，解得$c=2$。
因此直线解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x+2$。
令$x=0$，得$y=2$，故点$B$的坐标为$(0,2)$。
将$A(3,0)$、$c=2$代入抛物线$y=-\dfrac{4}{3}x^2+bx+c$，得：
$0=-\dfrac{4}{3}×9 + 3b + 2$，解得$b=\dfrac{10}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x+2$。
(2) ① 由题意，点$P$在直线$AB$上，横坐标为$m$，则$P(m,-\dfrac{2}{3}m+2)$；
点$N$在抛物线上，横坐标为$m$，则$N(m,-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)$。
因为$0≤ m≤3$，点$N$在点$P$上方，因此：
$\begin{aligned}PN&=(-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)-(-\dfrac{2}{3}m+2)\\&=-\dfrac{4}{3}m^2+4m\end{aligned}$
② 对$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{4}{3})}=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$PN_{\mathrm{max}}=-\dfrac{4}{3}×(\dfrac{3}{2})^2 +4×\dfrac{3}{2}=3$。
因此线段$PN$的最大值为$3$。
③ $△ ABN$的面积可表示为：
$\begin{aligned}S_{△ ABN}&=S_{△ BPN}+S_{△ APN}\\&=\dfrac{1}{2}· PN· m + \dfrac{1}{2}· PN·(3-m)\\&=\dfrac{3}{2}PN\end{aligned}$
将$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$代入得：
$S_{△ ABN}=-2m^2+6m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$S_{△ ABN\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{3}{2})^2 +6×\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$。
因此$△ ABN$面积的最大值为$\dfrac{9}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一步先处理直线解析式：已知直线过点$A(3,0)$，将A点坐标代入直线方程可求出参数$c$，得到完整直线解析式；再令直线解析式中$x=0$，即可得到y轴交点B的坐标。接下来求抛物线解析式：抛物线过A、B两点，且参数$c$已求出，将A点坐标代入抛物线方程求出参数$b$，即可得到抛物线解析式。
(2) ① 过$M(m,0)$垂直x轴的直线横坐标均为$m$，将$x=m$分别代入直线AB和抛物线的解析式，可得P、N两点的纵坐标，结合图像可知N在P上方，用N的纵坐标减去P的纵坐标即可得到PN的长度表达式，注意$m$的取值范围为$0≤ m≤3$。
② PN的表达式是关于$m$的二次函数，二次项系数为负，开口向下，在对称轴处取得最大值，用二次函数对称轴公式求出对称轴后代入表达式，即可算出PN的最大值。
③ 求$△ ABN$的面积时，可将其拆分为$△ BPN$和$△ APN$，两个三角形的底均为PN，高之和为OA的长度3，因此$△ ABN$的面积可转化为$\frac{3}{2}PN$，代入PN的表达式得到面积关于$m$的二次函数，再求最大值即可。
【解析】
(1) 将点$A(3,0)$代入直线$y=-\dfrac{2}{3}x+c$，得：
$0=-\dfrac{2}{3}×3 + c$，解得$c=2$。
因此直线解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x+2$。
令$x=0$，得$y=2$，故点$B$的坐标为$(0,2)$。
将$A(3,0)$、$c=2$代入抛物线$y=-\dfrac{4}{3}x^2+bx+c$，得：
$0=-\dfrac{4}{3}×9 + 3b + 2$，解得$b=\dfrac{10}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x+2$。
(2) ① 由题意，点$P$在直线$AB$上，横坐标为$m$，则$P(m,-\dfrac{2}{3}m+2)$；
点$N$在抛物线上，横坐标为$m$，则$N(m,-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)$。
因为$0≤ m≤3$，点$N$在点$P$上方，因此：
$\begin{aligned}PN&=(-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)-(-\dfrac{2}{3}m+2)\\&=-\dfrac{4}{3}m^2+4m\end{aligned}$
② 对$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{4}{3})}=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$PN_{\mathrm{max}}=-\dfrac{4}{3}×(\dfrac{3}{2})^2 +4×\dfrac{3}{2}=3$。
因此线段$PN$的最大值为$3$。
③ $△ ABN$的面积可表示为：
$\begin{aligned}S_{△ ABN}&=S_{△ BPN}+S_{△ APN}\\&=\dfrac{1}{2}· PN· m + \dfrac{1}{2}· PN·(3-m)\\&=\dfrac{3}{2}PN\end{aligned}$
将$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$代入得：
