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9.如图,在矩形$ABCD$中,$AB=1$,$AD=2\sqrt{2}$,$BD$为矩形对角线.利用尺规按以下步骤作图:①分别以点$B$,$D$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧,两弧相交于两点$M$,$N$;②连接$MN$交$AD$于点$G$,交$BC$于点$E$,交$BD$于点$O$;③以点$O$为圆心,以$OG$的长为半径作弧,交$BD$于点$H$,$F$.那么线段$GF$的长是（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$1$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$1$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据尺规作图的步骤识别出MN是BD的垂直平分线，可得MN⊥BD、O是BD中点且OF=OG；再结合矩形的直角属性，用勾股定理算出BD的长度，得到OD的长；接着通过两角对应相等证明△GOD和△BAD相似，利用相似三角形的比例关系求出OG的长度；最后在直角△GOF中用勾股定理即可求出GF的长度。
【解析】
1. 计算对角线BD的长度
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=1$，$AD=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{9}=3$
2. 分析作图的几何性质
由作图步骤可知MN是BD的垂直平分线，因此$MN⊥ BD$，O为BD中点，即：
$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$，$∠ GOD=90°$
又
∵ 以O为圆心、OG为半径作弧交BD于F，
∴ $OF=OG$
3. 利用相似三角形求OG的长度
∵ $∠ GDO=∠ BDA$，$∠ GOD=∠ A=90°$
∴ $△ GOD ∽ △ BAD$（两角对应相等，两三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{OG}{AB}=\frac{OD}{AD}$
代入数值计算：$\frac{OG}{1}=\frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{2}}$，解得$OG=\frac{3}{4\sqrt{2}}$
4. 计算GF的长度
∵ $MN⊥ BD$，
∴ $∠ GOF=90°$
在$\mathrm{Rt}△ GOF$中，$OG=OF$，由勾股定理得：
$GF=\sqrt{OG^2+OF^2}=\sqrt{2OG^2}=OG·\sqrt{2}$
将$OG=\frac{3}{4\sqrt{2}}$代入得：$GF=\frac{3}{4\sqrt{2}}×\sqrt{2}=\frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何综合计算，解题的关键是准确识别作图对应的几何性质，再灵活运用相似三角形和勾股定理求解，要求学生具备一定的图形分析和计算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据尺规作图的步骤识别出MN是BD的垂直平分线，可得MN⊥BD、O是BD中点且OF=OG；再结合矩形的直角属性，用勾股定理算出BD的长度，得到OD的长；接着通过两角对应相等证明△GOD和△BAD相似，利用相似三角形的比例关系求出OG的长度；最后在直角△GOF中用勾股定理即可求出GF的长度。
【解析】
1. 计算对角线BD的长度
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=1$，$AD=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{9}=3$
2. 分析作图的几何性质
由作图步骤可知MN是BD的垂直平分线，因此$MN⊥ BD$，O为BD中点，即：
$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$，$∠ GOD=90°$
又
∵ 以O为圆心、OG为半径作弧交BD于F，
∴ $OF=OG$
3. 利用相似三角形求OG的长度
∵ $∠ GDO=∠ BDA$，$∠ GOD=∠ A=90°$
∴ $△ GOD ∽ △ BAD$（两角对应相等，两三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{OG}{AB}=\frac{OD}{AD}$
代入数值计算：$\frac{OG}{1}=\frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{2}}$，解得$OG=\frac{3}{4\sqrt{2}}$
4. 计算GF的长度
∵ $MN⊥ BD$，
∴ $∠ GOF=90°$
在$\mathrm{Rt}△ GOF$中，$OG=OF$，由勾股定理得：
$GF=\sqrt{OG^2+OF^2}=\sqrt{2OG^2}=OG·\sqrt{2}$
将$OG=\frac{3}{4\sqrt{2}}$代入得：$GF=\frac{3}{4\sqrt{2}}×\sqrt{2}=\frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何综合计算，解题的关键是准确识别作图对应的几何性质，再灵活运用相似三角形和勾股定理求解，要求学生具备一定的图形分析和计算能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图1，在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$AC+BC＜2AB$. 点$P$从点$A$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿折线$A-C-B$运动；点$Q$从点$A$出发，以$a\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AB$运动. $P$，$Q$两点同时出发，当某一点运动到点$B$时，两点同时停止运动. 设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，$△ APQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，$y$关于$x$的函数图象如图2. 当运动时间为$4\ \mathrm{s}$时，$y$的值是（）
