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一、选择题(下列各题的备选答案中,有且仅有一个答案是正确的,每小题3分,共30分)
1. $\frac{\cos 30°}{\tan 30°}$的值是 （）
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{1}{2}$
1. $\frac{\cos 30°}{\tan 30°}$的值是 （）
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
这是特殊角三角函数的计算类题目，解题思路如下：第一步先准确记忆30°角的余弦值和正切值；第二步将两个三角函数值代入原式；第三步按照分式的除法运算法则计算化简，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先写出30°角的特殊三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
将数值代入原式计算：
$\frac{\cos30°}{\tan30°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；分式乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对特殊角三角函数值的记忆和基础运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的核心。
【难度系数】
0.9
这是特殊角三角函数的计算类题目，解题思路如下：第一步先准确记忆30°角的余弦值和正切值；第二步将两个三角函数值代入原式；第三步按照分式的除法运算法则计算化简，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先写出30°角的特殊三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
将数值代入原式计算：
$\frac{\cos30°}{\tan30°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；分式乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对特殊角三角函数值的记忆和基础运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的核心。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos B=\frac{1}{2}$，则$∠ B$的度数是（）
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形的性质确定∠B的取值范围：因为∠C=90°，三角形内角和为180°，所以∠B是大于0°小于90°的锐角；接下来回忆初中要求掌握的30°、45°、60°三类特殊锐角的三角函数值，找到余弦值为$\frac{1}{2}$的角即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ B$为锐角，满足$0°＜∠ B＜90°$，
根据特殊锐角的三角函数值可知：$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ B=60°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊锐角三角函数值的记忆，熟练掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值是快速解出这类题目的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据直角三角形的性质确定∠B的取值范围：因为∠C=90°，三角形内角和为180°，所以∠B是大于0°小于90°的锐角；接下来回忆初中要求掌握的30°、45°、60°三类特殊锐角的三角函数值，找到余弦值为$\frac{1}{2}$的角即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ B$为锐角，满足$0°＜∠ B＜90°$，
根据特殊锐角的三角函数值可知：$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ B=60°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊锐角三角函数值的记忆，熟练掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值是快速解出这类题目的关键。
【难度系数】
0.9
3. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，下列各式成立的是（）
A.$\sin B=\dfrac{b}{a}$
B.$\cos B=\dfrac{b}{a}$
C.$\tan B=\dfrac{a}{b}$
D.$\tan B=\dfrac{b}{a}$
A.$\sin B=\dfrac{b}{a}$
B.$\cos B=\dfrac{b}{a}$
C.$\tan B=\dfrac{a}{b}$
D.$\tan B=\dfrac{b}{a}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆直角三角形中锐角三角函数的定义，明确每个三角函数对应的边的比值关系。首先确定∠B的对边、邻边和斜边：在∠C=90°的△ABC中，∠B的对边是b，邻边是a，斜边是c。接下来分别写出∠B的正弦、余弦、正切的表达式，再逐一和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，∠B的对边为b，斜边为c。根据锐角三角函数的定义：
1. 正弦：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，因此A选项错误；
2. 余弦：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，因此B选项错误；
3. 正切：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{b}{a}$，因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的基本定义，解题的关键是准确区分锐角对应的对边和邻边，牢记各三角函数的比值公式，这类题型是三角函数相关知识的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆直角三角形中锐角三角函数的定义，明确每个三角函数对应的边的比值关系。首先确定∠B的对边、邻边和斜边：在∠C=90°的△ABC中，∠B的对边是b，邻边是a，斜边是c。接下来分别写出∠B的正弦、余弦、正切的表达式，再逐一和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，∠B的对边为b，斜边为c。根据锐角三角函数的定义：
1. 正弦：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，因此A选项错误；
2. 余弦：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，因此B选项错误；
3. 正切：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{b}{a}$，因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的基本定义，解题的关键是准确区分锐角对应的对边和邻边，牢记各三角函数的比值公式，这类题型是三角函数相关知识的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
4. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度是$1:3$，坡高$BC=20$，则坡面AB的长度为 （）
A.$60$
B.$100\sqrt{2}$
C.$50\sqrt{3}$
D.$20\sqrt{10}$
第4小题图
第5小题图
第6小题图
第7小题图
A.$60$
B.$100\sqrt{2}$
C.$50\sqrt{3}$
D.$20\sqrt{10}$
第4小题图
第5小题图
第6小题图
第7小题图
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡度为1:3，即垂直高度BC与水平宽度AC的比为1:3。已知坡高BC=20，可先根据坡度求出AC的长度，再结合直角三角形ABC的勾股定理，即可计算出坡面AB的长度。
【解析】
根据坡度的定义，迎水坡AB的坡度$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$。
已知$BC=20$，代入得$\frac{20}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=20×3=60$。
由题意可知$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{60^2+20^2}=\sqrt{3600+400}=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}$。
【答案】
D
【知识点】
坡度的概念、勾股定理
【点评】
本题属于实际问题结合几何计算的基础题型，解题的关键是准确理解坡度的定义，再结合直角三角形的勾股定理即可快速求解，计算时注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡度为1:3，即垂直高度BC与水平宽度AC的比为1:3。已知坡高BC=20，可先根据坡度求出AC的长度，再结合直角三角形ABC的勾股定理，即可计算出坡面AB的长度。
【解析】
根据坡度的定义，迎水坡AB的坡度$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$。
已知$BC=20$，代入得$\frac{20}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=20×3=60$。
由题意可知$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{60^2+20^2}=\sqrt{3600+400}=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}$。
【答案】
D
【知识点】
坡度的概念、勾股定理
【点评】
本题属于实际问题结合几何计算的基础题型，解题的关键是准确理解坡度的定义，再结合直角三角形的勾股定理即可快速求解，计算时注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8
5. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置$OA_1$处释放，绳索运动到$OA$处，两次位置的高度差$PA=1$. 秋千绳索$OA$的长为（）
A.$\frac{1}{1-\cosα}$
B.$1-\cosα$
C.$\frac{1}{1-\sinα}$
D.$1-\sinα$
A.$\frac{1}{1-\cosα}$
B.$1-\cosα$
C.$\frac{1}{1-\sinα}$
D.$1-\sinα$
答案
A
解析
设秋千绳索OA的长为x，由绳索长度不变得OA₁=x。过点A₁作A₁B⊥OA于点B，在Rt△OA₁B中，OB = OA₁·cosα = x cosα。由高度差PA = OA - OB = x - x cosα = x(1 - cosα)，已知PA=1，可得x(1 - cosα)=1，解得x=$\frac{1}{1-\cosα}$，即秋千绳索OA的长为$\frac{1}{1-\cosα}$。
6. 如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度AD为h，灯泡照亮范围的横截面是$△ ABC$，且$AB=AC$，$∠ BAC=88°$，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径BC为（）
A.$2h · \tan 44°$
B.$\dfrac{2h}{\tan 44°}$
C.$2h · \tan 88°$
D.$\dfrac{2h}{\tan 88°}$
A.$2h · \tan 44°$
B.$\dfrac{2h}{\tan 44°}$
C.$2h · \tan 88°$
D.$\dfrac{2h}{\tan 88°}$
答案
A
解析
【分析】
首先，题目中△ABC是等腰三角形，AD垂直于地面（即AD⊥BC），根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既平分顶角∠BAC，也平分底边BC，因此我们可以将问题转化为在Rt△ABD中利用锐角三角函数求BD的长度，再通过BC=2BD得到最终结果。具体步骤为：先求出∠BAD的度数，再根据正切的定义建立BD与AD的关系，最后推导BC的表达式。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$BD=\frac{1}{2}BC$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×88°=44°$。
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，AD=h，
由正切的定义可知：$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}$，
代入数据得：$\tan44°=\frac{BD}{h}$，
解得：$BD=h·\tan44°$，
∴$BC=2BD=2h·\tan44°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，正切的定义，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是利用等腰三角形的性质将问题转化为直角三角形的计算，熟练掌握三角函数的定义即可快速求解，实用性较强。
【难度系数】
0.8
首先，题目中△ABC是等腰三角形，AD垂直于地面（即AD⊥BC），根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既平分顶角∠BAC，也平分底边BC，因此我们可以将问题转化为在Rt△ABD中利用锐角三角函数求BD的长度，再通过BC=2BD得到最终结果。具体步骤为：先求出∠BAD的度数，再根据正切的定义建立BD与AD的关系，最后推导BC的表达式。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$BD=\frac{1}{2}BC$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×88°=44°$。
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，AD=h，
由正切的定义可知：$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}$，
代入数据得：$\tan44°=\frac{BD}{h}$，
解得：$BD=h·\tan44°$，