$S_{△ ABN}=-2m^2+6m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$S_{△ ABN\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{3}{2})^2 +6×\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$。
因此$△ ABN$面积的最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $B(0,2)$，抛物线解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x+2$；
(2) ① $PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m\ (0≤ m≤3)$；② $3$；③ $\dfrac{9}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的最值、坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常见综合题，既考查了函数解析式求解的基础方法，也考查了二次函数最值的应用，其中拆分三角形求面积的技巧是函数综合题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.5
(1) 求解第一步先处理直线解析式：已知直线过点$A(3,0)$，将A点坐标代入直线方程可求出参数$c$，得到完整直线解析式；再令直线解析式中$x=0$，即可得到y轴交点B的坐标。接下来求抛物线解析式：抛物线过A、B两点，且参数$c$已求出，将A点坐标代入抛物线方程求出参数$b$，即可得到抛物线解析式。
(2) ① 过$M(m,0)$垂直x轴的直线横坐标均为$m$，将$x=m$分别代入直线AB和抛物线的解析式，可得P、N两点的纵坐标，结合图像可知N在P上方，用N的纵坐标减去P的纵坐标即可得到PN的长度表达式，注意$m$的取值范围为$0≤ m≤3$。
② PN的表达式是关于$m$的二次函数，二次项系数为负，开口向下，在对称轴处取得最大值，用二次函数对称轴公式求出对称轴后代入表达式，即可算出PN的最大值。
③ 求$△ ABN$的面积时，可将其拆分为$△ BPN$和$△ APN$，两个三角形的底均为PN，高之和为OA的长度3，因此$△ ABN$的面积可转化为$\frac{3}{2}PN$，代入PN的表达式得到面积关于$m$的二次函数，再求最大值即可。
【解析】
(1) 将点$A(3,0)$代入直线$y=-\dfrac{2}{3}x+c$，得：
$0=-\dfrac{2}{3}×3 + c$，解得$c=2$。
因此直线解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x+2$。
令$x=0$，得$y=2$，故点$B$的坐标为$(0,2)$。
将$A(3,0)$、$c=2$代入抛物线$y=-\dfrac{4}{3}x^2+bx+c$，得：
$0=-\dfrac{4}{3}×9 + 3b + 2$，解得$b=\dfrac{10}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x+2$。
(2) ① 由题意，点$P$在直线$AB$上，横坐标为$m$，则$P(m,-\dfrac{2}{3}m+2)$；
点$N$在抛物线上，横坐标为$m$，则$N(m,-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)$。
因为$0≤ m≤3$，点$N$在点$P$上方，因此：
$\begin{aligned}PN&=(-\dfrac{4}{3}m^2+\dfrac{10}{3}m+2)-(-\dfrac{2}{3}m+2)\\&=-\dfrac{4}{3}m^2+4m\end{aligned}$
② 对$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{4}{3})}=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$PN_{\mathrm{max}}=-\dfrac{4}{3}×(\dfrac{3}{2})^2 +4×\dfrac{3}{2}=3$。
因此线段$PN$的最大值为$3$。
③ $△ ABN$的面积可表示为：
$\begin{aligned}S_{△ ABN}&=S_{△ BPN}+S_{△ APN}\\&=\dfrac{1}{2}· PN· m + \dfrac{1}{2}· PN·(3-m)\\&=\dfrac{3}{2}PN\end{aligned}$
将$PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m$代入得：
$S_{△ ABN}=-2m^2+6m$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\dfrac{3}{2}$。
将$m=\dfrac{3}{2}$代入得：
$S_{△ ABN\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{3}{2})^2 +6×\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$。
因此$△ ABN$面积的最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $B(0,2)$，抛物线解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x+2$；
(2) ① $PN=-\dfrac{4}{3}m^2+4m\ (0≤ m≤3)$；② $3$；③ $\dfrac{9}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的最值、坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常见综合题，既考查了函数解析式求解的基础方法，也考查了二次函数最值的应用，其中拆分三角形求面积的技巧是函数综合题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.5