A.$3$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$
A.$3$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$
答案
B
解析
【分析】
解题需分两段讨论点P的运动位置：①首先计算点P在AC段的运动时间，结合30°角的三角函数写出该时段△APQ的面积表达式，结合函数图像可求出点Q的运动速度a；②再分析点P在BC段的运动情况，通过作高构造直角三角形求出AB、BC的长度，进而得到x=4s时点P、Q的位置，代入面积公式即可求出y的值。
【解析】
1. 求点Q的速度a：
点P在AC上的运动时间为 $ t_1 = \frac{AC}{v_P} = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s} $，即当 $ 0 ≤ x ≤ 2 $ 时，P在AC上运动。
此时 $ AP=2x\ \mathrm{cm} $，$ AQ=ax\ \mathrm{cm} $，$ ∠ A=30° $，由三角形面积公式：
$ y = \frac{1}{2} · AP · AQ · \sin30° = \frac{1}{2} × 2x × ax × \frac{1}{2} = \frac{a}{2}x^2 $
结合函数图像可知，当x=2时，y=2，代入得：$ \frac{a}{2} × 2^2 = 2 $，解得a=1，即Q的速度为1cm/s。
2. 求△ABC的边长：
设运动总时间为T s，则P走完全程有 $ 2T = 4 + BC $，即 $ BC=2T-4 $；Q走完全程有 $ 1 × T = AB $，即 $ AB=T $。
过C作CD⊥AB于D，$ CD=AC · \sin30°=2\ \mathrm{cm} $，$ AD=AC · \cos30°=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，设BD=m，则 $ AB=AD+BD=2\sqrt{3}+m=T $，$ BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{4+m^2}=2T-4 $。
代入求解得总时间T≈4.236s＞4s，即x=4s时两点仍在运动。
3. 计算x=4s时的y值：
x=4s时，P运动的路程为 $ 2 × 4 =8\ \mathrm{cm} $，故CP=8-4=4cm；AQ=1×4=4cm。
结合P在BC上的位置求出P到AB的高，代入面积公式计算得：
$ y = 2\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
动点函数图像，三角形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了动点与函数图像的结合应用，需要分阶段分析点的运动状态，结合几何性质建立函数关系求解，对分段讨论的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题需分两段讨论点P的运动位置：①首先计算点P在AC段的运动时间，结合30°角的三角函数写出该时段△APQ的面积表达式，结合函数图像可求出点Q的运动速度a；②再分析点P在BC段的运动情况，通过作高构造直角三角形求出AB、BC的长度，进而得到x=4s时点P、Q的位置，代入面积公式即可求出y的值。
【解析】
1. 求点Q的速度a：
点P在AC上的运动时间为 $ t_1 = \frac{AC}{v_P} = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s} $，即当 $ 0 ≤ x ≤ 2 $ 时，P在AC上运动。
此时 $ AP=2x\ \mathrm{cm} $，$ AQ=ax\ \mathrm{cm} $，$ ∠ A=30° $，由三角形面积公式：
$ y = \frac{1}{2} · AP · AQ · \sin30° = \frac{1}{2} × 2x × ax × \frac{1}{2} = \frac{a}{2}x^2 $
结合函数图像可知，当x=2时，y=2，代入得：$ \frac{a}{2} × 2^2 = 2 $，解得a=1，即Q的速度为1cm/s。
2. 求△ABC的边长：
设运动总时间为T s，则P走完全程有 $ 2T = 4 + BC $，即 $ BC=2T-4 $；Q走完全程有 $ 1 × T = AB $，即 $ AB=T $。
过C作CD⊥AB于D，$ CD=AC · \sin30°=2\ \mathrm{cm} $，$ AD=AC · \cos30°=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，设BD=m，则 $ AB=AD+BD=2\sqrt{3}+m=T $，$ BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{4+m^2}=2T-4 $。
代入求解得总时间T≈4.236s＞4s，即x=4s时两点仍在运动。
3. 计算x=4s时的y值：
x=4s时，P运动的路程为 $ 2 × 4 =8\ \mathrm{cm} $，故CP=8-4=4cm；AQ=1×4=4cm。
结合P在BC上的位置求出P到AB的高，代入面积公式计算得：
$ y = 2\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
动点函数图像，三角形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了动点与函数图像的结合应用，需要分阶段分析点的运动状态，结合几何性质建立函数关系求解，对分段讨论的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11.已知α为锐角，$\tanα=2\sin30°$，那么$α=$$°$.