∴$BC=2BD=2h·\tan44°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，正切的定义，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是利用等腰三角形的性质将问题转化为直角三角形的计算，熟练掌握三角函数的定义即可快速求解，实用性较强。
【难度系数】
0.8
7.如图，A,B,C三点在正方形网格线的交点处，若将$△ ACB$绕着点A逆时针旋转得到$△ AC'B'$，则$\tan B'$的值为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆旋转的性质：图形旋转前后对应角相等，所以要求$\tan B'$，可以转化为求旋转前对应角$∠ B$的正切值。再根据正切的定义，锐角的正切值等于直角三角形中该角对边与邻边的比值，结合网格特征找到包含$∠ B$的直角三角形，计算对应边的比值即可得到结果。
【解析】
∵$△ ACB$绕点$A$逆时针旋转得到$△ AC'B'$，根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，
∴$∠ B' = ∠ B$，即$\tan B' = \tan B$。
设网格中每个小正方形的边长为1，观察包含$∠ B$的直角三角形，可得$∠ B$的对边长为1，邻边长为3。
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{1}{3}$，
因此$\tan B'=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；正切的定义
【点评】
本题利用转化思想，将未知角的三角函数值转化为网格中对应角的三角函数值求解，解题关键是掌握旋转的性质和正切的定义，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
首先回忆旋转的性质：图形旋转前后对应角相等，所以要求$\tan B'$，可以转化为求旋转前对应角$∠ B$的正切值。再根据正切的定义，锐角的正切值等于直角三角形中该角对边与邻边的比值，结合网格特征找到包含$∠ B$的直角三角形，计算对应边的比值即可得到结果。
【解析】
∵$△ ACB$绕点$A$逆时针旋转得到$△ AC'B'$，根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，
∴$∠ B' = ∠ B$，即$\tan B' = \tan B$。
设网格中每个小正方形的边长为1，观察包含$∠ B$的直角三角形，可得$∠ B$的对边长为1，邻边长为3。
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{1}{3}$，
因此$\tan B'=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；正切的定义
【点评】
本题利用转化思想，将未知角的三角函数值转化为网格中对应角的三角函数值求解，解题关键是掌握旋转的性质和正切的定义，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为$30°$，测得底部C的俯角为$60°$，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60 m，那么该建筑物的高度BC为（）
A.$80\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
B.$60\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
C.$80\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
第8小题图
第9小题图
第10小题图
A.$80\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
B.$60\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
C.$80\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
第8小题图
第9小题图
第10小题图
答案
C
解析
【分析】
本题属于仰角俯角类的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先由水平距离AD与建筑物BC垂直，可将图形拆分为两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD；接着分别在两个直角三角形中，利用已知的仰角、俯角的正切值，结合AD的长度求出BD、CD的长度；最后将BD与CD相加即可得到建筑物高度BC。
【解析】
由题意可知$AD⊥ BC$，即$△ ABD$和$△ ACD$均为直角三角形，$AD=60\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=30°$：
$\tan30°=\frac{BD}{AD}$，代入数据得$BD=AD·\tan30°=60×\frac{\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=60°$：
$\tan60°=\frac{CD}{AD}$，代入数据得$CD=AD·\tan60°=60×\sqrt{3}=60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
3. 建筑物高度$BC=BD+CD=20\sqrt{3}+60\sqrt{3}=80\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题的核心是将实际场景中的仰角、俯角条件转化为直角三角形的内角条件，结合锐角三角函数的定义计算对应线段长度，解题时注意不要混淆特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
本题属于仰角俯角类的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先由水平距离AD与建筑物BC垂直，可将图形拆分为两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD；接着分别在两个直角三角形中，利用已知的仰角、俯角的正切值，结合AD的长度求出BD、CD的长度；最后将BD与CD相加即可得到建筑物高度BC。
【解析】
由题意可知$AD⊥ BC$，即$△ ABD$和$△ ACD$均为直角三角形，$AD=60\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=30°$：
$\tan30°=\frac{BD}{AD}$，代入数据得$BD=AD·\tan30°=60×\frac{\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=60°$：
$\tan60°=\frac{CD}{AD}$，代入数据得$CD=AD·\tan60°=60×\sqrt{3}=60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
3. 建筑物高度$BC=BD+CD=20\sqrt{3}+60\sqrt{3}=80\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题的核心是将实际场景中的仰角、俯角条件转化为直角三角形的内角条件，结合锐角三角函数的定义计算对应线段长度，解题时注意不要混淆特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