答案
解：
∵ $\sin30°=\frac{1}{2}$
∴ $2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$
∴ $\tanα=1$
又∵ $α$为锐角，
∴ $α=45°$
∵ $\sin30°=\frac{1}{2}$
∴ $2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$
∴ $\tanα=1$
又∵ $α$为锐角，
∴ $α=45°$
解析
【分析】
解题时首先要计算等式右侧$2\sin30°$的取值，这需要先回忆特殊角$30°$的正弦值，算出右侧结果后得到$\tanα$的取值，再结合α是锐角的限定条件，匹配对应正切值的锐角角度即可得到答案。
【解析】
∵ $\sin30°=\frac{1}{2}$
∴ $2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$
∴ $\tanα=1$
又
∵ $α$为锐角，且$\tan45°=1$
∴ $α=45°$
【答案】
45
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角三角函数值的识记与简单运算，熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值即可快速解题，是三角函数模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先要计算等式右侧$2\sin30°$的取值，这需要先回忆特殊角$30°$的正弦值，算出右侧结果后得到$\tanα$的取值，再结合α是锐角的限定条件，匹配对应正切值的锐角角度即可得到答案。
【解析】
∵ $\sin30°=\frac{1}{2}$
∴ $2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$
∴ $\tanα=1$
又
∵ $α$为锐角，且$\tan45°=1$
∴ $α=45°$
【答案】
45
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角三角函数值的识记与简单运算，熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值即可快速解题，是三角函数模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
12.定义一种运算：$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$。例如：当$α=60°$，$β=45°$时，$\sin(60°-45°)=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，则$\sin75°$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
解析
【分析】
首先观察题目给出了两角和的正弦运算新公式，我们需要求sin75°的值，而75°不是我们记忆的特殊角，但可以拆分为两个常见特殊角的和，即75°=45°+30°，刚好符合两角和的正弦公式结构。接下来只需将拆分后的角度代入公式，再把对应特殊角的正弦、余弦值代入计算，化简二次根式就能得到结果。
【解析】
解：
∵75°=45°+30°，根据题中定义的运算公式$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$
∴$\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$
代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$
则原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
新定义运算，特殊角的三角函数值，二次根式运算
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题核心是准确理解给定的运算公式，将未知的非特殊角转化为两个已知三角函数值的特殊角的和，代入计算时要注意特殊角三角函数值不要记混，二次根式乘法运算要规范。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出了两角和的正弦运算新公式，我们需要求sin75°的值，而75°不是我们记忆的特殊角，但可以拆分为两个常见特殊角的和，即75°=45°+30°，刚好符合两角和的正弦公式结构。接下来只需将拆分后的角度代入公式，再把对应特殊角的正弦、余弦值代入计算，化简二次根式就能得到结果。
【解析】
解：
∵75°=45°+30°，根据题中定义的运算公式$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$
∴$\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$
代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$
则原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
新定义运算，特殊角的三角函数值，二次根式运算
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题核心是准确理解给定的运算公式，将未知的非特殊角转化为两个已知三角函数值的特殊角的和，代入计算时要注意特殊角三角函数值不要记混，二次根式乘法运算要规范。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(m,6)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,且$\sinα=\frac{3}{5}$,则m的值是.
第14小题图
第15小题图
第15小题图
第14小题图
第15小题图
第15小题图
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
要计算m的值，可先过点A作AB垂直x轴于点B，构造直角三角形OAB：其中OB对应点A的横坐标m，AB对应点A的纵坐标6，OA为斜边，α是OA与x轴的夹角。已知sinα的值，可先根据正弦函数的定义（对边与斜边的比值）求出斜边OA的长度，再利用勾股定理计算OB即m的长度，最后结合第一象限点的坐标特征确定m的符号即可。
【解析】
过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则∠ABO=90°。
∵点A(m,6)在第一象限，
∴OB=m，AB=6，且m＞0。
在Rt△ABO中，$\sinα=\frac{AB}{OA}=\frac{3}{5}$，
将AB=6代入得：$\frac{6}{OA}=\frac{3}{5}$，解得$OA=10$。
由勾股定理得：$OB^2 + AB^2 = OA^2$，
即$m^2 + 6^2 = 10^2$，
整理得$m^2=100-36=64$，
∵m＞0，
∴$m=\sqrt{64}=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，点的坐标特征
【点评】
本题属于基础常考题，结合平面直角坐标系考查锐角三角函数和勾股定理的应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数定义求出斜边长度后用勾股定理计算，注意第一象限内的点横纵坐标均为正，需舍去负根。
【难度系数】
0.8
要计算m的值，可先过点A作AB垂直x轴于点B，构造直角三角形OAB：其中OB对应点A的横坐标m，AB对应点A的纵坐标6，OA为斜边，α是OA与x轴的夹角。已知sinα的值，可先根据正弦函数的定义（对边与斜边的比值）求出斜边OA的长度，再利用勾股定理计算OB即m的长度，最后结合第一象限点的坐标特征确定m的符号即可。
【解析】
过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则∠ABO=90°。
∵点A(m,6)在第一象限，
∴OB=m，AB=6，且m＞0。
在Rt△ABO中，$\sinα=\frac{AB}{OA}=\frac{3}{5}$，
将AB=6代入得：$\frac{6}{OA}=\frac{3}{5}$，解得$OA=10$。
由勾股定理得：$OB^2 + AB^2 = OA^2$，
即$m^2 + 6^2 = 10^2$，
整理得$m^2=100-36=64$，
∵m＞0，
∴$m=\sqrt{64}=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，点的坐标特征
【点评】
本题属于基础常考题，结合平面直角坐标系考查锐角三角函数和勾股定理的应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数定义求出斜边长度后用勾股定理计算，注意第一象限内的点横纵坐标均为正，需舍去负根。
【难度系数】
0.8
14. 如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工。取$∠ ABC=150°$，$BC=1\,600\ \mathrm{m}$，$∠ BCD=105°$，则$C,D$两点间的距离是$\mathrm{m}.$
答案
$\boldsymbol{800\sqrt{2}}$
解析
【分析】
要计算C、D两点的距离，可先分析△BCD的内角度数：首先根据平角定义求出∠CBD的度数，再利用三角形内角和定理求出∠D的度数，发现两个角分别是30°和45°，属于特殊角，因此过点C作CE⊥BD，将△BCD拆分为两个含特殊角的直角三角形，先在Rt△BCE中利用30°角的直角三角形性质求出CE的长度，再在Rt△CDE中利用45°角的直角三角形三边关系求出CD的长度。
【解析】
过点C作$CE⊥ BD$于点E，则$∠ CEB=∠ CED=90°$。
1. 求$∠ CBD$的度数：
$\because ∠ ABC=150°$，$∠ ABC+∠ CBD=180°$，
$\therefore ∠ CBD=180° - 150°=30°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中求$CE$的长度：
已知$BC=1600\ \mathrm{m}$，$∠ CBE=30°$，
$\because$ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×1600=800\ \mathrm{m}$。
3. 求$∠ D$的度数：
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ D=180° - ∠ CBD - ∠ BCD=180° - 30° - 105°=45°$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ CDE$中求$CD$的长度：
$\because ∠ D=45°$，$∠ CED=90°$，
$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$CE=DE=800\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{800^2+800^2}=800\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$800\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是解三角形的典型应用题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，结合特殊直角三角形的性质求解边长，要求学生熟练掌握特殊角的相关性质和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
要计算C、D两点的距离，可先分析△BCD的内角度数：首先根据平角定义求出∠CBD的度数，再利用三角形内角和定理求出∠D的度数，发现两个角分别是30°和45°，属于特殊角，因此过点C作CE⊥BD，将△BCD拆分为两个含特殊角的直角三角形，先在Rt△BCE中利用30°角的直角三角形性质求出CE的长度，再在Rt△CDE中利用45°角的直角三角形三边关系求出CD的长度。
【解析】
过点C作$CE⊥ BD$于点E，则$∠ CEB=∠ CED=90°$。
1. 求$∠ CBD$的度数：
$\because ∠ ABC=150°$，$∠ ABC+∠ CBD=180°$，
$\therefore ∠ CBD=180° - 150°=30°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中求$CE$的长度：
已知$BC=1600\ \mathrm{m}$，$∠ CBE=30°$，
$\because$ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×1600=800\ \mathrm{m}$。
3. 求$∠ D$的度数：
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ D=180° - ∠ CBD - ∠ BCD=180° - 30° - 105°=45°$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ CDE$中求$CD$的长度：
$\because ∠ D=45°$，$∠ CED=90°$，
$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$CE=DE=800\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{800^2+800^2}=800\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$800\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是解三角形的典型应用题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，结合特殊直角三角形的性质求解边长，要求学生熟练掌握特殊角的相关性质和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
15. 如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选择M点位置作为观测点,从M点测得山顶P的仰角为$36°$($\tan 36° \approx 0.727$),在比例尺为$1:50\ 000$的该地区等高线地形图上,量得这两点间的图上距离为4 cm,则山顶P的海拔高度为 m.
答案
解：
由比例尺计算M、P两点的实际水平距离：
$4 × 50000 = 200000\ \mathrm{cm} = 2000\ \mathrm{m}$
设山顶P相对于观测点M的垂直高度差为$h$，根据仰角的正切定义：
$h = 2000 × \tan36° \approx 2000 × 0.727 = 1454\ \mathrm{m}$
即山顶P的海拔高度为$\boldsymbol{1454}$ m。
由比例尺计算M、P两点的实际水平距离：
$4 × 50000 = 200000\ \mathrm{cm} = 2000\ \mathrm{m}$
设山顶P相对于观测点M的垂直高度差为$h$，根据仰角的正切定义：
$h = 2000 × \tan36° \approx 2000 × 0.727 = 1454\ \mathrm{m}$
即山顶P的海拔高度为$\boldsymbol{1454}$ m。
解析
【分析】
这是一道结合比例尺与解直角三角形的实际应用题，解题思路清晰：第一步先根据比例尺的定义，将图上距离换算为M、P两点的实际水平距离，注意单位要统一为米；第二步利用仰角的三角函数关系，构造直角三角形，仰角的正切值等于两点垂直高度差与水平距离的比值，代入数值即可算出高度差，该高度差即为山顶P的海拔高度。
【解析】
1. 计算M、P两点的实际水平距离：
根据比例尺公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，已知图上距离为4cm，比例尺为1:50000，因此：
实际水平距离 = $4 \mathrm{cm} × 50000 = 200000 \mathrm{cm} = 2000 \mathrm{m}$
2. 计算两点垂直高度差：
设山顶P相对于M点的垂直高度差为$h$，在直角三角形中，仰角$36°$的正切满足$\tan 36° = \frac{h}{\mathrm{实际水平距离}}$，代入数据得：
$h = 2000 \mathrm{m} × \tan 36° \approx 2000 × 0.727 = 1454 \mathrm{m}$
该高度差即为山顶P的海拔高度。
【答案】
1454
【知识点】
比例尺应用，解直角三角形（仰角），锐角三角函数定义
【点评】
本题是结合实际测量场景的应用题，考查学生对比例尺、锐角三角函数等基础知识的运用能力，解题时需注意单位换算的准确性，以及仰角对应的直角三角形边角关系。
【难度系数】
0.7
这是一道结合比例尺与解直角三角形的实际应用题，解题思路清晰：第一步先根据比例尺的定义，将图上距离换算为M、P两点的实际水平距离，注意单位要统一为米；第二步利用仰角的三角函数关系，构造直角三角形，仰角的正切值等于两点垂直高度差与水平距离的比值，代入数值即可算出高度差，该高度差即为山顶P的海拔高度。
【解析】
1. 计算M、P两点的实际水平距离：
根据比例尺公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，已知图上距离为4cm，比例尺为1:50000，因此：
实际水平距离 = $4 \mathrm{cm} × 50000 = 200000 \mathrm{cm} = 2000 \mathrm{m}$
2. 计算两点垂直高度差：
设山顶P相对于M点的垂直高度差为$h$，在直角三角形中，仰角$36°$的正切满足$\tan 36° = \frac{h}{\mathrm{实际水平距离}}$，代入数据得：
$h = 2000 \mathrm{m} × \tan 36° \approx 2000 × 0.727 = 1454 \mathrm{m}$
该高度差即为山顶P的海拔高度。
【答案】
1454
【知识点】
比例尺应用，解直角三角形（仰角），锐角三角函数定义
【点评】
本题是结合实际测量场景的应用题，考查学生对比例尺、锐角三角函数等基础知识的运用能力，解题时需注意单位换算的准确性，以及仰角对应的直角三角形边角关系。
【难度系数】
0.7
